Erdős–Kacの定理

要点：特性関数を Taylor 展開し、積率の収束から特性関数の各点収束を導いて、特性関数(確率論) の定理「Lévy の連続性定理」を使う。

要点：$k$ 乗を展開し、添字の等しいところで $\{1,\dots,k\}$ を組に分ける。大きさ $1$ の組があれば期待値は $0$、すべて大きさ $2$ の組が主要項、それ以外は小さい。

$N:=\lfloor x\rfloor$ とする。展開すると
$$ (\omega_y(n)-\mu)^k=\sum_{p_1,\dots,p_k\le y}\ \prod_{i=1}^k\Bigl(\delta_{p_i}(n)-\frac1{p_i}\Bigr),\qquad(T-\mu)^k=\sum_{p_1,\dots,p_k\le y}\ \prod_{i=1}^k\Bigl(X_{p_i}-\frac1{p_i}\Bigr) $$
である。素数の列 $(p_1,\dots,p_k)$ を固定し、積をさらに展開すると、$\{1,\dots,k\}$ の部分集合 $I$ にわたる和
$$ \sum_I\Bigl(\prod_{i\notin I}\Bigl(-\frac1{p_i}\Bigr)\Bigr)\prod_{i\in I}\delta_{p_i}(n) $$
になる（$X$ の側も同じ形）。$\{p_i:i\in I\}$ の相異なる元の積を $d$ とすると、$\delta_p(n)^2=\delta_p(n)$ なので $\prod_{i\in I}\delta_{p_i}(n)$ は $d\mid n$ のとき $1$、そうでないとき $0$ であり、その $E_x$ での期待値は $\lfloor x/d\rfloor/N=\lfloor N/d\rfloor/N$ である。これは $\frac1d-\frac1N$ より大きく $\frac1d$ 以下である。$X$ の側では $X_p^2=X_p$ と独立性から $E[\prod_{i\in I}X_{p_i}]=\frac1d$ である。よって各 $I$ の項の差は $\frac1N$ 以下で、$I$ は $2^k$ 個、素数の列は $y^k$ 個以下なので、全体の差は $2^ky^k/N$ 以下である。$\square$

要点：$\lvert Z_j\rvert\le M$ の上では $V_j$ と $Z_j$ の差が $\varepsilon(1+M)$ 以下で、$\lvert Z_j\rvert>M$ の確率は $M$ を大きくすれば小さい。

