中心(環論)

1：$0,1$ はすべての元と交換する。$x,y\in C_R(S)$、$s\in S$ なら、分配法則と結合法則により $(x-y)s=xs-ys=sx-sy=s(x-y)$、$(xy)s=x(ys)=x(sy)=(xs)y=(sx)y=s(xy)$ なので、$C_R(S)$ は減法と乗法で閉じている。$Z(R)$ の 2 元はとくに互いに交換するので、$Z(R)$ は可換である。
2：定義から明らかである。
3：中心元はすべての元と、とくに $S$ の元と交換する。
4：$x\in R$ について $u^{-1}x=u^{-1}x(uu^{-1})=u^{-1}(xu)u^{-1}=u^{-1}(ux)u^{-1}=xu^{-1}$ である。
5：$z$ はすべての元と交換するので、$\sum_ia_izb_i=\left(\sum_ia_ib_i\right)z$ であり、$RzR=Rz$ となる。同様に $RzR=zR$ である。$\square$

1：$f=\sum_ia_ix^i$ が中心元なら、定数 $b\in A$ と交換するので $\sum_i(a_ib-ba_i)x^i=0$ であり、すべての $i$ で $a_ib=ba_i$、すなわち $a_i\in Z(A)$ である。逆に係数が $Z(A)$ に入る $f$ は、定数 $b$ と交換し、$x$ とも交換する（$x$ は $A$ の元と交換する）。$A[x]$ の元は定数と $x$ の積の和なので、$f$ は中心元である。
2：$E_{ij}$ を $(i,j)$ 成分だけが $1$ の行列とする（$i\le j$ なら $E_{ij}\in T_n(A)$）。$z=(z_{ij})\in Z(T_n(A))$ とする。$E_{ii}z$ は $z$ の第 $i$ 行だけを残した行列、$zE_{ii}$ は第 $i$ 列だけを残した行列なので、$E_{ii}z=zE_{ii}$ から $j\ne i$ のとき $z_{ij}=z_{ji}=0$ であり、$z$ は対角行列である。次に $i< j$ について $E_{ij}z$ の $(i,j)$ 成分は $z_{jj}$、$zE_{ij}$ の $(i,j)$ 成分は $z_{ii}$ なので、$z_{ii}=z_{jj}$ である。よって $z=aI$ と書け、$a\in A$ に対する $aI$ との交換から $a\in Z(A)$ である。逆に $a\in Z(A)$ なら $aI$ はすべての行列と交換する。$\square$

スカラー倍がすべての線形写像と交換することは明らかである。逆に $f$ を中心元とする。$0\ne v\in V$ をとる。$\{v\}$ を含む基底がある（基底 の記事の定理「一般のベクトル空間の基底の存在」）ので、$\varphi(v)=1$ となる線形形式 $\varphi\colon V\to k$ がとれる（$v$ の係数をとる写像）。$p(w):=\varphi(w)v$ とおくと $p\in\operatorname{End}_k(V)$ であり、$f$ と交換するので
$$ f(v)=f(p(v))=p(f(v))=\varphi(f(v))\,v $$
である。よって各 $v\ne0$ について $f(v)=\lambda_vv$ となる $\lambda_v\in k$ がある。$v,w$ が 1 次独立なら、$\lambda_{v+w}(v+w)=f(v+w)=\lambda_vv+\lambda_ww$ から $\lambda_v=\lambda_{v+w}=\lambda_w$ である。$w=cv$（$c\ne0$）なら $f(w)=cf(v)=\lambda_vw$ である。いずれの場合も $\lambda_v=\lambda_w$ なので、$\lambda:=\lambda_v$ は $v$ によらず $f=\lambda\cdot\mathrm{id}$ である。$\square$

