Bockstein準同型
概要
Bockstein準同型（Bockstein homomorphism）とは、アーベル群の短完全列 $0\to G'\to G\to G''\to0$ を係数として自由な鎖複体から作った短完全列の連結準同型 $H_i(X;G'')\to H_{i-1}(X;G')$ のことで、$0\to\mathbb Z\to\mathbb Z\to\mathbb Z/m\to0$ などから得られる。$\mathbb Z/m$ 係数のホモロジーは $H_i(X)/mH_i(X)$ と、$H_{i-1}(X)$ の $m$ 倍で消える部分から組み立てられ、後者への写像が Bockstein 準同型である。空でない空間では、すべての素数 $p$ で $\mathbb Z/p$ 係数の被約ホモロジーが消えることと、整数係数の被約ホモロジーが有理数体上のベクトル空間であることが同値になる。
位相空間のホモロジーを $\mathbb Z/p$ 係数で計算すると、体の上の計算になって扱いやすくなる代わりに、整数係数の情報の一部が見えなくなる。たとえば $\mathbb Z/2$ 係数のホモロジーだけでは、整数係数のホモロジーに $\mathbb Z/2$ があるのか $\mathbb Z/4$ があるのかを区別できない。Bockstein 準同型（Bockstein homomorphism）は、係数の短完全列 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{m}\mathbb Z\to\mathbb Z/m\to0$ や $0\to\mathbb Z/m\to\mathbb Z/m^2\to\mathbb Z/m\to0$ から得られる連結準同型であり、失われた情報の一部を取り戻す。
この記事では Bockstein 準同型を定義し、$\mathbb Z/m$ 係数のホモロジーが整数係数のホモロジーの「$m$ で割った商」と「$m$ 倍で消える部分」から組み立てられることを証明する。応用として、すべての素数 $p$ で $\mathbb Z/p$ 係数の被約ホモロジーが消えることと、整数係数の被約ホモロジーが有理数体上のベクトル空間であることが同値であることを示し、実射影空間と Moore 空間で Bockstein 準同型を計算する。
定義
アーベル群 $A$ と整数 $m\ge2$ について、$m$ 倍で消える元のなす部分群を $A[m]=\{a\in A\mid ma=0\}$ と書く。複体は微分が次数を下げる鎖複体とし、アーベル群 $G$ に対し $C\otimes G$ を各次数で $C_n\otimes G$、微分 $d\otimes\mathrm{id}$ とした複体、そのホモロジーを $H_i(C;G)$ と書く。$C\otimes\mathbb Z$ は $C$ と同一視する。
$C$ を各項が自由アーベル群である複体、$0\to G'\xrightarrow{j}G\xrightarrow{q}G''\to0$ をアーベル群の短完全列とする。このとき
$$
0\to C\otimes G'\xrightarrow{1\otimes j}C\otimes G\xrightarrow{1\otimes q}C\otimes G''\to0
$$
は複体の短完全列である。
$C_n$ の基底を $(e_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ とすると $C_n\cong\bigoplus_\Lambda\mathbb Z$ であり、テンソル積は直和と可換で $\mathbb Z\otimes G\cong G$ なので（テンソル積 の記事の命題（直和との可換性）・命題（単位・可換・結合の同型））、次数 $n$ の列は短完全列 $0\to G'\to G\to G''\to0$ の $\Lambda$ 個の直和と同型になり、完全である。$1\otimes j$、$1\otimes q$ は微分 $d\otimes\mathrm{id}$ と可換である。$\square$
lem-bock-free の状況で、複体の短完全列の連結準同型
$$
H_i(C;G'')\longrightarrow H_{i-1}(C;G')
$$
を、係数の短完全列 $0\to G'\to G\to G''\to0$ の Bockstein 準同型という。とくに整数 $m\ge2$ について、次の二つを考える。
