射影正規

$R:=S(X)$ とおく。$X\cong\operatorname{Proj}R$ なので、点 $x\in X$ に対応する斉次素イデアルを $\mathfrak{p}$、$\mathfrak{p}$ に属さない斉次元の全体を $T$ とすると、$\mathcal{O}_{X,x}\cong R_{(\mathfrak{p})}=(T^{-1}R)_0$ である（Proj(次数付き環の射影スキーム)の定理「Proj はスキームである」の 1）。$T^{-1}R$ は整域 $R$ の商体 $K$ の部分環であり、整閉整域の定理「整閉整域の局所化」により整閉整域である。$R_{(\mathfrak{p})}$ は $K$ の部分環なので整域である。
$\alpha$ を $R_{(\mathfrak{p})}$ の商体の元で $R_{(\mathfrak{p})}$ 上整なものとする。$R_{(\mathfrak{p})}$ の元は同じ次数の斉次元の比なので、分母を払うと $\alpha=f/g$（$f,g\in R$ は同じ次数 $e$ の斉次元、$g\neq0$）と書ける。$\alpha$ は $T^{-1}R$ 上整で $K$ に属するから、$T^{-1}R$ の整閉性により $\alpha\in T^{-1}R$ である。$T^{-1}R$ は $\mathbb{Z}$ 次数付き環なので $\alpha=\sum_d\alpha_d$（$\alpha_d$ は次数 $d$ の成分）と分解できる。$g\alpha=f$ の次数 $e+d$ の成分を比べると、$d\neq0$ なら $g\alpha_d=0$ であり、$T^{-1}R$ は整域なので $\alpha_d=0$ である。よって $\alpha=\alpha_0\in(T^{-1}R)_0=R_{(\mathfrak{p})}$ であり、$R_{(\mathfrak{p})}$ は整閉である。$\square$

1：$\mathbb{P}^N_k$ の座標を次数 $d$ の単項式 $M$ で添字づけて $y_M$ と書く。$\nu_d$ は閉埋め込みで $\nu_d^*\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{O}(d)$、$\nu_d^*y_M=M$ である（射影空間への射の例「Veronese 埋め込み」）。$\nu_d$ による同型 $\mathbb{P}^n_k\cong X$ のもとで $\mathcal{O}_X(m)$ は $\mathcal{O}(md)$ に対応するので、制限写像 $k[y]_m\to\Gamma(X,\mathcal{O}_X(m))\cong S_{md}$ は $y$ の単項式 $y_{M_1}\cdots y_{M_m}$ を $M_1\cdots M_m$ に写す。次数 $md$ の単項式はすべて次数 $d$ の単項式 $m$ 個の積なので、この写像は全射である。定義のあとの注意により $S(X)_m$ はこの写像の像と同型であり、$S(X)\cong S^{(d)}$ を得る。
2：$S^{(d)}$ は整域 $S$ の部分環なので整域である。まず $S\cap\operatorname{Frac}(S^{(d)})=S^{(d)}$ を示す。$\beta\in S$ が $b\beta=a$（$a,b\in S^{(d)}$、$b\neq0$）をみたすとし、$\beta$ の零でない斉次成分の個数についての帰納法を使う。$\beta$ の最低次の成分を $\beta_e$、$b$ の最低次の成分を $b_c$ とすると、$b\beta$ の最低次の成分は $b_c\beta_e\neq0$ で、これは $a$ の成分なので次数 $c+e$ は $d$ の倍数である。$c$ も $d$ の倍数なので $e$ も $d$ の倍数で、$\beta_e\in S^{(d)}$ である。$\beta-\beta_e=(a-\beta_eb)/b$ は成分の個数が少なく、$a-\beta_eb\in S^{(d)}$ なので、帰納法の仮定により $\beta-\beta_e\in S^{(d)}$ である。
次に $\alpha\in\operatorname{Frac}(S^{(d)})$ が $S^{(d)}$ 上整とすると、$\alpha$ は $S$ 上整で $\operatorname{Frac}(S)$ に属する。$S$ は一意分解整域なので整閉であり（整閉整域の定理「一意分解整域の整閉性」）、$\alpha\in S$ である。前段により $\alpha\in S^{(d)}$ である。$\square$

