Laguerre多項式

積の微分とLeibnizの公式 の定理「Leibniz の公式」により
$$ \frac{d^n}{dx^n}\bigl(e^{-x}x^{n+\alpha}\bigr)=\sum_{j=0}^n\binom nj(-1)^{n-j}e^{-x}\,(n+\alpha)(n+\alpha-1)\cdots(n+\alpha-j+1)\,x^{n+\alpha-j} $$
である（$e^{-x}$ の $n-j$ 階導関数は $(-1)^{n-j}e^{-x}$）。$\frac{x^{-\alpha}e^x}{n!}$ を掛けて $k:=n-j$ とおくと、$x^k$ の係数は
$$ \frac{(-1)^k}{n!}\binom nk(n+\alpha)\cdots(k+\alpha+1)=\frac{(-1)^k}{k!}\cdot\frac{(n+\alpha)\cdots(k+\alpha+1)}{(n-k)!}=\frac{(-1)^k}{k!}\binom{n+\alpha}{n-k} $$
である（積 $(n+\alpha)\cdots(k+\alpha+1)$ は $n-k$ 個の因子からなる）。$k=n$ の項が最高次で係数 $\frac{(-1)^n}{n!}$、$k=0$ の項が定数項である。$\alpha>-1$ なので $\alpha+1,\dots,\alpha+n$ はすべて正である。$\square$

$u:=e^{-x}x^{n+\alpha}$ とおくと、定義から $L_n^{(\alpha)}x^\alpha e^{-x}=\frac1{n!}u^{(n)}$ である。$q$ を多項式とする。$0\le i\le n$ について、$q^{(i)}u^{(n-i)}$ は lem-lag-vanish により $e^{-x}x^{\alpha+i}\times(\text{多項式})$ の形で、$\alpha+i>-1$ なので $(0,\infty)$ で絶対可積分である（多項式は冪 $x^k$ の和で、$s>-1$ なら $\int_0^\infty x^se^{-x}\,dx=\Gamma(s+1)$ は絶対収束する。Γ関数 の定義「$\Gamma$ 関数」）。$0< \varepsilon< R$ で部分積分すると
$$ \int_\varepsilon^Rq^{(i)}u^{(n-i)}\,dx=\Bigl[q^{(i)}u^{(n-i-1)}\Bigr]_\varepsilon^R-\int_\varepsilon^Rq^{(i+1)}u^{(n-i-1)}\,dx\qquad(0\le i\le n-1) $$
であり、$\varepsilon\to+0$、$R\to\infty$ とすると lem-lag-vanish（$j=n-i-1\le n-1$）により境界の項は $0$ になる。これを $i=0,1,\dots$ と繰り返して
$$ \int_0^\infty q\,u^{(n)}\,dx=(-1)^i\int_0^\infty q^{(i)}u^{(n-i)}\,dx\qquad(0\le i\le n) $$
を得る。
低い次数との直交性。 $q$ の次数 $m$ が $n-1$ 以下なら、$i=m+1\le n$ として $q^{(m+1)}=0$ なので積分は $0$ である。$m\ne n$ のときは、次数の小さいほうを $q$ にとれば第 1 式の $0$ を得る。
大きさ。 $q=L_n^{(\alpha)}$、$i=n$ とする。prop-lag-explicit により $q^{(n)}=n!\cdot\frac{(-1)^n}{n!}=(-1)^n$ なので
$$ \int_0^\infty\bigl(L_n^{(\alpha)}\bigr)^2x^\alpha e^{-x}\,dx=\frac1{n!}(-1)^n(-1)^n\int_0^\infty e^{-x}x^{n+\alpha}\,dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!} $$
である（Γ関数 の定義「$\Gamma$ 関数」）。$\square$

