純非分離拡大
概要
純非分離拡大（purely inseparable extension）とは、標数 $p>0$ の体の拡大 $L/k$ で、各元 $\alpha$ についてある $n\ge0$ で $\alpha^{p^n}\in k$ となるものであり、自動的に代数拡大になる。各元の最小多項式は $X^{p^e}-\alpha^{p^e}$ の形で、有限拡大の次数は $p$ の冪になる。代数拡大 $L/k$ が純非分離であることは $k$ の代数閉包への $k$ 埋込みがただ一つであることと同値で、分離拡大との交わりは $k$ になり、純非分離拡大はすべて完全閉包 $k^{\mathrm{perf}}$ に含まれる。有限純非分離拡大を任意の体 $K$ へ基底変更した $K\otimes_kL$ は唯一の素イデアルをもつ局所Artin環だが、$L\otimes_kL$ のように非零の冪零元をもちうる。
純非分離拡大（purely inseparable extension）とは、標数 $p$ の体の代数拡大で、各元のある $p$ 冪が基礎体に入るものである。根を選ぶときの分岐がなく、代数閉体への基礎体上の埋込みは一つしかない。一方、体への基底変更によって重複した根が現れ、テンソル積は体ではなく非零冪零元を含む環になりうる。埋込みの一意性と、環の被約性とは別の問題である。
本記事では有限拡大だけに定義を限らない。任意の代数拡大の定義、有限拡大の次数、指数が一様に有限である条件、完全閉包を区別する。有限純非分離体拡大を任意の体へ基底変更したテンソル積については、唯一の素イデアルと剰余体、冪零根基を具体的に決定する。任意の基底環へのテンソル積が局所環になると述べているのではない。
定義と一つの根
$k$ を標数 $p>0$ の体、$L/k$ を体拡大とする。$\alpha\in L$ が $k$ 上純非分離であるとは、ある整数 $n\ge0$ に対し $\alpha^{p^n}\in k$ となることをいう。すべての元がこの条件を満たす拡大を純非分離拡大という。元ごとに指数 $n$ が異なってよい。
標数零では純非分離拡大という語を自明な拡大 $L=k$ に限って用いる。以下で非自明な純非分離拡大を論じるときは、標数 $p>0$ とする。
この定義から代数性が従う。実際、$\alpha^{p^n}=a\in k$ なら $\alpha$ はモニック多項式 $X^{p^n}-a$ の根である。したがって「各元のある $p$ 冪が基礎体に入る」という条件だけで、超越元は排除される。$n=0$ が許されるので、基礎体の元はすべて純非分離元である。
標数 $p$ の環では $(x+y)^p=x^p+y^p$ であり、帰納して $(x+y)^{p^n}=x^{p^n}+y^{p^n}$ となる。中間二項係数が $p$ で割れるためである。特に体では $x^{p^n}=y^{p^n}$ なら $(x-y)^{p^n}=0$ なので $x=y$ となる。代数閉体では $X^{p^n}-a$ に根は存在するが、その異なる根はただ一つである。
$\alpha$ が $k$ 上純非分離で、$e$ を $\alpha^{p^e}\in k$ となる最小の非負整数とする。このとき最小多項式は $X^{p^e}-\alpha^{p^e}$ であり、$[k(\alpha):k]=p^e$ である。
$h\in k[X]$ を $\alpha$ のモニック最小多項式とする。$h$ は $X^{p^e}-\alpha^{p^e}$ を割るので、代数閉体の中で異なる根を一つしか持たない。
$h'$ が非零なら、$h$ は既約だから $\gcd(h,h')=1$ であり、重根を持たない。この場合すべての根が異なるはずなので、一つしか根を持たない $h$ の次数は一である。$h'=0$ なら、その非零係数を持つ正次数の項の指数はすべて $p$ の倍数であるから $h(X)=h_1(X^p)$ と書ける。この操作を有限回繰り返して $h(X)=g(X^{p^r})$、$g'\ne0$ とする。$h$ の既約性から $g$ も既約である。$g$ の根ごとに代数閉体で唯一の $p^r$ 乗根が存在し、それは $h$ の根になるから、$g$ も根を一つしか持たない。前の議論により $g$ は次数一である。従って $h=X^{p^r}-b$、$b\in k$ となる。
