局所単連結空間

1：$x\in X$ の近傍 $V$ に対し、単連結な開集合 $U$ で $x\in U\subset V$ となるものをとると、$U$ は弧状連結な開近傍である。よって $x$ は弧状連結な開近傍の基本系をもつ。
2：半局所単連結空間の記事の命題「局所単連結ならば半局所単連結」である。
3：可縮な空間は単連結である（単連結空間の記事の命題「可縮ならば単連結」）ので、可縮な開近傍の基本系は単連結な開近傍の基本系である。
4：$O\subset X$ を開集合、$x\in O$、$V$ を $O$ における $x$ の近傍とする。$V$ は $O$ の開集合 $V'$ で $x\in V'$ となるものを含み、$V'$ は $X$ の開集合なので $X$ における $x$ の近傍である。単連結な $X$ の開集合 $U$ で $x\in U\subset V'$ となるものをとると、$U$ は $O$ の開集合で、単連結性は $U$ 自身の位相だけで決まるので、$O$ の中でも単連結な開近傍である。
5：$x\in X$ とし、$x$ の局所単連結な開近傍 $O$ をとる。$x$ の $X$ における近傍 $V$ に対し、$V\cap O$ は $O$ における $x$ の近傍なので、$O$ の単連結な開集合 $U$ で $x\in U\subset V\cap O$ となるものがある。$O$ は $X$ の開集合なので $U$ は $X$ の開集合でもある。$\square$

段 1（写像の定義）．$u\in U$ と $e\in F$ に対し、$U$ の中の $u_0$ から $u$ への道 $\alpha$ をとり、$\alpha$ の $e$ を始点とする持ち上げ（被覆空間の記事の定理「道の持ち上げ」）の終点を $\Phi(u,e)$ とおく。これが $\alpha$ の選び方によらないことを示す。$\alpha'$ を $U$ の中の別の道とすると、$\alpha\cdot\bar\alpha'$ は $U$ の中の $u_0$ を基点とするループであり、仮定によりそのクラスは $\pi_1(X,u_0)$ で単位元である。基本亜群の公理（基本群の記事の定理「基本亜群の公理と基本群の群構造」）により、$\alpha$ と $\alpha'$ は $X$ の中で端点を固定してホモトピックである。よって 被覆空間の記事の系「道のホモトピー類と持ち上げの終点」により、$e$ からの持ち上げの終点は一致する。定義から $p(\Phi(u,e))=u$、$\Phi(u_0,e)=e$（定値道をとる）である。$e\in F$ を固定した写像 $u\mapsto\Phi(u,e)$ を $s_e\colon U\to E$ と書く。
段 2（局所的な形と連続性）．$u\in U$ をとり、$u$ の均一被覆近傍 $N$ と、その上のシートで $s_e(u)$ を含むもの $V$ をとる。$U$ は局所弧状連結な開集合なので、弧状連結な開集合 $W$ で $u\in W\subset N\cap U$ となるものがある。$u'\in W$ に対し $W$ の中の $u$ から $u'$ への道 $\beta$ をとると、$\alpha\cdot\beta$ は $U$ の中の $u_0$ から $u'$ への道で、その $e$ からの持ち上げは、$\alpha$ の持ち上げに $s_e(u)$ からの $\beta$ の持ち上げをつないだものである。$(p|_V)^{-1}\circ\beta$ は $s_e(u)$ から始まる $\beta$ の持ち上げなので、持ち上げの一意性により
$$ s_e(u')=(p|_V)^{-1}(u')\qquad(u'\in W) $$
である。$(p|_V)^{-1}\colon N\to V$ は同相写像なので、$s_e$ は $W$ の上で連続で、$s_e(W)=(p|_V)^{-1}(W)$ は $V$ の、したがって $E$ の開集合である。$W$ を $u$ の任意に小さい弧状連結な開近傍にとれるので、$s_e$ は連続な開写像であり、$p\circ s_e=\mathrm{id}_U$ から単射である。よって $s_e(U)$ は $E$ の開集合で、$s_e\colon U\to s_e(U)$ は逆写像 $p|_{s_e(U)}$ をもつ同相写像である。
段 3（全射性）．$e''\in p^{-1}(U)$ をとり、$u:=p(e'')$ とおく。$U$ の中の $u_0$ から $u$ への道 $\alpha$ をとり、逆の道 $\bar\alpha$ の $e''$ からの持ち上げ $\lambda$ を考える。その終点 $e:=\lambda(1)$ は $p(e)=u_0$ を満たすので $e\in F$ である。$\lambda$ を逆にたどった道は $\alpha$ の $e$ からの持ち上げであり、終点は $e''$ である。よって $\Phi(u,e)=e''$ である。
段 4（単射性）．$\Phi(u,e)=\Phi(u',e')$ とすると、$p$ を施して $u=u'$ である。$s_e$ と $s_{e'}$ はともに包含写像 $i\colon U\to X$ の持ち上げで、連結な $U$ の点 $u$ で値が一致するので、被覆空間の記事の定理「持ち上げの一意性」により $s_e=s_{e'}$ であり、$e=s_e(u_0)=s_{e'}(u_0)=e'$ である。
段 5（同相であること）．段 3・4 により $\Phi$ は全単射で、段 2 により各 $U\times\{e\}$ の上で連続である。$F$ は離散なので $U\times F$ は開集合 $U\times\{e\}$ の非交和であり、$\Phi$ は連続である。$U\times F$ の開集合は $\bigcup_e O_e\times\{e\}$（$O_e\subset U$ は開集合）の形で、その像 $\bigcup_es_e(O_e)$ は段 2 により $E$ の開集合である。よって $\Phi$ は同相写像で、$p\circ\Phi=\mathrm{pr}_1$ である。シート $s_e(U)$（$e\in F$）は互いに交わらない開集合で、$p$ によって $U$ と同相に写るので、$U$ は均一に被覆される。$\square$

