Blochの予想

記号はAlbanese多様体の定義「Albanese トーラスと Albanese 写像」に従う：$\Omega=H^0(X,\Omega^1_X)$、$\operatorname{Alb}(X)=\Omega^\vee/\Lambda_X$、基点 $x_0$、$\mathrm{alb}(x)=\bigl(\omega\mapsto\int_{x_0}^x\omega\bigr)\bmod\Lambda_X$ である。$q=\dim\Omega=0$ なら $\operatorname{Alb}(X)=0$ で主張は明らかなので、$q\ge1$ とする。
微分の計算。$x\in X$ と接ベクトル $v\in T_xX$ について $e_{x,v}\in\Omega^\vee$ を $e_{x,v}(\omega)=\omega_x(v)$ で定める。$x$ のまわりで $x'\mapsto\int_{x_0}^{x'}\omega$ は微分が $\omega$ の正則関数なので、$\operatorname{Alb}(X)$ の接空間を $\Omega^\vee$ と同一視すると、$\mathrm{alb}$ の $x$ での微分は $v\mapsto e_{x,v}$ である。Albanese多様体の定理「Albanese トーラスの普遍性」の一意性の証明で示されたとおり、$e_{x,v}$ の全体は $\Omega^\vee$ を張る（張らなければ $0$ でない $\omega$ が開集合の上で $0$ になり、一致の定理に反する）。そこで点 $x_1,\dots,x_q$ と $v_i\in T_{x_i}X$ を、$e_{x_1,v_1},\dots,e_{x_q,v_q}$ が $\Omega^\vee$ の基底になるようにとる。
和の写像。$\sigma\colon X^q\to\operatorname{Alb}(X)$、$\sigma(y_1,\dots,y_q)=\sum_i\mathrm{alb}(y_i)$ は正則写像で、点 $(x_1,\dots,x_q)$ での微分は $(w_1,\dots,w_q)\mapsto\sum_i d\,\mathrm{alb}_{x_i}(w_i)$ である。その像は $e_{x_1,v_1},\dots,e_{x_q,v_q}$ を含むので、微分は全射である。逆関数定理（陰関数定理）により、$\sigma$ の像は点 $a:=\sigma(x_1,\dots,x_q)$ の開近傍 $W$ を含む。
部分群が全体になること。$\mathrm{alb}(x)$（$x\in X$）が生成する部分群を $H\subset\operatorname{Alb}(X)$ とする。$W\subset H$ なので、$W-a$ は $0$ の開近傍で $H$ に含まれる。$H$ は $0$ の開近傍を含むので、$H$ の各元の平行移動でその元の開近傍を含み、$H$ は開部分群である。開部分群の補集合はその剰余類の和なので開であり、$H$ は閉でもある。$\operatorname{Alb}(X)$ は連結なので $H=\operatorname{Alb}(X)$ である。
結論。$\operatorname{Alb}(X)$ の任意の元は $\sum_in_i\,\mathrm{alb}(y_i)$（$n_i\in\mathbb Z$）と書ける。$\mathrm{alb}(x_0)=0$ なので、これは次数 $0$ の $0$ サイクル $\sum_in_i([y_i]-[x_0])$ の $\mathrm{alb}_X$ による像である。$\square$

(i) 有理同値の生成元。生成元 $\nu_*(\operatorname{div}g)$ は、正規化 $D^\nu$（非特異射影曲線）の上の主因子を押し出したものであり、その次数は $0$ である（Har77 II Corollary 6.10）。非特異な曲線 $D$ では $\nu=\mathrm{id}$ にとれるので、$D$ の上で線形同値な因子は $X$ の上で有理同値である。特に $D\cong\mathbb P^1$ なら、$\operatorname{Pic}^0(\mathbb P^1)=0$（Har77 II Proposition 6.4）により、$D$ のどの 2 点も有理同値である。