- $0\to\mathbb Z\xrightarrow{m}\mathbb Z\to\mathbb Z/m\to0$ の Bockstein 準同型を $\tilde\beta_m\colon H_i(C;\mathbb Z/m)\to H_{i-1}(C)$ と書く。
- $0\to\mathbb Z/m\xrightarrow{m}\mathbb Z/m^2\to\mathbb Z/m\to0$（左の写像は $x\bmod m\mapsto mx\bmod m^2$）の Bockstein 準同型を $\beta_m\colon H_i(C;\mathbb Z/m)\to H_{i-1}(C;\mathbb Z/m)$ と書く。
位相空間 $X$ については $C$ を特異鎖複体 $C_\bullet(X)$ とし、$H_i(X;\mathbb Z/m)\to H_{i-1}(X)$ などを得る。$X\ne\emptyset$ のとき、$C$ を添加された鎖複体 $\tilde C_\bullet(X)$（次数 $-1$ に $\mathbb Z$ を置き、$0$ 鎖の係数の和をとる写像でつないだもの）に取り替えれば、被約ホモロジーの Bockstein 準同型が得られる。
特異 $n$ 鎖で係数を $G$ にとったものは $C_n(X)\otimes G$ と同一視でき、$H_i(C_\bullet(X);G)$ は $G$ 係数の特異ホモロジー $H_i(X;G)$、$H_i(\tilde C_\bullet(X);G)$ は $G$ 係数の被約ホモロジー $\tilde H_i(X;G)$ である（Hat02 p. 153、被約ホモロジー の記事の節「補足」）。$C_\bullet(X)$ も $\tilde C_\bullet(X)$ も各項が自由アーベル群なので、lem-bock-free が使える。
連結準同型の作り方（連結準同型 の記事の定義（連結準同型））をたどると、$\tilde\beta_m$ は次のように計算できる。$\mathbb Z/m$ 係数の輪体 $c$ の各係数を整数に持ち上げた整数係数の鎖 $\tilde c$ をとると、$c$ が輪体なので $d\tilde c$ の係数はすべて $m$ の倍数であり、$d\tilde c=mb$ と書ける。このとき $b$ は整数係数の輪体で、$\tilde\beta_m[c]=[b]$ である。$\beta_m$ も同様に、$c$ の係数を $\mathbb Z/m^2$ に持ち上げた鎖 $\tilde c$ をとると $d\tilde c$ の係数は $m\mathbb Z/m^2$ に入るので、$\mathbb Z/m$ 係数の鎖 $b$ で $d\tilde c=(1\otimes m)(b)$ となるものがただ一つあり、$\beta_m[c]=[b]$ である。連続写像は係数の短完全列から作った複体の短完全列の射を誘導するので、Bockstein 準同型は連続写像と可換である（長完全列 の記事の命題（接続準同型の自然性））。
コホモロジーでも、$\operatorname{Hom}(C_n,-)$ が自由アーベル群 $C_n$ について短完全列を保つので、同じ係数の短完全列から $H^i(X;G'')\to H^{i+1}(X;G')$ が得られ、これもコホモロジーの Bockstein 準同型と呼ばれる（Hat02 §3.E、p. 303。連結準同型 の記事の節「係数の短完全列と Bockstein 準同型」）。以下ではホモロジーで述べる。
二つの Bockstein 準同型の関係
整数係数のホモロジーから $\mathbb Z/m$ 係数への係数の還元が誘導する準同型を $\rho_m\colon H_i(C)\to H_i(C;\mathbb Z/m)$ と書く。
$C$ を各項が自由アーベル群である複体、$m\ge2$ とする。すべての $i$ で $\beta_m=\rho_m\circ\tilde\beta_m\colon H_i(C;\mathbb Z/m)\to H_{i-1}(C;\mathbb Z/m)$ が成り立つ。とくに $\beta_m\circ\beta_m=0$ である。
二つの係数の短完全列の間に、縦の写像を「$\bmod m$ への還元」「$\bmod m^2$ への還元」「恒等写像」とする射
$$
\begin{array}{ccccccccc}
