極小Kanファイブレーション

$x=s_iz$ なら $z=d_is_iz=d_ix$ なので $x=s_id_ix$ であり、同様に $x'=s_jd_jx'$ と書ける。$i=j$ なら $x=s_id_ix'=x'$ である。$i< j$ なら、単体恒等式（単体的集合 の命題「単体的恒等式」）から $d_ix'=d_is_jd_jx'=s_{j-1}d_id_jx'$ なので、$x=s_id_ix'=s_is_{j-1}d_id_jx'=s_js_id_id_jx'$ となり、$x$ は $s_j$ の像に入る。よって $x=s_jd_jx=s_jd_jx'=x'$ である。$i>j$ は役割を入れ替えればよい。$\square$

$h\colon\Delta^n\times\Delta^1\to\Delta^n$ を順序写像 $(m,0)\mapsto m$、$(m,1)\mapsto n$ が定める写像とし、$E_h:=h^*E\to\Delta^n\times\Delta^1$ とおく。これは Kan ファイブレーションの引き戻しなので Kan ファイブレーションである。$h|_{\Delta^n\times\{0\}}$ は恒等写像、$h|_{\Delta^n\times\{1\}}$ は定値 $n$ なので、$E_h$ の $\Delta^n\times\{0\}$ の上の部分は $E$、$\Delta^n\times\{1\}$ の上の部分は $\Delta^n\times F$ であり、それらの包含を $r_0,r_1$ と書く。

$E\times\{0\}\hookrightarrow E\times\Delta^1$ は $(\emptyset\subset E)$ と $\{0\}\subset\Delta^1$ の押し出し積なので、Kan–Quillenモデル構造 の命題「Gabriel–Zisman の定理」の 1 によりアノダイン拡大である。よって $q\times\mathrm{id}$ の上の持ち上げ $\Phi\colon E\times\Delta^1\to E_h$ で $\Phi|_{E\times\{0\}}=r_0$ となるものがあり、$\Phi|_{E\times\{1\}}$ は $\Delta^n\times\{1\}$ の上にあるので $\Delta^n$ 上の写像 $\varphi\colon E\to\Delta^n\times F$ を定める。同様に $\Psi\colon(\Delta^n\times F)\times\Delta^1\to E_h$ で $\Psi|_{\cdot\times\{1\}}=r_1$ となるものをとり、$\Psi|_{\cdot\times\{0\}}$ が定める写像を $\psi$ とする。

$\sigma\colon[2]\to[1]$ を $0,1\mapsto0$、$2\mapsto1$ とする。$E\times\Lambda^2_2$ の辺 $\{0,2\}$ に $\Phi$、辺 $\{1,2\}$ に $\Psi\circ(\varphi\times\mathrm{id})$（$r_0\psi\varphi$ から $r_1\varphi$ へ）を置き、$E\times\Delta^2\to\Delta^n\times\Delta^1$ を $(e,t)\mapsto(q(e),\sigma(t))$ とする。2 つの辺は頂点 $2$ で $r_1\varphi$ に一致する。同定理の 2 により $E\times\Lambda^2_2\hookrightarrow E\times\Delta^2$ はアノダイン拡大なので持ち上げがあり、その辺 $\{0,1\}$ は $\Delta^n\times\{0\}$ の上にあって、$\mathrm{id}_E$ から $\psi\varphi$ への $\Delta^n$ 上のホモトピーを与える。$\varphi\psi\simeq\mathrm{id}$ は、$(\Delta^n\times F)\times\Lambda^2_0$ の辺 $\{0,1\}$ に $\Psi$、辺 $\{0,2\}$ に $\Phi\circ(\psi\times\mathrm{id})$ を置き、$\sigma'\colon0\mapsto0,\ 1,2\mapsto1$ の上で持ち上げて、辺 $\{1,2\}$ をとれば得られる。$\square$

