被覆次数

$x$ を中心とする座標 $z$ と $y$ を中心とする座標 $w$ を、$z$ の定義域が $f$ で $w$ の定義域に移るようにとり、局所表示 $h:=w\circ f\circ z^{-1}$ を考える。$h$ は $0$ の近くの正則関数で $h(0)=0$ である。
まず $h$ が $0$ の近くで恒等的に $0$ にならないことを示す。$f$ がある空でない開集合の上で定数 $y$ に等しい点の全体を $A$、すなわち「$f$ がその点の近傍で局所定数」となる点の全体とすると、$A$ は定義から開集合である。$A$ の閉包の点 $p$ をとり、$p$ の周りの座標で $f$ を表すと、$p$ にいくらでも近い点で局所表示が定数になるので、局所表示は $p$ の連結な座標近傍の空でない開集合の上で定数になり、一致の定理 によりその近傍全体で定数である。よって $p\in A$ となり、$A$ は閉集合でもある。$X$ は連結で、$f$ は定数でないので $A\neq X$ であり、したがって $A=\emptyset$ である。
$h\not\equiv0$ だから $h$ の $0$ での零点の位数 $e\ge1$ が定まり、$h(z)=z^{e}u(z)$、$u(0)\neq0$ と書ける。$0$ を中心とする小さい円板 $\Delta$ の上で $u$ は零点をもたないので、$\Delta$ は単連結であることから $u$ の $e$ 乗根となる正則関数 $v$（$v^{e}=u$）がとれる。$\zeta:=z\,v(z)$ とおくと、$\zeta$ の $0$ での微分係数は $v(0)\neq0$ なので、逆関数定理により $\zeta$ は $0$ の十分小さい近傍の上で正則な座標になり、その上で $h=z^{e}v^{e}=\zeta^{e}$ となる。
最後に $e$ の一意性を示す。別の中心付き座標 $z'$、$w'$ をとると、$z'=\varphi(z)$、$w'=\psi(w)$ で $\varphi(0)=\psi(0)=0$、$\varphi'(0)\neq0$、$\psi'(0)\neq0$ である。新しい局所表示 $\psi\circ h\circ\varphi^{-1}$ の $0$ での零点の位数は、$\varphi^{-1}$ の位数 $1$ と $h$ の位数 $e$ と $\psi$ の位数 $1$ の積であり、$e$ に等しい。上の $e$ はこの位数だから、座標によらない。$\square$

$x\in X$ の周りで $f$ を $\zeta\mapsto\zeta^{e}$ と表すと、$\zeta\neq0$ の点では導関数が $0$ でないので、$x$ の近傍には $x$ 以外の臨界点がない。よって $C_f$ の各点は孤立し、$C_f$ に属さない点も臨界点を含まない近傍をもつ（臨界点でない点の近くでは局所表示の導関数が $0$ でない）ので、$C_f$ は閉集合である。コンパクト空間の離散な閉集合は有限集合である。$\square$

$K:=X\setminus U$ はコンパクト空間の閉集合なのでコンパクトであり、その像 $f(K)$ はコンパクトで、Hausdorff 空間 $Y$ の閉集合である。$f^{-1}(y)\subset U$ より $y\notin f(K)$ だから、$D:=Y\setminus f(K)$ は $y$ の開近傍である。$x\in f^{-1}(D)$ なら $f(x)\notin f(K)$ なので $x\notin K$、すなわち $x\in U$ である。$\square$

全射性：局所正規形 $\zeta\mapsto\zeta^{e}$ は $0$ の任意の近傍を $0$ の近傍へ写すので、$f$ は開写像である。一方 $f(X)$ はコンパクトなので Hausdorff 空間 $Y$ の閉集合である。よって $f(X)$ は連結な $Y$ の空でない開かつ閉な部分集合であり、$f(X)=Y$ である。
被覆であること：cor-covering-degree-isolated により $C_f$ は有限集合なので、$B_f$ も有限集合である。$y\in Y\setminus B_f$ をとる。$f^{-1}(y)$ はコンパクトな $X$ の閉集合であり、その各点は臨界点でないから局所正規形で $e=1$、すなわち $f$ はその点の近傍を $y$ の近傍へ双正則に写す。特に $f^{-1}(y)$ の各点は孤立しているので、$f^{-1}(y)=\{x_1,\ldots,x_r\}$ は有限集合である。Hausdorff 性から互いに交わらない開近傍 $U_1,\ldots,U_r$ を、各 $f|_{U_j}$ が $U_j$ から $f(U_j)$ への同相写像になるようにとる。lem-covering-degree-fiber-neighborhood により $y$ の開近傍 $D'$ で $f^{-1}(D')\subset U_1\cup\cdots\cup U_r$ となるものがあり、$D:=D'\cap f(U_1)\cap\cdots\cap f(U_r)\setminus B_f$ とおくと、$f^{-1}(D)$ は $U_j\cap f^{-1}(D)$ の非交和で、各部分は $f$ によって $D$ に同相に写る。よって $f|_{X\setminus R_f}$ は被覆写像であり、$\#f^{-1}(y')=r$ が $y'\in D$ で一定である。
したがって $y\mapsto\#f^{-1}(y)$ は $Y\setminus B_f$ 上で局所一定である。連結な曲面から有限個の点を除いた $Y\setminus B_f$ は連結なので、この値は一定である。$\square$