1：thm-lsc-trivial-cover を単連結な $U$ に適用する。シートは $U$ と同相なので単連結である。単連結な開集合の全体は開基である。
2：$e\in E$ と $e$ の近傍 $W$ をとる。$x:=p(e)$ の均一被覆近傍 $N$ と、$e$ を含むシート $V$ をとる。$p|_V\colon V\to N$ は同相写像で、$V$ と $N$ は開集合なので、$p(W^\circ\cap V)$ は $x$ を含む $X$ の開集合である（$W^\circ$ は $W$ の内部）。単連結な開集合 $U$ で $x\in U\subset p(W^\circ\cap V)$ となるものをとると、$(p|_V)^{-1}(U)$ は $E$ の開集合で、$U$ と同相なので単連結であり、$e\in(p|_V)^{-1}(U)\subset W$ である。
3：$X$ は局所単連結なので局所弧状連結かつ半局所単連結であり（prop-lsc-basic の 1・2）、弧状連結性と合わせて普遍被覆をもつ（普遍被覆の記事の系「普遍被覆が存在するための条件」）。その全空間が局所単連結であることは 2 による。$\square$

1：有限個の場合は 基本群の記事の命題「直積の基本群」であり、同じ証明が任意個で通る。全射性：各 $\lambda$ について $x_\lambda$ を基点とするループ $\alpha_\lambda$ を与えると、直積位相の普遍性により $\gamma:=(\alpha_\lambda)_\lambda\colon[0,1]\to X$ は連続なループで、$q_\lambda\circ\gamma=\alpha_\lambda$ である。単射性：各 $q_\lambda\circ\gamma$ が端点を固定するホモトピー $H_\lambda$ で定値ループに縮むなら、$H:=(H_\lambda)_\lambda$ は直積位相の普遍性により連続で、$\gamma$ を端点を固定して定値ループに縮める。
2：$y,z\in X$ について、各 $\lambda$ で $y_\lambda$ から $z_\lambda$ への道 $\delta_\lambda$ をとれば、$(\delta_\lambda)_\lambda$ は $y$ から $z$ への道なので $X$ は弧状連結である（$X$ が空でないことは選択公理による）。1 により基本群は自明である。$\square$

1：$X_n$ が単連結でない $n$ はすべて $n\le M$ を満たすとする。$x=(x_n)\in X$ と $x$ の近傍 $V$ をとると、直積位相の定義により、$N\ge1$ と各 $n\le N$ についての $x_n$ の開近傍 $V_n$ で
$$ \prod_{n\le N}V_n\times\prod_{n>N}X_n\subset V $$
となるものがある。$N':=\max(N,M)$ とし、$N< n\le N'$ では $V_n:=X_n$ とおく。各 $n\le N'$ について、$X_n$ の単連結な開集合 $U_n$ で $x_n\in U_n\subset V_n$ となるものをとる。$U:=\prod_{n\le N'}U_n\times\prod_{n>N'}X_n$ は $x$ を含む $X$ の開集合で $V$ に含まれ、すべての因子が単連結なので lem-lsc-product-pi1 の 2 により単連結である。
2：$x=(x_n)\in X$ と $x$ の任意の近傍 $V$ をとり、1 と同じく $\prod_{n\le N}V_n\times\prod_{n>N}X_n\subset V$ となる $N$ と $V_n$ をとる。仮定により、$m>N$ で $X_m$ が弧状連結かつ単連結でないものがある。$X_m$ は弧状連結なので、基本群が自明でないことは基点によらず（単連結空間の記事の命題「条件は基点の取り方によらない」）、$\pi_1(X_m,x_m)$ に単位元でない元 $[\beta]$ がある。$j\colon X_m\to X$ を、第 $m$ 成分が $y$ で他の成分が $x_n$ である点 $y\mapsto j(y)$ と定めると、$j$ は直積位相の普遍性により連続である。$\gamma:=j\circ\beta$ は $x$ を基点とするループで、$m>N$ なので像は $V$ に含まれる。$q_m\circ\gamma=\beta$ なので $q_{m*}[\gamma]=[\beta]\ne1$ であり、$[\gamma]$ は $\pi_1(X,x)$ で単位元でない。$V$ は任意なので $X$ は $x$ で半局所単連結でない。prop-lsc-basic の 2 により $X$ は局所単連結でない。$\square$