1：$e$ は中心元なので $Re=eR$ であり、prop-zr-basic の 5 によりこれは両側イデアルである。$x=ae$ なら $xe=ae^2=x$ かつ $ex=xe=x$ なので、$e$ は $Re$ の単位元であり、$Re$ は乗法で閉じているので環になる。$1-e$ も中心的冪等元（$(1-e)^2=1-2e+e^2=1-e$）なので、$R(1-e)$ も同様に環である。$e$ が中心元であることから $(ab)e=(ab)e^2=a(be)e=(ae)(be)$ となり（$be$ と $e$ が交換することを使う）、同様に $(ab)(1-e)=(a(1-e))(b(1-e))$ なので、$\varphi$ は和と積を保ち、$\varphi(1)=(e,1-e)$ は単位元である。$\varphi(a)=0$ なら $a=ae+a(1-e)=0$ なので単射である。$(xe,\ y(1-e))$ に対し $a:=xe+y(1-e)$ とおくと、$e(1-e)=0$ と $e$ の中心性から $ae=xe$、$a(1-e)=y(1-e)$ なので全射である。
2：$(1,0)$ は $R_1\times R_2$ の中心的冪等元であり、環の同型 $\psi^{-1}$ は冪等であることと中心元であることを保つので、$e$ は中心的冪等元である。$\psi(Re)=(R_1\times R_2)(1,0)=R_1\times\{0\}$ なので、$\psi$ を $Re$ に制限して第 1 成分をとると、$e$ を $1$ に写す和と積を保つ全単射 $Re\to R_1$ が得られる。$R(1-e)\cong R_2$ も同様である。
3：中心的冪等元 $e$ について、$I:=Re$、$J:=R(1-e)$ は 1 により両側イデアルで、$1=e+(1-e)$ から $I+J=R$ である。$x\in I\cap J$ なら $x=xe$ かつ $x=x(1-e)=x-xe$ なので $x=0$ である。
逆に、両側イデアル $I,J$ が $I+J=R$、$I\cap J=0$ を満たすとし、$1=e+f$（$e\in I$、$f\in J$）と書く。この書き方は一意である（差は $I\cap J=0$ に入る）。$x\in I$ について、$xf$ は $I$ が右イデアルであることから $I$ に、$J$ が左イデアルであることから $J$ に入るので $xf=0$、よって $x=x(e+f)=xe$ である。同様に $fx\in I\cap J$ から $fx=0$、$x=ex$ である。$y\in J$ についても同様に $ye=ey=0$ である。任意の $a\in R$ を $a=x+y$（$x\in I$、$y\in J$）と書くと、$ae=xe+ye=x$、$ea=ex+ey=x$ なので $ae=ea$ であり、$e$ は中心元である。$e\in I$ なので $e=ee=e^2$ であり、$e$ は冪等元で $f=1-e$ である。さらに $x\in I$ なら $x=xe\in Re$、逆に $Re\subseteq I$（$I$ は左イデアル）なので $I=Re$ であり、同様に $J=R(1-e)$ である。書き方の一意性から、$(I,J)$ から得た $e$ に $(Re,R(1-e))$ を対応させると $(I,J)$ に戻り、$e$ から作った組から得られる冪等元は $e$ に戻る。よって全単射である。
4：$(z_1,z_2)$ がすべての $(x_1,x_2)$ と交換することは、各成分 $z_i$ が $R_i$ のすべての元と交換することと同値である。
最後の主張：中心的冪等元は、可換環 $Z(R)$ の冪等元にほかならない。1 と 2 により、$R$ が零環でない 2 つの環の直積に同型であることは、$Re\ne0$ かつ $R(1-e)\ne0$、すなわち $e\ne0,1$ となる中心的冪等元 $e$ があることと同値である（$Re$ は単位元 $e$ をもつので、$Re=0$ と $e=0$ は同値）。$\square$

1：$r\in R$ について $\mu^z_M(rm)=zrm=rzm=r\mu^z_M(m)$ なので、$z$ が中心元であることから $\mu^z_M$ は $R$ 線形である。$R$ 線形写像 $f\colon M\to N$ について $f(zm)=zf(m)$ なので、自然性 $f\circ\mu^z_M=\mu^z_N\circ f$ が成り立つ。
2：$\mu^{z+w}=\mu^z+\mu^w$、$\mu^{zw}=\mu^z\circ\mu^w$、$\mu^1=\mathrm{id}$ なので、$z\mapsto\mu^z$ は環準同型である。$\mu^z_R(1)=z$ なので単射である。
全射であることを示す。$\eta\in\operatorname{End}(\mathrm{id})$ とし、$z:=\eta_R(1)$ とおく。左 $R$ 加群 $M$ の元 $m$ について、$f_m\colon R\to M$、$r\mapsto rm$ は $R$ 線形であり、自然性から
$$ \eta_M(m)=\eta_M(f_m(1))=f_m(\eta_R(1))=f_m(z)=zm $$
である。とくに $M=R$、$m=a$ とすると $\eta_R(a)=za$ である。一方 $\eta_R$ は $R$ 線形なので $\eta_R(a)=\eta_R(a\cdot1)=a\eta_R(1)=az$ である。2 つを比べて $za=az$ を得る。よって $z\in Z(R)$ であり、上の式から $\eta=\mu^z$ である。
3：$f\in\operatorname{End}_{R\text{-}R}(R)$ について $z:=f(1)$ とおくと、$f(a)=f(a\cdot1)=az$ かつ $f(a)=f(1\cdot a)=za$ なので $z\in Z(R)$、$f=\mu^z_R$ である。逆に $z\in Z(R)$ なら $a\mapsto za$ は両側 $R$ 線形である。和と合成が $Z(R)$ の和と積に対応することは 2 と同様である。$\square$

thm-zr-identity-functor の 2 により、環の同型 $\operatorname{End}(\mathrm{id}_{R\text{-}\mathbf{Mod}})\cong\operatorname{End}(\mathrm{id}_{S\text{-}\mathbf{Mod}})$ を作ればよい。$F$ は充満忠実かつ本質的全射である（圏同値 の記事の命題「圏同値の必要条件」）。$\eta\in\operatorname{End}(\mathrm{id}_{R\text{-}\mathbf{Mod}})$ に対し、$S$ 加群 $Y$ ごとに同型 $\phi\colon FX\to Y$ を 1 つ選び、$\eta'_Y:=\phi\circ F(\eta_X)\circ\phi^{-1}$ とおく。要点は、$\eta'$ が選び方によらず自然であり、$\eta\mapsto\eta'$ が環の同型になることである。

$z\in Z(R)$、$y\in S$ とし、$y=f(x)$ と書くと $f(z)y=f(zx)=f(xz)=yf(z)$ である。$\square$