$H\colon X\times\Delta^1\to Z$ を $f$ から $g$ への $Y$ 上のホモトピーとする。$n\ge0$ とし、$f$ が $n-1$ 次元以下の単体の上で全単射だと仮定して、$n$ 単体の上で全単射であることを示す（$n=0$ では仮定はない）。以下の持ち上げは、Kan–Quillenモデル構造 の補題「角柱の補題」（$(\partial\Delta^n\subset\Delta^n)$ と $\{\varepsilon\}\subset\Delta^1$ の押し出し積はアノダイン）と命題「Gabriel–Zisman の定理」の 2（$(\partial\Delta^n\subset\Delta^n)$ と $\Lambda^2_k\subset\Delta^2$ の押し出し積はアノダイン）を、Kan ファイブレーション $q$ に当てて得る。

全射。 $z\in Z_n$ をとる。各 $i$ について $f(x_i)=d_iz$ となる $x_i\in X_{n-1}$ がただ 1 つあり、$f$ は $n-2$ 次元で単射なので $d_ix_j=d_{j-1}x_i$（$i< j$）が成り立ち、写像 $x_\partial\colon\partial\Delta^n\to X$ が定まる（$n=0$ では空）。$\partial\Delta^n\times\Delta^1$ の上の $H\circ(x_\partial\times\mathrm{id})$ と $\Delta^n\times\{0\}$ の上の $z$ を $q(z)\circ\mathrm{pr}$ の上で持ち上げて、$G\colon\Delta^n\times\Delta^1\to Z$ を得る。$g$ は同型なので $g(x)=G|_{\Delta^n\times\{1\}}$ となる $x\in X_n$ があり、$g$ の単射性から $x|_{\partial\Delta^n}=x_\partial$ である。また $p(x)=qg(x)=q(z)$ である。$\sigma\colon[2]\to[1]$ を $0,1\mapsto0$、$2\mapsto1$ とし、$\Delta^n\times\Lambda^2_2$ の辺 $\{0,2\}$ に $H\circ(x\times\mathrm{id})$（$f(x)$ から $g(x)$ へ）、辺 $\{1,2\}$ に $G$（$z$ から $g(x)$ へ）、$\partial\Delta^n\times\Delta^2$ に $H\circ(x_\partial\times\sigma)$ を置いて $q(z)\circ\mathrm{pr}$ の上で持ち上げると、辺 $\{0,1\}$ が $f(x)\simeq z\ (\mathrm{rel}\ \partial\Delta^n,\ /Y)$ を与える。$q$ は極小なので $f(x)=z$ である。

単射。 $f(x)=f(y)$（$x,y\in X_n$）とする。帰納法の仮定から $x|_{\partial\Delta^n}=y|_{\partial\Delta^n}=:x_\partial$ であり、$p(x)=qf(x)=qf(y)=p(y)$ である。$\sigma'\colon[2]\to[1]$ を $0\mapsto0$、$1,2\mapsto1$ とし、$\Delta^n\times\Lambda^2_0$ の辺 $\{0,1\}$ に $H\circ(x\times\mathrm{id})$、辺 $\{0,2\}$ に $H\circ(y\times\mathrm{id})$、$\partial\Delta^n\times\Delta^2$ に $H\circ(x_\partial\times\sigma')$ を置いて $p(x)\circ\mathrm{pr}$ の上で持ち上げると、辺 $\{1,2\}$ が $g(x)\simeq g(y)\ (\mathrm{rel}\ \partial\Delta^n,\ /Y)$ を与える。極小性から $g(x)=g(y)$ であり、$g$ は単射なので $x=y$ である。

次数ごとに全単射な単体的写像は同型なので、$f$ は同型である。$\square$

後半から示す。$gf\simeq\mathrm{id}$ と lem-mkf-iso から $gf$ は同型、同様に $fg$ も同型なので、$f$ は左逆と右逆をもち同型である。前半では、包含を $j',j''$ として $f:=r''j'$、$g:=r'j''$ とおく。$H''\circ(j'\times\mathrm{id})$ は $j'$ から $j''r''j'$ への $Y$ 上のホモトピーなので、$r'$ を合成すると $r'j'=\mathrm{id}_{X'}$ から $gf$ への $Y$ 上のホモトピーを得る。役割を入れ替えて $fg\simeq\mathrm{id}_{X''}$ も得るので、後半に帰着する。$\square$