(ii) $\pi_*$ は有理同値を保つ。$\widetilde X$ の既約曲線 $D'$ と、その正規化 $\nu'\colon D'^\nu\to\widetilde X$、$g\in k(D'^\nu)^\times$ をとる。$D'=E$ なら、$\nu'_*(\operatorname{div}g)$ の点はすべて $p$ に写り、次数は $0$ なので、$\pi_*\nu'_*(\operatorname{div}g)=0$ である。$D'\neq E$ なら、$\pi$ は $D'$ を曲線 $D:=\pi(D')$ に双有理に写し、$\pi\circ\nu'\colon D'^\nu\to D$ は正規な曲線から $D$ への有限な双有理射なので $D$ の正規化である。よって $\pi_*\nu'_*(\operatorname{div}g)=(\pi\circ\nu')_*(\operatorname{div}g)$ は $X$ の有理同値の生成元である。したがって $\pi_*$ は $A_0(\widetilde X)\to A_0(X)$ を誘導する。点の像の剰余体は $k$ なので次数を保つ。
(iii) 逆向きの写像。$e\in E$ を 1 つ固定し、$\varphi\colon Z_0(X)\to A_0(\widetilde X)$ を、$x\neq p$ には $\pi^{-1}(x)$ のただ 1 つの点の類を、$p$ には $[e]$ を対応させて線形に延ばす。(i) により $E$ のどの点 $e'$ も $[e']=[e]$ を満たすので、すべての $w\in Z_0(\widetilde X)$ について
$$ \varphi(\pi_*w)=[w]\quad\text{in}\ A_0(\widetilde X)\qquad(\ast) $$
である（点ごとに確かめればよい）。
(iv) $\varphi$ は有理同値を保つ。$X$ の既約曲線 $D$、その正規化 $\nu\colon D^\nu\to X$、$g\in k(D^\nu)^\times$ をとる。$D':=\overline{\pi^{-1}(D\setminus\{p\})}$（$D$ の強変換）は $\widetilde X$ の既約曲線で、$\pi$ は $D'$ を $D$ に双有理に写す。双有理写像 $D^\nu\dashrightarrow D'$ は、$D^\nu$ が非特異な曲線で $D'$ が射影的なので射 $\nu'\colon D^\nu\to D'\subset\widetilde X$ に延び（Har77 I Proposition 6.8）、$\pi\circ\nu'$ と $\nu$ は稠密な開集合の上で一致するので等しい。$\nu'$ は正規な曲線から $D'$ への有限な双有理射なので $D'$ の正規化である。$(\ast)$ から
$$ \varphi(\nu_*(\operatorname{div}g))=\varphi\bigl(\pi_*\nu'_*(\operatorname{div}g)\bigr)=[\nu'_*(\operatorname{div}g)]=0 $$
である。よって $\varphi$ は $\bar\varphi\colon A_0(X)\to A_0(\widetilde X)$ を誘導する。
(v) 互いに逆。$(\ast)$ から $\bar\varphi\circ\pi_*=\mathrm{id}$ である。点 $x\neq p$ では $\pi_*\varphi(x)=[x]$、$\pi_*\varphi(p)=\pi_*[e]=[p]$ なので $\pi_*\circ\bar\varphi=\mathrm{id}$ である。$\square$

曲面の双有理写像はブローアップとその逆の有限列に分解される（Har77 V Theorem 5.5、p. 412。この記事では証明しない）。thm-bloch-blowup により各段で $A_0$ は次数を保って同型なので、$A_0(X)\cong A_0(\mathbb P^2)$ が次数と両立して成り立つ。$\mathbb P^2$ の 2 点 $x,y$ は直線 $L\cong\mathbb P^1$ に乗るので、prf-bloch-blowup の (i) により有理同値である。よって $A_0(\mathbb P^2)$ は 1 点の類で生成され、その次数は $1$ なので $\deg$ は同型である。$A_0(X)_0=\operatorname{Ker}\deg=0$ であり、$T(X)\subset A_0(X)_0$ も $0$ である。$\square$