$h(\alpha)=0$ より $\alpha^{p^r}=b$ なので、$e$ の最小性から $e\le r$ である。一方 $h$ が次数 $p^e$ の多項式を割ることから $r\le e$ である。従って $r=e$ であり、主張を得る。$e=0$ でも同じ結論は一次多項式として成立する。$\square$
一般の非分離代数拡大が必ず純非分離とは限らない。最小多項式の分離部分と純非分離部分の両方が現れる場合がある。ここで得た形は、異なる根がただ一つであるという、純非分離の場合に特有の条件による。
有限次数、塔、指数
純非分離拡大は中間体への制限で保存され、純非分離拡大の塔の合成も純非分離である。有限純非分離拡大の次数は $p$ の冪であり、有限拡大には全元に共通する有限指数が存在する。
$k\subset F\subset L$ とし、$L/k$ が純非分離なら、$F$ の元についても同じ $p$ 冪条件が成立する。また $L$ の元の $p$ 冪は $k\subset F$ に入るから $L/F$ も純非分離である。
逆に $F/k$ と $L/F$ が純非分離とする。$\alpha\in L$ に対し $\alpha^{p^n}\in F$ を選び、さらに $(\alpha^{p^n})^{p^m}\in k$ を選ぶと、$\alpha^{p^{n+m}}\in k$ となる。従って合成も純非分離である。この議論は指数の一様性を要求しない。
$L=k$ の場合は指数零、次数一として直接処理する。以下では $L\ne k$ とする。$L/k$ が有限なら一つ以上の有限個の元 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ で生成できる。各 $\alpha_i$ の $p^{e_i}$ 乗が $k$ に入るので、$e=\max e_i$ とおくと、$L$ のすべての元の $p^e$ 乗が $k$ に入る。実際、元を生成元の有理式で書き、その分子・分母の $p^e$ 乗を取れば、各生成元と各係数の $p^e$ 乗が $k$ に入る。分母は元が非零ならその $p^e$ 乗も非零である。
塔 $k_i=k(\alpha_1,\dots,\alpha_i)$ を作ると、各 $k_i/k_{i-1}$ は前命題の単純純非分離拡大であり、次数は $p^{r_i}$ である。ベクトル空間の基底の積を取る塔の次数公式から $[L:k]=\prod_i p^{r_i}$ は $p$ 冪となる。$L=k$ では次数は $p^0=1$ である。$\square$
共通指数の最小値を拡大の指数という。有限次数と有限指数は同じではない。たとえば $k=\mathbb F_p(s_i\mid i\in I)$ を無限個の独立変数の有理関数体とし、$L=k(s_i^{1/p}\mid i\in I)$ とする。各元は有限個の生成元だけを含む有理式なので $L^p\subset k$ であり、指数は一である。しかし次数は無限である。
この最後の次数の主張を確認する。有限集合 $F\subset I$ を取り、$t_i=s_i^{1/p}$（$i\in F$）とおいて $K_F=k(t_i\mid i\in F)$ とする。$s_i=t_i^p$ だから、$K_F$ は $\mathbb F_p$ 上 $t_i$（$i\in F$）と $s_j$（$j\notin F$）で生成される。
まずこれらの生成元は代数的に独立である。実際、多項式 $P\in\mathbb F_p[X_i,Y_j]$ について $P(t_i,s_j)=0$ とする。$p$ 乗写像は環準同型であり、$\mathbb F_p$ の元 $c$ は $c^p=c$ を満たすので、$P(X_i,Y_j)^p=P(X_i^p,Y_j^p)$ である。これを $t_i,s_j$ で評価すると $P(s_i,s_j^p)=0$ となる。$s_i$ たちは独立変数なので多項式 $P(X_i,Y_j^p)$ は零であり、異なる単項式は $Y_j\mapsto Y_j^p$ で異なる単項式へ移るから $P=0$ である。従って $K_F$ は変数 $X_i$（$i\in F$）、$Y_j$（$j\notin F$）の有理関数体 $\mathbb F_p(X_i,Y_j)$ と $X_i\mapsto t_i$、$Y_j\mapsto s_j$ で同型であり、この同型で $k$ は部分体 $\mathbb F_p(X_i^p,Y_j)$ に対応する。