指数関数の級数から
$$ \exp\Bigl(-\frac{xt}{1-t}\Bigr)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-xt)^k}{k!}\,(1-t)^{-k} $$
なので、左辺は $\sum_k\frac{(-xt)^k}{k!}(1-t)^{-(\alpha+k+1)}$ である。$\gamma:=\alpha+k+1>0$ について、二項定理と組合せの恒等式 の定理「一般二項定理」から $(1-t)^{-\gamma}=\sum_{j\ge0}\binom{-\gamma}j(-t)^j=\sum_{j\ge0}\binom{\gamma+j-1}jt^j$ で、係数 $\binom{\gamma+j-1}j=\binom{\alpha+k+j}j$ はすべて正である。よって左辺は 2 重級数
$$ \sum_{k=0}^\infty\sum_{j=0}^\infty\frac{(-x)^k}{k!}\binom{\alpha+k+j}j\,t^{k+j} $$
に等しい。各項を絶対値に替えた和は、同じ計算を $x,t$ の代わりに $-|x|,|t|$ で行ったもので、$(1-|t|)^{-\alpha-1}\exp\bigl(\frac{|x||t|}{1-|t|}\bigr)<\infty$ である。したがって項の順序を変えてよく、$n=k+j$ ごとにまとめると $t^n$ の係数は
$$ \sum_{k=0}^n\frac{(-x)^k}{k!}\binom{\alpha+n}{n-k}=L_n^{(\alpha)}(x) $$
である（prop-lag-explicit）。$\square$

$x$ を固定し、$G(t):=(1-t)^{-\alpha-1}\exp\bigl(-\frac{xt}{1-t}\bigr)$ とおく。$\frac{d}{dt}\frac{t}{1-t}=\frac1{(1-t)^2}$ から
$$ G'(t)=\Bigl(\frac{\alpha+1}{1-t}-\frac x{(1-t)^2}\Bigr)G(t),\qquad\text{すなわち}\qquad(1-t)^2G'(t)=\bigl((\alpha+1)(1-t)-x\bigr)G(t) $$
である。prop-lag-generating により $G(t)=\sum_na_nt^n$（$a_n:=L_n^{(\alpha)}(x)$）は $|t|<1$ で収束する冪級数なので、項別に微分でき、和の関数が等しい冪級数の係数は等しい（冪級数 の定理「項別微分」と系「何回でも微分できることと係数の公式」）。両辺の $t^n$（$n\ge1$）の係数を比べると
$$ (n+1)a_{n+1}-2na_n+(n-1)a_{n-1}=(\alpha+1-x)a_n-(\alpha+1)a_{n-1} $$
で、整理すると主張の式になる。$\square$

1：prop-lag-explicit の式を微分して $j:=k-1$ とおくと
$$ \frac{d}{dx}L_n^{(\alpha)}=\sum_{k=1}^n\binom{n+\alpha}{n-k}\frac{(-1)^kx^{k-1}}{(k-1)!}=-\sum_{j=0}^{n-1}\binom{(n-1)+(\alpha+1)}{(n-1)-j}\frac{(-x)^j}{j!}=-L_{n-1}^{(\alpha+1)} $$
である。2：母関数は $\alpha$ を $\alpha+1$ に替えたものの $(1-t)$ 倍なので、$\sum_nL_n^{(\alpha)}t^n=(1-t)\sum_nL_n^{(\alpha+1)}t^n$ の $t^n$ の係数を比べればよい（prop-lag-generating の右辺は絶対収束する冪級数なので、積の係数は各項の積の和である）。$\square$

$y=\sum_{k=0}^nc_kx^k$、$c_k:=\binom{n+\alpha}{n-k}\frac{(-1)^k}{k!}$ とする（$c_{n+1}:=0$）。$xy''+(\alpha+1)y'-xy'+ny$ の $x^k$ の係数は
$$ (k+1)k\,c_{k+1}+(\alpha+1)(k+1)c_{k+1}-kc_k+nc_k=(k+1)(k+\alpha+1)c_{k+1}+(n-k)c_k $$
である。$0\le k\le n-1$ では、$\binom{n+\alpha}{n-k-1}\big/\binom{n+\alpha}{n-k}=\frac{n-k}{k+\alpha+1}$（分子は分母より因子 $k+\alpha+1$ が 1 つ少なく、階乗は $(n-k-1)!$ と $(n-k)!$）から $c_{k+1}=-\frac{n-k}{(k+1)(k+\alpha+1)}c_k$ なので、この係数は $0$ である。$k=n$ でも $c_{n+1}=0$、$n-k=0$ で $0$ である。後半の形は $\bigl(x^{\alpha+1}e^{-x}y'\bigr)'=x^\alpha e^{-x}\bigl(xy''+(\alpha+1-x)y'\bigr)$ による。$\square$