$p_g=0$。$\omega\in H^0(X,\Omega^2_X)$ をとる。点 $c\in C$ と $v\in T_cC$ について、ファイバー $\{c\}\times\mathbb P^1$ に沿ったベクトル場 $(v,0)$ との縮約 $\iota_{(v,0)}\omega$ をファイバーに制限すると、$\mathbb P^1$ の上の正則 $1$ 形式になる（局所座標 $z,w$ で $\omega=f(z,w)\,dz\wedge dw$ と書くと、それは $f(c,w)\,dw$ に $v$ の成分を掛けたものである）。$H^0(\mathbb P^1,\Omega^1)=0$（Albanese多様体の定理「Albanese トーラスの普遍性」の後の注意で、$\mathbb P^n$ について $H^{1,0}=0$）なので、これは $0$ である。よって $\omega$ は $T_cC$ と $T\mathbb P^1$ の組で $0$ になり、$2$ 次元の接空間の上の交代形式として $0$ である。
Albanese 多様体。基点を $(c_0,0)$ にとる。$u\colon C\to\operatorname{Jac}(C)=\operatorname{Alb}(C)$ を $c_0$ を基点とする Abel–Jacobi 写像とすると、$(\operatorname{Jac}(C),u\circ\mathrm{pr}_1)$ は複素トーラスへの写像について Albanese多様体の定理「Albanese トーラスの普遍性」と同じ普遍性をもつ。実際、複素トーラス $T'$ への正則写像 $\varphi\colon X\to T'$ で $\varphi(c_0,0)=0$ のものをとると、各 $c$ について $t\mapsto\varphi(c,t)$ は $\mathbb P^1$ から複素トーラスへの正則写像なので定数である（$\operatorname{Alb}(\mathbb P^1)=0$。同記事の定理の後の注意）。よって $\varphi=\varphi_1\circ\mathrm{pr}_1$、$\varphi_1:=\varphi(\cdot,0)$ であり、$C$ の普遍性から $\varphi_1=\psi\circ u$ となる準同型 $\psi$ がただ 1 つある。$\mathrm{pr}_1$ は全射なので $\psi$ は $\varphi$ からも一意に決まる。普遍性で定まる対象は一意なので、$\operatorname{Alb}(X)=\operatorname{Jac}(C)$、$\mathrm{alb}=u\circ\mathrm{pr}_1$ と同一視できる。
$0$ サイクル。$i_0\colon C\to X$、$c\mapsto(c,0)$ とする。$C$ は非特異なので、$C$ 上の主因子 $\operatorname{div}g$ について $i_{0*}(\operatorname{div}g)$ は $X$ の有理同値の生成元である（$i_0$ が $i_0(C)$ の正規化）。よって $i_{0*}\colon A_0(C)\to A_0(X)$ が定まり、次数を保つ。各点 $(c,t)$ は、ファイバー $\{c\}\times\mathbb P^1\cong\mathbb P^1$ の上で $(c,0)$ と有理同値なので（prf-bloch-blowup の (i)）、$i_{0*}$ は全射である。
結論。$z\in T(X)$ をとる。$i_{0*}$ は次数を保って全射なので $z=i_{0*}(w)$、$w\in A_0(C)_0$ と書ける。$\mathrm{alb}=u\circ\mathrm{pr}_1$ と $\mathrm{pr}_1\circ i_0=\mathrm{id}_C$ から $0=\mathrm{alb}_X(z)=u(w)$ である。$C$ の種数が $1$ 以上なら、Jacobi多様体の定理「Abel–Jacobiの定理」により $u\colon A_0(C)_0=\operatorname{Pic}^0(C)\to\operatorname{Jac}(C)$ は同型なので $w=0$ である。種数が $0$ なら $C\cong\mathbb P^1$ で $A_0(C)_0=0$ なので $w=0$ である。よって $z=0$ である。$\square$