$F=\{i_1,\dots,i_m\}$ と番号を付け、$E_r=\mathbb F_p(X_{i_1},\dots,X_{i_r},X_{i_{r+1}}^p,\dots,X_{i_m}^p,Y_j)$ とおく。$E_0$ が $k$ に、$E_m$ が $K_F$ に対応し、$E_r=E_{r-1}(X_{i_r})$ である。$E_{r-1}$ の元は、変数 $X_{i_r}$ が $p$ の倍数の指数でしか現れない多項式 $f,g$（$g\ne0$）の比 $f/g$ である。もし $X_{i_r}=f/g$ なら $X_{i_r}g=f$ であるが、左辺の非零多項式の各単項式では $X_{i_r}$ の指数が $p$ を法として $1$、右辺では $0$ であり、$p\ge2$ なので一致しない。従って $X_{i_r}\notin E_{r-1}$ である。$X_{i_r}^p\in E_{r-1}$ だから、prop-pi-minimal で $e=1$ となり $[E_r:E_{r-1}]=p$ である。塔の次数公式から $[K_F:k]=[E_m:E_0]=p^m$、すなわち $[k(s_i^{1/p}\mid i\in F):k]=p^{|F|}$ となる。$K_F\subset L$ であり $F$ の大きさを無限に増やせるから $[L:k]$ は有限でない。この単項式独立性の一般的な整理はp基底で扱う。
埋込みの一意性と分離拡大との交叉
代数拡大 $L/k$ と $k$ の代数閉包 $\overline k$ を固定する。$L/k$ が純非分離であることと、$k$ 埋込み $L\to\overline k$ がただ一つ存在することは同値である。
代数拡大の埋込みの存在と延長をまず確認する。$L$ の中間体 $F$ から $\overline k$ への $k$ 埋込みを考え、延長できる対を包含で順序づける。鎖の合併は整合する体埋込みを与えるので、Zorn の補題により極大の対がある。定義域が $L$ 全体でなければ、その外の代数元 $\alpha$ の最小多項式の係数を埋込みで移した多項式は $\overline k$ に根を持つ。その根を $\alpha$ の像として $F(\alpha)$ へ延長でき、極大性に矛盾する。従って埋込みは全体へ延長する。$F=k$ から始めれば存在も得られる。
$L/k$ が純非分離なら、$\alpha^{p^n}=a\in k$ に対しその像は $X^{p^n}-a$ の唯一の根でなければならない。従って二つの埋込みは各元で一致する。
逆に全体の埋込みが一つとする。$\alpha\in L$ の最小多項式に二つの異なる根があれば、$k(\alpha)$ からそれらへ送る二つの埋込みを、前段の延長論法で $L$ 全体へ延ばせる。これは矛盾する。従って最小多項式は異なる根を一つしか持たない。前命題の証明で使った $h(X)=g(X^{p^r})$ の分解をそのまま適用すると、$g$ は分離既約かつ根が一つなので一次であり、$\alpha^{p^r}\in k$ となる。標数零なら最小多項式は最初から分離的なので次数一であり、$L=k$ である。$\square$
共通の体の中で $L/k$ が純非分離、$E/k$ が分離代数拡大なら、$L\cap E=k$ である。特に分離的かつ純非分離的な代数拡大は自明である。
$\alpha\in L\cap E$ の $k$ 上の最小多項式は、$L$ に属するため異なる根を一つしか持たない。一方 $E$ に属するため分離的であり、すべての根は異なる。従って次数は一であり $\alpha\in k$ となる。逆包含は明らかである。この議論は両拡大が有限である必要はない。$\square$
この交叉の等式は、テンソル積が常に体であるという主張ではない。特に純非分離拡大を同じ純非分離体へ基底変更すると、二つの根の差が非零冪零元になる。分離拡大との交叉の定理と、任意の基底変更を混同しないことが必要である。
任意の体への基底変更
$L/k$ を有限純非分離拡大、$K/k$ を任意の体拡大とする。$T=K\otimes_k L$ は非零の局所 Artin 環である。$K$ の代数閉包で $L$ の元の唯一の根を選んで得る合成体 $F=K(L)$ に対し、自然写像 $T\to F$ は全射であり、その核は冪零根基で、$T$ の唯一の素イデアルである。