1：$\varphi$ は $\mathcal{O}(4)$ と切断 $s^4,s^3t,st^3,t^4$ の組に対応する（$s^4$ と $t^4$ だけで $\mathcal{O}(4)$ を生成する）。射影空間への射の命題「座標近傍による閉埋め込みの判定」を確かめる。$u:=t/s$、$v:=s/t$ とおく。座標 $x_0=s^4$ の近傍の逆像は $D_+(s)=\operatorname{Spec}k[u]$ で、環準同型は $x_1/x_0,x_2/x_0,x_3/x_0\mapsto u,u^3,u^4$ なので全射である。$x_3=t^4$ の近傍でも同様に $v^4,v^3,v$ が像に入り全射である。$x_1=s^3t$ の近傍の逆像は $D_+(st)=\operatorname{Spec}k[u,u^{-1}]$ で、像は $s/t=u^{-1}$、$t^2/s^2=u^2$、$t^3/s^3=u^3$ を含み、$u=u^3\cdot(u^{-1})^2$ なので全射である。$x_2=st^3$ の近傍でも像は $u^{-3},u^{-2},u$ を含み、$u^{-1}=u^{-2}\cdot u$ なので全射である。よって $\varphi$ は閉埋め込みである。$\mathbb{P}^1_k$ の局所環は体か離散付値環なので、$Y$ は正規である。
2：$\varphi^*\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{O}(4)$ なので、$\mathcal{O}_Y(m)$ は $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(4m)$ に対応し、制限写像 $k[x_0,\dots,x_3]_m\to\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y(m))\cong k[s,t]_{4m}$ は $x_0,x_1,x_2,x_3$ に $s^4,s^3t,st^3,t^4$ を代入する写像である。定義のあとの注意により $S(Y)_m$ はその像 $R_m:=R\cap k[s,t]_{4m}$ と同型で、$S(Y)\cong R$ である。$\alpha:=s^2t^2=(s^3t)^2/s^4$ は $R$ の商体に属し、$\alpha^2=s^4\cdot t^4\in R$ なので $R$ 上整である。一方 $\alpha$ は $s,t$ について 4 次なので、$R$ に属するなら $R_1=ks^4+ks^3t+kst^3+kt^4$ に属するはずだが、そうではない。よって $R$ は整閉でない。$\square$

$R:=S(X)$、$R':=\bigoplus_{m\ge0}\Gamma(X,\mathcal{O}_X(m))$ とおく。$R'$ は切断の積で次数付き環になり、定義のあとの注意により $R$ は $R'$ の次数付き部分環とみなせる。
段 1（$X$ は整）：$X$ の局所環は整域なので、どの点もただ 1 つの既約成分に属する（2 つの既約成分に属する点の局所環は極小素イデアルを 2 つ以上もつ）。よって有限個の既約成分は互いに交わらず、それぞれ開かつ閉である。$X$ は空でなく連結なので既約であり、局所環が整域なので被約でもある。$K$ を $X$ の関数体とする。
段 2（$R'$ は整域）：$X$ は空でないので、座標を並べ替えて $U:=X\cap D_+(x_0)\neq\emptyset$ としてよい。$U$ 上で $x_0$ は $\mathcal{O}_X(1)$ を生成するので、$s\in R'_m$ は $U$ 上で $s=f\,x_0^m$（$f\in\mathcal{O}_X(U)\subset K$）と一意に書ける。$\varphi(s):=fT^m$ と定めると、$\varphi\colon R'\to K[T]$ は次数を保つ環準同型で、単射である。