0&\to&\mathbb Z&\xrightarrow{m}&\mathbb Z&\to&\mathbb Z/m&\to&0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\|&&\\
0&\to&\mathbb Z/m&\xrightarrow{m}&\mathbb Z/m^2&\to&\mathbb Z/m&\to&0
\end{array}
$$
がある。左の四角は $x\mapsto mx\bmod m^2$ で両方の道が一致し、右の四角は還元の合成なので可換である。$C\otimes-$ を施すと複体の短完全列の射になり、連結準同型の自然性（長完全列 の記事の命題（接続準同型の自然性））から、右端の恒等写像に対して $\beta_m=\rho_m\circ\tilde\beta_m$ を得る。
$\rho_m$ は複体の短完全列 $0\to C\xrightarrow{m}C\to C\otimes\mathbb Z/m\to0$ の右の写像が誘導する写像であり、$\tilde\beta_m$ はその連結準同型である。長完全列で隣り合う写像の合成なので $\tilde\beta_m\circ\rho_m=0$ であり、
$$
\beta_m\circ\beta_m=\rho_m\circ(\tilde\beta_m\circ\rho_m)\circ\tilde\beta_m=0
$$
である。$\square$
$\beta_m^2=0$ なので、$\mathbb Z/m$ 係数のホモロジー群の列は $\beta_m$ を微分とする複体になる。そのホモロジーは整数係数のホモロジーの捩れの様子を反映する（Hat02 Proposition 3E.3、p. 305 は、$m$ が素数 $p$ の場合のコホモロジー版を、整数係数のコホモロジーが各次数で有限生成という仮定のもとで記述している。この記事では証明しない）。
主定理：整数係数のホモロジーとの関係
$C$ を各項が自由アーベル群である複体、$m\ge2$ とする。すべての $i$ について、自然な短完全列
$$
0\longrightarrow H_i(C)/mH_i(C)\xrightarrow{\ \bar\rho_m\ }H_i(C;\mathbb Z/m)\xrightarrow{\ \tilde\beta_m\ }H_{i-1}(C)[m]\longrightarrow0
$$
がある。ここで $\bar\rho_m$ は $\rho_m$ が誘導する写像である。
$C_n$ は自由アーベル群なので $m$ 倍写像 $C_n\to C_n$ は単射であり、lem-bock-free を $0\to\mathbb Z\xrightarrow{m}\mathbb Z\to\mathbb Z/m\to0$ に使うと、複体の短完全列 $0\to C\xrightarrow{m}C\to C\otimes\mathbb Z/m\to0$ を得る。その長完全列（長完全列 の記事の定理（複体の短完全列の長完全列））は
$$
H_i(C)\xrightarrow{m}H_i(C)\xrightarrow{\rho_m}H_i(C;\mathbb Z/m)\xrightarrow{\tilde\beta_m}H_{i-1}(C)\xrightarrow{m}H_{i-1}(C)
$$
である。$C$ 上の $m$ 倍写像はホモロジーの上でも $m$ 倍写像を誘導する。完全性から $\ker\rho_m=mH_i(C)$ なので $\rho_m$ は単射 $\bar\rho_m\colon H_i(C)/mH_i(C)\to H_i(C;\mathbb Z/m)$ を誘導し、その像は $\ker\tilde\beta_m$ に等しい。また $\operatorname{im}\tilde\beta_m=\ker\bigl(m\colon H_{i-1}(C)\to H_{i-1}(C)\bigr)=H_{i-1}(C)[m]$ である。これは主張の短完全列である。自然性は長完全列の自然性から従う。$\square$
これはホモロジーの普遍係数定理の係数 $\mathbb Z/m$ の場合にあたる。$H\otimes\mathbb Z/m=H/mH$、$\operatorname{Tor}(H,\mathbb Z/m)=H[m]$ であり、普遍係数定理はこの列が（自然にではなく）分裂することも述べる（普遍係数定理 の記事の定理（ホモロジーの普遍係数定理））。thm-bock-ses の要点は、右側の写像が Bockstein 準同型 $\tilde\beta_m$ そのものだということである。