$L/k$ の共通指数 $e$ を取り、$q=p^e$ とする。$k$ 基底 $b_1,\dots,b_n$ を選ぶと、$T$ は同じ基底を持つ $n$ 次元 $K$ ベクトル空間である。従って非零であり、イデアルの降鎖は次元の減少が止まれば等しくなるので Artin 環である。
任意の $z=\sum_i c_i\otimes b_i\in T$ に対し、Frobenius の加法性から
$$
z^q=\sum_i c_i^q\otimes b_i^q
=\left(\sum_i c_i^q b_i^q\right)\otimes1\in K\cdot1
$$
となる。この計算は $K$ が完全体でなくても成立する。$z^q=a\cdot1$、$a\in K$ と書くと、$a\ne0$ の場合 $z$ は逆元 $a^{-1}z^{q-1}$ を持つ。$a=0$ の場合 $z$ は冪零である。ゆえにすべての元は単元か冪零元のどちらかである。
冪零元全体 $N$ はイデアルである。ここでは共通指数 $q$ があるので、$z^q=w^q=0$ なら $(z+w)^q=0$、また任意の $t$ に対し $(tz)^q=t^qz^q=0$ と直接確認できる。$1\notin N$ であり、$N$ の外の元はすべて単元なので $T/N$ は体である。すべての素イデアルは冪零元を含み、単元を含まないから、唯一の素イデアルは $N$ である。$N$ は有限次元 $K$ 空間なので有限個の元 $n_1,\dots,n_r$ でイデアルとしても生成できる。各 $n_i^q=0$ であるため、$N^{r(q-1)+1}=0$ となる。実際、生成元のその長さの積には少なくとも一つ $n_i$ が $q$ 回現れる。従って根基は元ごとの冪零だけでなく、イデアルとしても冪零である。
最後に剰余体を同定する。$K$ の代数閉包において $X^q-b_i^q$ の唯一の根を選ぶと、$L$ の加法・乗法の関係も保たれる。たとえば二つの候補の和や積の $q$ 乗は対応する $k$ の関係で決まり、体で $q$ 乗写像が単射だから関係が一致する。これにより $L\to\overline K$ の $k$ 埋込みが得られ、$T\to\overline K$、$c\otimes b\mapsto cb$ を定義できる。
その像は有限次元の $K$ 代数で整域である。非零元による乗法は有限次元空間の単射なので全射であり、逆元が像に存在する。従って像は体であり、$K$ と $L$ の像を含む最小の体 $F=K(L)$ そのものである。写像の核は素イデアルなので唯一の $N$ に一致する。$\square$
この定理の「唯一の素点」は、「元の体と同じ剰余体」という意味ではない。剰余体は基底変更で得られる純非分離合成体 $F/K$ であり、次数は変わることがある。たとえば $K$ がすでに $L$ の像を含めば $F=K$ となるが、テンソル積の $K$ 次元は依然 $[L:k]$ であり、その差は冪零方向に現れる。
$k=\mathbb F_p(s)$、$L=k(\alpha)$、$\alpha^p=s$ とする。$s$ が $p$ 乗でないことは、分数の分母を払い既約因子 $s$ の指数を比較すれば分かる。よって $L/k$ の次数は $p$ であり、
$$
L\otimes_k L\cong L[X]/(X^p-s)
=L[X]/((X-\alpha)^p)
\cong L[\varepsilon]/(\varepsilon^p)
$$
となる。$\varepsilon=X-\alpha$ は非零である。次数 $p$ 未満の多項式はモニック次数 $p$ の関係で零にならないからである。唯一の素イデアルは $(\varepsilon)$、剰余体は $L$、全体の $L$ 次元は $p$ である。元の $L$ は体で被約でも、基底変更後の環は被約でない。
上の $L/k$ に対し基底環を $C=k\times k$ とすると、$C\otimes_k L\cong L\times L$ である。これは二つの素イデアル $L\times0$ と $0\times L$ を持つ。従って「任意の体 $K$ への基底変更」という仮定を「任意の $k$ 代数 $C$」へ変えた局所性の主張は偽である。テンソル積の非零性も、零基底環を許せば当然そのままでは成立しない。
完全閉包と有限指数・無限指数