非退化単体の個数についての帰納法で示す。$Y=\emptyset$ なら示すことはない。最高次元 $n$ の非退化単体 $y$ をとり、$Y_0$ を $y$ 以外の非退化単体で生成される部分単体的集合とすると、$Y=Y_0\amalg_{\partial\Delta^n}\Delta^n$ である（Kan–Quillenモデル構造 の補題「単射は単体を貼って作れる」の証明と同じ補集合による判定）。$Z_0=q^{-1}(Y_0)$、$Z_y=y^*Z$、$Z_\partial=(y|_{\partial\Delta^n})^*Z$ とおくと、集合の引き戻しは押し出しと可換なので $Z=Z_0\amalg_{Z_\partial}Z_y$ であり、実現は余極限を保つので（幾何学的実現 の系「余極限の保存」）$\lvert Z\rvert=\lvert Z_0\rvert\cup_{\lvert Z_\partial\rvert}\lvert Z_y\rvert$ である。局所自明性から $Z_y\cong\Delta^n\times F$ で、幾何学的実現と積 の系「局所コンパクトな因子」により $\lvert Z_y\rvert\cong\lvert\Delta^n\rvert\times\lvert F\rvert$、$\lvert Z_\partial\rvert\cong\lvert\partial\Delta^n\rvert\times\lvert F\rvert$ である。一方 $\lvert Z_\partial\rvert\cong\lvert\partial\Delta^n\rvert\times_{\lvert Y_0\rvert}\lvert Z_0\rvert$（Kan–Quillenモデル構造 の補題「有限な因子との引き戻しの実現」）なので、接着写像を $a\colon\lvert\partial\Delta^n\rvert\to\lvert Y_0\rvert$ とすると、各 $u\in\lvert\partial\Delta^n\rvert$ で貼り付け写像はファイバー $\{u\}\times\lvert F\rvert$ を $\lvert q\rvert^{-1}(a(u))$ に同相に写す。

開胞体の点。$e=\iota_y(\operatorname{Int}\lvert\Delta^n\rvert)$ は $\lvert Y\rvert$ の開集合で、商写像を開いた飽和集合に制限したものは商写像なので、$\lvert q\rvert^{-1}(e)\cong\operatorname{Int}\lvert\Delta^n\rvert\times\lvert F\rvert\cong e\times\lvert F\rvert$ である。

$\lvert Y_0\rvert$ の点。帰納法の仮定から、$w$ の $\lvert Y_0\rvert$ での開近傍 $U_0$ と自明化 $h_0\colon\lvert q\rvert^{-1}(U_0)\cong U_0\times\Phi$ がある。幾何学的実現 の補題「位相的単体は閉球体と同相」で $\lvert\Delta^n\rvert=D^n$ とみなし、$U'=a^{-1}(U_0)\subset S^{n-1}$、$V=\{v\in D^n\mid\|v\|>1/2,\ v/\|v\|\in U'\}$、$\rho(v)=v/\|v\|$ とおく。$V$ は開集合で $V\cap S^{n-1}=U'$、$\rho\colon V\to U'$ はレトラクションである。$W=U_0\cup\iota_y(V)$ は、$\lvert Y_0\rvert$ との共通部分が $U_0$、$D^n$ への逆像が $V$ なので開集合である。$U'$ の上では、$\lvert F\rvert$ による自明化と $\Phi$ による自明化を比べて、$U'$ 上の同相 $\theta(u,f)=(u,\theta_u(f))$ を得る。$\Theta(v,f)=(v,\theta_{\rho(v)}(f))$ は $V\times\lvert F\rvert\to V\times\Phi$ の同相で（逆は $(v,\phi)\mapsto(v,\theta_{\rho(v)}^{-1}(\phi))$）、$U'$ の上で $\theta$ に一致する。$h_0$ と、$V$ 上の積構造に $\Theta$ を合成したものは貼り合わせと両立し、全単射 $h\colon\lvert q\rvert^{-1}(W)\to W\times\Phi$ を与える。