次の補題で、アーベル群が有理数体 $\mathbb Q$ 上のベクトル空間であることを素数倍の言葉で言い換える。
アーベル群 $A$ について、次は同値である。
- すべての素数 $p$ について、$p$ 倍写像 $A\to A$ は全単射である。
- $A$ の加法をそのまま使う $\mathbb Q$ 上のベクトル空間の構造が存在する。
このとき 2 の構造はただ一つである。
2 ⇒ 1：$p$ 倍写像は $\tfrac1p$ 倍写像を逆にもつ。
1 ⇒ 2：$0$ でない整数 $b$ は $\pm1$ と素数の積なので、$b$ 倍写像は全単射であり、その逆を $b^{-1}$ と書く。$b^{-1}$ は加法的で、整数倍と可換である。整数 $a$ と $b\ne0$ に対し $\tfrac ab\cdot x:=a\,b^{-1}x$ と定める。$\tfrac ab=\tfrac{a'}{b'}$（$ab'=a'b$）なら、$y=a\,b^{-1}x$、$y'=a'\,b'^{-1}x$ について $bb'y=ab'x=a'bx=bb'y'$ であり、$bb'$ 倍写像は単射なので $y=y'$ となって定義は代表のとり方によらない。$b^{-1}b'^{-1}=(bb')^{-1}$ と整数倍との可換性から $\tfrac ab\cdot(\tfrac{a'}{b'}\cdot x)=\tfrac{aa'}{bb'}\cdot x$ であり、分配法則は各写像が加法的であることと、分母をそろえて整数倍の分配法則に帰着することから従う。よって $\mathbb Q$ 上のベクトル空間である。どのような構造でも $b\cdot(\tfrac1b\cdot x)=x$ なので $\tfrac1b\cdot x=b^{-1}x$ でなければならず、構造はただ一つである。$\square$
次の定理と thm-bock-ses は、Hat02 §2.2 の演習 40（p. 159）の主張である。
$X$ を空でない位相空間とする。次は同値である。
- すべての整数 $i$ とすべての素数 $p$ について $\tilde H_i(X;\mathbb Z/p)=0$ である。
- すべての整数 $i$ について、$\tilde H_i(X)$ は $\mathbb Q$ 上のベクトル空間である（lem-bock-q の意味で）。
添加された鎖複体 $\tilde C_\bullet(X)$ は各項が自由アーベル群なので、thm-bock-ses を $m=p$ として使うと、すべての $i$ で短完全列
$$
0\to\tilde H_i(X)/p\tilde H_i(X)\to\tilde H_i(X;\mathbb Z/p)\to\tilde H_{i-1}(X)[p]\to0
$$
がある。
2 ⇒ 1：lem-bock-q により $p$ 倍写像は各 $\tilde H_j(X)$ 上で全単射なので、$\tilde H_i(X)/p\tilde H_i(X)=0$、$\tilde H_{i-1}(X)[p]=0$ である。よって中央の群も $0$ である。
1 ⇒ 2：中央の群が $0$ なので両端も $0$ である。すべての $i$ で $\tilde H_i(X)=p\tilde H_i(X)$ なので $p$ 倍写像は全射であり、すべての $i$ で $\tilde H_{i-1}(X)[p]=0$ なので $p$ 倍写像は単射である。$i$ はすべての整数を動くので、これはすべての次数 $j$ について成り立つ。lem-bock-q により各 $\tilde H_j(X)$ は $\mathbb Q$ 上のベクトル空間である。$\square$
たとえば $\mathbb Q$ の Moore 空間 $M(\mathbb Q,n)$（$\tilde H_n=\mathbb Q$、ほかの被約ホモロジーは $0$。存在は Moore空間 の記事の定理（Moore 空間の存在））は 2 を満たすので、すべての素数 $p$ で $\mathbb Z/p$ 係数の被約ホモロジーが消える。一点と同じ $\mathbb Z/p$ 係数ホモロジーをもつが、整数係数では一点と異なる空間である。
例