代数閉包 $\overline k$ を一つ固定し、$k^{1/p^n}=\{x\in\overline k\mid x^{p^n}\in k\}$ とおく。Frobenius の加法性と乗法性、逆元についての同じ計算から、これは体である。$k^{1/p^n}\subset k^{1/p^{n+1}}$ なので、その合併
$$
k^{\mathrm{perf}}=\bigcup_{n\ge0}k^{1/p^n}
$$
は体となる。この体を $k$ の完全閉包という。
$k^{\mathrm{perf}}/k$ は純非分離で、$k^{\mathrm{perf}}$ の Frobenius は全単射である。また $\overline k$ の中の任意の純非分離拡大は $k^{\mathrm{perf}}$ に含まれる。完全体への $k$ 埋込みは、完全閉包からの埋込みへただ一つ延長する。
合併の各元はある $k^{1/p^n}$ に属するので、その $p^n$ 乗は $k$ に入る。従って拡大は純非分離である。体の Frobenius は単射である。$x^{p^n}\in k$ となる $x$ の唯一の $p$ 乗根 $y\in\overline k$ は $y^{p^{n+1}}\in k$ を満たし合併に入るため、Frobenius は全射でもある。
任意の純非分離元は定義によりどれかの $k^{1/p^n}$ に入るので、包含の主張を得る。完全体 $E$ に $k$ を埋め込むと、$a\in k$ の $p^n$ 乗根は $E$ に存在して唯一である。従って $x\in k^{1/p^n}$ を、その $p^n$ 乗の像の唯一の根へ送ればよい。加法・乗法を取って $p^n$ 乗を比較すれば写像は環準同型であり、体からの単位を保つ写像なので単射である。各 $n$ の写像は一意性により両立し、合併へ延びる。逆にどの延長も同じ根を送らなければならず一意である。$\square$
$k=\mathbb F_p(s)$ の場合、$k^{\mathrm{perf}}$ には $s^{1/p^n}$ がすべて入る。それぞれの $k$ 上の次数は $p^n$ であり、指数も $n$ なので、完全閉包全体に共通する有限指数は存在しない。これに対し先の無限変数の例は、無限次数でも指数一だった。有限次数なら有限指数だが、その逆は偽であり、無限拡大では元ごとの指数と共通指数の違いが実際に現れる。
任意の標数 $p$ の体 $k$ に対し $k(t)/k$ は純非分離でない。もし $t^{p^n}=a\in k$ なら、超越元 $t$ が非零多項式 $X^{p^n}-a$ の根となり矛盾する。写像 $k(t^p)\subset k(t)$ は純非分離次数 $p$ の拡大だが、基礎体を $k$ に戻した $k(t)/k$ は超越拡大である。同じ二つの記号 $t$ と $t^p$ が現れても、どの体を基礎にするかによって性質は異なる。
関連する幾何的性質との関係
有限体拡大が幾何的被約であることは分離性と同値であり、非自明な純非分離拡大はその反例を与える。上の自己基底変更の計算は、非零冪零元がどこから生じるかを明示している。幾何的被約性では任意の体上代数についての体拡大後の被約性を、幾何的正則性では Noether 代数についての正則性を扱う。本記事の唯一素点の結論は有限純非分離体拡大についてのものであり、それらの一般代数の判定定理を与えるものではない。
p基底では指数一の純非分離方向を、有限台の制限単項式と微分の基底で整理する。純非分離拡大は指数が二以上の場合も含み、微分だけではどの指数で基礎体に戻るかは分からない。たとえば $\alpha^{p^2}=s$ という関係を微分しても $d(\alpha^{p^2})=0$ であり、指数一と二を区別する情報は消える。
また形式的エタール性における純非分離の反例は、$\alpha\mapsto\alpha+\varepsilon$ という平方零方向の二つの持上げである。これは代数閉体への埋込みが一つであることと矛盾しない。試験先が体なら冪零元は零だが、平方零試験環には非零の $\varepsilon$ があり、$\varepsilon^p=0$ が根のずれを許すからである。どの種類の試験先で一意性を問うかを区別する必要がある。
本記事で扱った体拡大の事実は MatCRT §26 に対応する。
関連項目
参考文献
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