$h$ は連続である：$\lvert q\rvert^{-1}(W)$ は $\lvert q\rvert^{-1}(U_0)\sqcup(\lvert Z_y\rvert$ の $V$ の上の部分$)$ の商である（開いた飽和集合への制限）。$h^{-1}$ も連続である：商写像 $Q\colon\lvert Y_0\rvert\sqcup D^n\to\lvert Y\rvert$ は閉写像である（閉集合 $C_0\sqcup C_1$ の飽和は、$a(C_1\cap S^{n-1})$ がコンパクトで $\lvert Y_0\rvert$ が Hausdorff なので閉集合を使って書ける）。$\lvert Y_0\rvert\sqcup D^n$ は Hausdorff でファイバーはコンパクトなので $Q$ は完全写像（閉でファイバーがコンパクトな連続写像）であり、飽和な開集合 $U_0\sqcup V$ への制限 $U_0\sqcup V\to W$ も完全写像である。$\Phi$ は CW 複体 $\lvert Z_0\rvert$ のファイバー $\lvert q\rvert^{-1}(w)$ と同相で Hausdorff なので $\mathrm{id}_\Phi$ も完全写像であり、完全写像の積は完全写像なので（Eng89 Theorem 3.7.9、p. 184）、$(U_0\sqcup V)\times\Phi\to W\times\Phi$ は閉写像、とくに商写像である。$h^{-1}$ はその上の各部分で連続なので連続である。$\square$

$\lvert X\rvert$ の点を標準の代表 $[x,u]$（$x$ は非退化、$u$ は内部の点）で書くと（幾何学的実現 の命題「実現の点の標準の代表」）、$\lvert p\rvert[x,u]=[p(x),u]$ であり、これが $\lvert Y'\rvert$ に入ることは $p(x)$ の根が $Y'$ に入ること、つまり $p(x)\in Y'$ と同値である（同記事の補題「部分単体的集合の実現」の (R1)）。同じ補題の (R1)・(R3) により、逆像は $\lvert p^{-1}(Y')\rvert$ と同一視される。円板のホモトピー $D^k\times[0,1]\to\lvert Y\rvert$ の像はコンパクトなので、ある有限な部分単体的集合 $Y'$ の実現に入り（CW複体 の定理「コンパクト集合は有限部分複体に含まれる」）、逆像の式から持ち上げの問題は $p^{-1}(Y')\to Y'$ の問題になる。Kan ファイブレーション・自明 Kan ファイブレーションは引き戻しで保たれる。

前順序集合の脈体の $n$ 単体は列 $c_0\le c_1\le\cdots\le c_n$ であり、$\Delta^n\to N(P)$ は頂点の値 $c_0,\dots,c_n$ で決まり、$i< j$ で $c_i\le c_j$ となる列ならどれでもよい。$n\ge2$ のホーンはすべての頂点を含むので、持ち上げの問題は「ホーンの頂点の値の列が $\le$ で並ぶか」に帰着する。$P$ では $a,b$ は互いに比較でき、$o$ はすべての元以下なので、底の列 $\varepsilon_0\le\cdots\le\varepsilon_n$（$\varepsilon_i\in\{0,1\}$）の上にある列で、$\varepsilon_i=0$ の位置が $o$、$\varepsilon_i=1$ の位置が $a$ か $b$ であるものは、つねに $\le$ で並ぶ。よって $n\ge2$ のホーンは持ち上がる。$n=1$ では、$\Lambda^1_0$ の問題（$c_0$ と $\varepsilon_0\le\varepsilon_1$ が与えられる）は $\varepsilon_1$ の上の元を $c_1$ にとれば解け（$\varepsilon_1=0$ なら $c_1=o=c_0$）、$\Lambda^1_1$ の問題（$c_1$ が与えられる）は $\varepsilon_0=0$ なら $c_0=o$、$\varepsilon_0=1$ なら $c_0=c_1$ で解ける。ファイバーの計算は定義から明らかで、$N(\mathcal E)$ は 2 つの頂点をもち $\Delta^0$ と同型でない。$\square$