$x\to\infty$ の極限は、$x_j\to\infty$ となる任意の列に沿って示せばよい。以下 $x\ge e^e$ とし、
$$ L:=\log\log x\ (\ge1),\qquad y:=x^{1/L}\quad(\text{すなわち }\log y=\log x/L) $$
とおく。$\log y=e^{L}/L\to\infty$ なので、$x$ が十分大きければ $y\ge2$ である。$\log\log y=L-\log L$ である。$\mu$、$\sigma^2$、$\omega_y$、$T$ を「独立な確率変数のモデル」の節のとおりとする。
段 1（$\mu$ と $\sigma$ の大きさ）． 素数の逆数の和の評価により $\lvert\mu-(L-\log L)\rvert\le C$ である。また $\sigma^2=\mu-\sum_{p\le y}p^{-2}$ で、$\sum_pp^{-2}< \sum_{m\ge2}\frac1{m(m-1)}=1$ なので $\mu-1< \sigma^2\le\mu$ である。よって
$$ \frac{\mu-L}{\sqrt L}\to0,\qquad\frac{\sigma}{\sqrt L}\to1\qquad(x\to\infty) $$
であり、とくに $x$ が十分大きければ $\sigma\ge1$ である。
段 2（小さい素数の部分は正規分布に近づく）． $Y_p:=X_p-\frac1p$ は独立で、$E[Y_p]=0$、$\lvert Y_p\rvert\le1$、$\sum_{p\le y}E[Y_p^2]=\sigma^2$ を満たし、$T-\mu=\sum_{p\le y}Y_p$ である。lem-ek-independent により $E[(T-\mu)^k]/\sigma^k=m_k+O(\sigma^{-1})\to m_k$ である。lem-ek-compare により
$$ \Bigl\lvert E_x\Bigl[\Bigl(\frac{\omega_y-\mu}\sigma\Bigr)^k\Bigr]-E\Bigl[\Bigl(\frac{T-\mu}\sigma\Bigr)^k\Bigr]\Bigr\rvert\le\frac{(2y)^k}{\lfloor x\rfloor}\le2^{k+1}x^{k/L-1} $$
であり（$\sigma\ge1$ と $\lfloor x\rfloor\ge x/2$ を使った）、$k/L\to0$ なので右辺は $0$ に近づく。よって $Z_x:=(\omega_y-\mu)/\sigma$ は $P_x$ のもとで $E_x[Z_x^k]\to m_k$ をすべての $k\ge1$ で満たし、lem-ek-moments によりすべての $t$ で $P_x(Z_x\le t)\to\Phi(t)$ である。
段 3（大きい素数の部分は小さい）． $n\le x$ について $\omega(n)-\omega_y(n)$ は $n$ を割り切る $y< p\le x$ の素数の個数なので、$0$ 以上で
$$ E_x[\omega-\omega_y]=\frac1{\lfloor x\rfloor}\sum_{y< p\le x}\Bigl\lfloor\frac xp\Bigr\rfloor\le\frac x{\lfloor x\rfloor}\sum_{y< p\le x}\frac1p\le2\bigl(\log\log x-\log\log y+2C\bigr)=2(\log L+2C) $$
である。$\omega-\omega_y\ge0$ なので、期待値を $\varepsilon\sqrt L$ で割ったものが確率の上界になり、$\varepsilon>0$ について $P_x\bigl(\omega-\omega_y>\varepsilon\sqrt L\bigr)\le2(\log L+2C)/(\varepsilon\sqrt L)\to0$ である。
段 4（1 の証明）． $V_x:=(\omega-L)/\sqrt L$ とおくと
$$ V_x-Z_x=\Bigl(\frac\sigma{\sqrt L}-1\Bigr)Z_x+\frac{\mu-L}{\sqrt L}+\frac{\omega-\omega_y}{\sqrt L} $$
である。$\varepsilon>0$ を与えると、段 1 により $x$ が十分大きければ右辺の第 1 項の係数と第 2 項はともに絶対値が $\varepsilon/3$ 以下なので、$\lvert V_x-Z_x\rvert>\varepsilon(1+\lvert Z_x\rvert)$ なら $\omega-\omega_y>\frac\varepsilon3\sqrt L$ である。段 3 からその確率は $0$ に近づき、段 2 と lem-ek-perturb により $P_x(V_x\le t)\to\Phi(t)$ である。これは 1 である。
段 5（2 の証明）． $n\ge3$ で $V'(n):=(\omega(n)-\log\log n)/\sqrt{\log\log n}$、$n=1,2$ で $V'(n):=0$ とおく（$2$ 個の $n$ は割合に影響しない）。$\sqrt x< n\le x$ では $\ell:=\log\log n$ が $L-\log2< \ell\le L$ を満たし、
$$ V'(n)-V_x(n)=V_x(n)\Bigl(\sqrt{L/\ell}-1\Bigr)+\frac{L-\ell}{\sqrt\ell} $$
で、$0\le\sqrt{L/\ell}-1\le\sqrt{L/(L-\log2)}-1$ と $0\le(L-\ell)/\sqrt\ell\le\log2/\sqrt{L-\log2}$ はどちらも $n$ によらず $0$ に近づく。よって $\varepsilon>0$ について、$x$ が十分大きければ $\lvert V'-V_x\rvert>\varepsilon(1+\lvert V_x\rvert)$ となるのは $n\le\sqrt x$ の場合に限り、その確率は $\sqrt x/\lfloor x\rfloor\to0$ である。段 4 と lem-ek-perturb により 2 を得る。
段 6（$\Omega(n)$ の場合）． Hardy–Ramanujanの定理(素因数の個数) の命題「$\Omega(n)-\omega(n)$ の和」により $0\le E_x[\Omega-\omega]\le x/\lfloor x\rfloor\le2$ なので、$P_x(\Omega-\omega>\varepsilon\sqrt L)\le2/(\varepsilon\sqrt L)\to0$ である。$(\Omega-L)/\sqrt L$ と $V_x$ の差は $(\Omega-\omega)/\sqrt L$ なので、lem-ek-perturb により 1 は $\Omega$ でも成り立つ。2 は段 5 と同じ議論で $\Omega$ の 1 から従う。$\square$