$f^{-1}(y)$ はコンパクトな $X$ の閉集合で、各点は局所正規形により孤立しているので、有限集合 $\{x_1,\ldots,x_r\}$ である。$e_j:=e_{x_j}(f)$ とおく。$y$ を中心とする座標 $w$ を一つ固定する。prf-covering-degree-normal-form の構成は $y$ 側の座標 $w$ を任意に選んでから $x$ 側の座標を作るものだったので、各 $x_j$ の周りに座標 $\zeta_j$ を選んで $w\circ f=\zeta_j^{e_j}$ とできる。その座標近傍 $U_j$ を互いに交わらないようにとる。
lem-covering-degree-fiber-neighborhood により、$w$ の像が円板 $\{\lvert w\rvert<\varepsilon\}$ になる $y$ の近傍 $D$ で $f^{-1}(D)\subset U_1\cup\cdots\cup U_r$ となるものがとれる。$\varepsilon$ を小さくして、各 $U_j$ の中で $\{\lvert\zeta_j\rvert<\varepsilon^{1/e_j}\}$ が座標の定義域に収まるようにしておく。$B_f$ は有限なので、$D\setminus\{y\}$ に臨界値でない点 $y'$ がある。$w(y')=c\neq0$ とすると、$U_j$ の中の $y'$ の逆像は方程式 $\zeta_j^{e_j}=c$ の解、すなわち相異なる $e_j$ 個の点である。したがって
$$ \deg(f)=\#f^{-1}(y')=\sum_{j=1}^{r}e_j $$
を得る。$\square$

$B_f\subset Y$、$B_g\subset Z$ をそれぞれ $f,g$ の臨界値集合とする。$g\circ f$ も定数でない正則写像であり、その臨界値集合 $B_{g\circ f}$ も有限である。有限集合 $B_g\cup g(B_f)\cup B_{g\circ f}$ に属さない点 $z\in Z$ をとる。すると $g^{-1}(z)$ は $\deg(g)$ 個の点からなり、その各点 $y$ は $f$ の臨界値でないので $f^{-1}(y)$ は $\deg(f)$ 個の点からなる。これらのファイバーは互いに交わらないから、
$$ \#(g\circ f)^{-1}(z)=\sum_{y\in g^{-1}(z)}\#f^{-1}(y)=\deg(g)\deg(f). $$
$z$ は $g\circ f$ の臨界値でないので、左辺は $g\circ f$ の被覆次数である。$\square$

$f$ が双正則なら、各点の逆像は $1$ 点で臨界点はないので $\deg(f)=1$ である。逆に $\deg(f)=1$ とする。prop-degree-local-sum により、各 $y\in Y$ について $\sum_{x\in f^{-1}(y)}e_x(f)=1$ であり、局所次数は正の整数だから、$f^{-1}(y)$ はちょうど $1$ 点で、その点での局所次数は $1$ である。よって $f$ は全単射で、どの点でも局所正規形が $\zeta\mapsto\zeta$、すなわち $f$ は各点の近傍を双正則に写す。したがって逆写像は局所的にこれらの局所的な逆写像と一致し、正則である。$\square$

$f(x)=c\in\mathbb C$ となる点 $x$ では、$c$ を中心とする $\mathbb P^1$ の座標 $w-c$ をとると、局所表示 $f-c$ の $x$ での零点の位数が、prf-covering-degree-normal-form で見たとおり局所次数 $e_x(f)$ に等しい。$f(x)=\infty$ となる点では、$\infty$ を中心とする座標 $1/w$ をとると、局所表示 $1/f$ の零点の位数、すなわち $f$ の極の位数が $e_x(f)$ に等しい。したがって prop-degree-local-sum を $y=c$ と $y=\infty$ に適用すれば主張を得る。$\square$

$n:=\max\{\deg P,\deg Q\}$ とおく。$c\in\mathbb C$ を $c\neq f(\infty)$ となるように選ぶ。$f(a)=c$ となる $a\in\mathbb C$ では $Q(a)\neq0$ である。実際 $Q(a)=0$ なら $P(a)\neq0$（共通の零点がない）なので $a$ は $f$ の極になり、$f(a)=\infty$ となってしまう。$Q(a)\neq0$ の点の近くでは $f-c=(P-cQ)/Q$ だから、$f-c$ の $a$ での零点の位数は多項式 $P-cQ$ の $a$ での根の重複度に等しい。逆に $P-cQ$ の根 $a$ では、$Q(a)=0$ とすると $P(a)=0$ にもなり矛盾するので $Q(a)\neq0$、よって $f(a)=c$ である。$c\neq f(\infty)$ だから $\infty$ は $f^{-1}(c)$ に入らない。cor-covering-degree-zeros-poles により、$\deg(f)$ は $P-cQ$ の根の重複度込みの個数、すなわち $\deg(P-cQ)$ に等しい。
最後に $\deg(P-cQ)=n$ を確かめる。$\deg P>\deg Q$ なら $\deg(P-cQ)=\deg P=n$ である。$\deg P<\deg Q$ なら $f(\infty)=0$ なので $c\neq0$ であり、$\deg(P-cQ)=\deg Q=n$ である。$\deg P=\deg Q=n$ で最高次の係数が $a_n,b_n$ なら $f(\infty)=a_n/b_n$ であり、$c\neq a_n/b_n$ だから $P-cQ$ の $z^n$ の係数 $a_n-cb_n$ は $0$ でない。いずれの場合も $\deg(P-cQ)=n$ である。$\square$