$n\ge1$ とする。実射影空間 $\mathbb{RP}^n$ の整数係数のホモロジーは、$H_0=\mathbb Z$、$0< k< n$ で $k$ が奇数なら $H_k=\mathbb Z/2$、$k=n$ が奇数なら $H_n=\mathbb Z$、それ以外は $0$ である（Hat02 Example 2.42、p. 144。実射影空間）。thm-bock-ses を $m=2$ で使い、次数ごとに $H_k/2H_k$ と $H_{k-1}[2]$ を並べると、$0\le k\le n$ でちょうど一方が $\mathbb Z/2$、他方が $0$ になり、$k>n$ では両方 $0$ になる。よって
$$
H_k(\mathbb{RP}^n;\mathbb Z/2)\cong\mathbb Z/2\quad(0\le k\le n),\qquad H_k(\mathbb{RP}^n;\mathbb Z/2)=0\quad(k>n)
$$
である。$1\le k\le n$ で $\beta_2\colon H_k(\mathbb{RP}^n;\mathbb Z/2)\to H_{k-1}(\mathbb{RP}^n;\mathbb Z/2)$ を求める。
- $k$ が偶数のとき：$H_k=0$ なので $\tilde\beta_2$ は同型 $H_k(\mathbb{RP}^n;\mathbb Z/2)\to H_{k-1}[2]=H_{k-1}\cong\mathbb Z/2$ である。$2H_{k-1}=0$ なので thm-bock-ses の左の写像により $\rho_2$ は $H_{k-1}$ 上で単射である。よって $\beta_2=\rho_2\tilde\beta_2$（prop-bock-square）は単射で、$\mathbb Z/2$ どうしの写像なので同型である。
- $k$ が奇数のとき：$H_{k-1}$ は $k=1$ なら $\mathbb Z$、$k\ge3$ なら $0$ で、どちらも $H_{k-1}[2]=0$ である。よって $\tilde\beta_2=0$、$\beta_2=0$ である。
$\mathbb Z/2$ 係数のホモロジーは次数 $2j$ と $2j-1$ の組ごとに $\beta_2$ で結ばれている。これは $H_{2j-1}=\mathbb Z/2$ という整数係数の捩れの反映である。
$m\ge2$ に対し、円周に $2$ 胞体を写像度 $m$ の写像で貼った空間 $X_m=S^1\cup_me^2$ は $M(\mathbb Z/m,1)$ であり、$H_0=\mathbb Z$、$H_1=\mathbb Z/m$、$H_2=0$ である（Moore空間 の記事の例（基本的な Moore 空間））。$X_2=\mathbb{RP}^2$ である。$m=2,4$ のとき thm-bock-ses から
$$
H_0(X_m;\mathbb Z/2)\cong H_1(X_m;\mathbb Z/2)\cong H_2(X_m;\mathbb Z/2)\cong\mathbb Z/2
$$
であり、$\mathbb Z/2$ 係数のホモロジー群だけでは $X_2$ と $X_4$ を区別できない。
$\beta_2\colon H_2(X_m;\mathbb Z/2)\to H_1(X_m;\mathbb Z/2)$ を比べる。$\tilde\beta_2$ は $H_2(X_m;\mathbb Z/2)$ を $H_1[2]$ に同型に写し、$H_1[2]$ は $m=2$ なら $\mathbb Z/2$ 全体、$m=4$ なら $\{0,2\}\subset\mathbb Z/4$ である。$\rho_2$ の核は $2H_1$ で、$m=2$ なら $0$、$m=4$ なら $\{0,2\}$ である。よって $\beta_2=\rho_2\tilde\beta_2$ は $m=2$ で同型、$m=4$ で零写像である。Bockstein 準同型は、$\mathbb Z/2$ 係数では消えてしまう「$\mathbb Z/2$ か $\mathbb Z/4$ か」という違いを検出する。
反例
thm-bock-ses と thm-bock-q の仮定を一つずつ外す。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| すべての素数 $p$（奇素数だけにする） | $X=\mathbb{RP}^2$ | 1 ⇒ 2（thm-bock-q） |
| すべての次数 $i$（一つの次数で比べる） | $X=M(\mathbb Q/\mathbb Z,1)$、$i=1$ | 1 ⇒ 2（thm-bock-q） |
| 各項が自由アーベル群（thm-bock-ses） | 次数 $0$ だけに $\mathbb Z/2$ を置いた複体、$m=2$ | thm-bock-ses の短完全列 |
1 行目：$\mathbb{RP}^2$ の被約ホモロジーは $\tilde H_1=\mathbb Z/2$ だけである。奇素数 $p$ では $\mathbb Z/2$ の $p$ 倍写像は全単射なので、thm-bock-q の証明の短完全列の両端が消え、すべての $i$ で $\tilde H_i(\mathbb{RP}^2;\mathbb Z/p)=0$ である。しかし $\mathbb Z/2$ は $\mathbb Q$ 上のベクトル空間でない（$2$ 倍写像が単射でない）。$p=2$ では ex-bock-rp のとおり $\tilde H_1(\mathbb{RP}^2;\mathbb Z/2)\ne0$ である。
2 行目：$M(\mathbb Q/\mathbb Z,1)$ の被約ホモロジーは $\tilde H_1=\mathbb Q/\mathbb Z$ だけである（Moore空間 の記事の定理（Moore 空間の存在））。$\mathbb Q/\mathbb Z$ はどの素数 $p$ でも $p$ 倍写像が全射なので $\tilde H_1/p\tilde H_1=0$ であり、$\tilde H_0=0$ なので、すべての $p$ で $\tilde H_1(M;\mathbb Z/p)=0$ である。しかし $\mathbb Q/\mathbb Z$ は $p$ 倍で消える元 $\tfrac1p$ をもつので $\mathbb Q$ 上のベクトル空間でない。次数 $2$ では $\tilde H_2(M;\mathbb Z/p)\cong\tilde H_1[p]\cong\mathbb Z/p\ne0$ であり、すべての次数で比べれば thm-bock-q と矛盾しない。
3 行目：$C$ を次数 $0$ だけに $\mathbb Z/2$ を置いた複体とすると、$2$ 倍写像 $C\to C$ は零写像で単射でなく、$0\to C\xrightarrow{2}C\to C\otimes\mathbb Z/2\to0$ は完全でない。$H_1(C;\mathbb Z/2)=0$ だが $H_0(C)[2]=\mathbb Z/2$ なので、次数 $i=1$ の列 $0\to H_1(C)/2H_1(C)\to H_1(C;\mathbb Z/2)\to H_0(C)[2]\to0$ は完全になりえない。
補足
- コホモロジーと積：コホモロジーの Bockstein 準同型 $\beta_m\colon H^i(X;\mathbb Z/m)\to H^{i+1}(X;\mathbb Z/m)$ は、カップ積について $\beta_m(a\smile b)=\beta_m(a)\smile b+(-1)^{|a|}a\smile\beta_m(b)$ を満たす（Hat02 §3.E、p. 304。この記事では証明しない）。$m=2$ では $\beta_2$ は Steenrod 平方 $Sq^1$ に一致する（Steenrod平方 の記事の命題（Bockstein 準同型との一致））。
- Bockstein スペクトル系列：$\mathbb Z/p$ 係数のホモロジーから出発し、$\beta_p$ のホモロジーをとる操作を繰り返して、より高い $p$ 冪の捩れを順に検出するスペクトル系列がある（Wei94 5.9.9、p. 157。この記事では証明しない）。
- 捩れの位数の読み取り：ex-bock-moore のように、整数係数の（コ）ホモロジーが各次数で有限生成なら、$\mathbb Z/p$ 係数の（コ）ホモロジーと $\beta_p$ から、整数係数の $p$ 冪の捩れの様子が読み取れる（Hat02 Proposition 3E.3・Corollary 3E.4、pp. 305–306 はコホモロジー版。この記事では証明しない）。係数によって空間の振る舞いが変わる例には、係数ごとにコホモロジー次元が異なる Pontryaginの曲面 がある。
関連項目
- 前提: 連結準同型, 長完全列, 特異ホモロジー
- 比較: 普遍係数定理, 被約ホモロジー
- 例: 実射影空間, Moore空間, Pontryaginの曲面
- 発展: Steenrod平方, Tor関手
参考文献
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