Chern類の構成(射影束)

1：$g_0,g_1$ をファイバーごとに単射な写像とする。ベクトル束の分類定理 の定理「ファイバーごとに単射な写像の存在と一意性」の 2 により、各 $G_t$ がファイバーごとに単射な連続写像 $G\colon E\times[0,1]\to\mathbb C^\infty$ で $G_0=g_0$、$G_1=g_1$ となるものがある。$H([v],t):=\mathbb C\,G(v,t)$ とおく。$q\colon E_0\to P(E)$ を商写像とすると、$H\circ(q\times\mathrm{id})$ は $G$ と $y\mapsto\mathbb Cy$ の合成である。後者は $\mathbb C^\infty\setminus\{0\}$ 上で連続であり（同記事の命題「普遍束とGauss写像」の 1、$r=1$）、$q\times\mathrm{id}$ は商写像なので（分裂原理 の補題「射影化の商写像」の 3）、$H$ は連続である。$H$ は $P(g_0)$ と $P(g_1)$ を結ぶホモトピーなので、特異コホモロジー の定理「ホモトピー不変性」により $P(g_0)^*h=P(g_1)^*h$ である。

2：分裂原理 の命題「複素ベクトル束の射影化の 2 次の類」を、$H^2(\mathbb{CP}^\infty)$ の生成元 $c=h$ に当てる。

3：$g\circ\varphi$ は $E'$ のファイバーごとに単射な写像であり、分裂原理 の命題「ファイバーごとに単射な写像が誘導する写像」により $\pi\circ P(\varphi)=f\circ\pi'$、$P(g\circ\varphi)=P(g)\circ P(\varphi)$ である。1 により $x_{E'}=P(g\circ\varphi)^*h=P(\varphi)^*P(g)^*h=P(\varphi)^*x_E$ である。$\square$

1：$\pi\colon P(L)\to B$ は全単射で、分裂原理 の命題「射影化の局所自明性」の 2 により局所的に $U\times\mathbb{CP}^0\to U$ と同相なので、同相写像である。$\ell=L_b$ について $P(g)(\ell)=g(L_b)=\bar g(b)$ なので $P(g)=\bar g\circ\pi$、$x_L=\pi^*\bar g^*h$ である。定義の関係式は $x_L+\pi^*c_1(L)=0$、すなわち $\pi^*(\bar g^*h+c_1(L))=0$ であり、$\pi^*$ は同型なので $c_1(L)=-\bar g^*h$ である。束同型 $\psi\colon L'\to L$ について、$g\circ\psi$ は $L'$ のファイバーごとに単射な写像で、Gauss 写像は $\bar g$ のままなので、$c_1(L')=c_1(L)$ である（cch-lem-class の 1 により $c_1$ は $g$ によらない）。

2：$g$ から作った計量（分裂原理 の補題「ファイバーごとに単射な写像の受け継ぎ」の 3）により、部分束・商束・双対束 の命題「計量による双対束の同一視」から $L^\vee\cong\overline L$（共役束：同じ空間で $\lambda$ 倍を $\bar\lambda$ 倍に替えたもの）である。$\kappa_0\colon\mathbb C^\infty\to\mathbb C^\infty$ を成分ごとの複素共役とすると、$\kappa_0\circ g$ は $\overline L$ の各ファイバーで複素線形かつ単射であり、その Gauss 写像は $\kappa\circ\bar g$ である。ここで $\kappa\colon\mathbb{CP}^\infty\to\mathbb{CP}^\infty$、$\kappa(\mathbb Cy)=\mathbb C\kappa_0(y)$ で、$y\mapsto\mathbb Cy$ が商写像なので（ベクトル束の分類定理 の命題「普遍束とGauss写像」の 1）$\kappa$ は連続である。1 により $c_1(L^\vee)=c_1(\overline L)=-\bar g^*\kappa^*h$ である。

$\kappa^*h=-h$ を示す。$\kappa$ は $\mathbb{CP}^1$ を保つ。Riemann球面 の定理「Riemann 面としての構造と射影直線との一致」の (R3) の $[a_0:a_1]\mapsto a_1/a_0$ と命題「立体射影の式」で $\mathbb{CP}^1$ を $S^2$ と同一視すると、$\kappa|_{\mathbb{CP}^1}$ は $w\mapsto\bar w$、すなわち鏡映 $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,-x_2,x_3)$ になる。その写像度は $-1$ である（写像度 の定理「鏡映の写像度」）。普遍係数定理 の定理「特異コホモロジーの普遍係数定理」により $H^2(\mathbb{CP}^1)=\operatorname{Hom}(H_2(\mathbb{CP}^1),\mathbb Z)$ なので、$\kappa|_{\mathbb{CP}^1}^*$ は $H^2(\mathbb{CP}^1)$ に $-1$ 倍で作用する。包含 $i_1\colon\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^\infty$ について $i_1^*\kappa^*h=(\kappa|_{\mathbb{CP}^1})^*h_1=-h_1=i_1^*(-h)$ であり、$i_1^*$ は $H^2$ で同型なので $\kappa^*h=-h$ である。よって $c_1(L^\vee)=\bar g^*h=-c_1(L)$ である。

3：$\gamma_m\subset\mathbb{CP}^m\times\mathbb C^{m+1}$ について、$g(\ell,v):=v\in\mathbb C^{m+1}\subset\mathbb C^\infty$ はファイバーごとに単射であり、Gauss 写像は包含 $\mathbb{CP}^m\to\mathbb{CP}^\infty$ である。1 により $c_1(\gamma_m)=-h_m$、2 により $c_1(\mathcal O(1))=h_m$ である。

4：$P(E)$ はパラコンパクト Hausdorff 空間である（分裂原理 の補題「射影化のパラコンパクト性」）。$(\ell,w)\mapsto g(w)$ は $L_E$ のファイバーごとに単射な写像で、その Gauss 写像は $P(g)$ である（同記事の命題「トートロジー直線部分束」の 3）。1 により $c_1(L_E)=-P(g)^*h=-x_E$ であり、2 により $-c_1(L_E)=c_1(L_E^\vee)$ である。$\square$

$X$ を $H^*(B)$ のすべての元と可換な不定元とする。$x_E$ は偶数次なので $H^*(P(E))$ の中心にあり、$\sum_jb_jX^j\mapsto\sum_j\pi^*b_j\,x_E^{\,j}$ は環準同型である。cch-thm-projective の 1 により全射である。$F:=X^n+c_1(E)X^{n-1}+\cdots+c_n(E)$ は定義の関係式により核に入る。係数 $c_i(E)$ は偶数次なので $F$ は中心にあり、$F$ が生成する両側イデアルは $F\cdot H^*(B)[X]$ である。任意の $p\in H^*(B)[X]$ は、最高次の係数が $1$ の $F$ による割り算で $p=qF+r$（$r$ の $X$ についての次数は $n$ 未満）と書ける。$p$ が核に入れば $r$ の像 $\sum_{j< n}\pi^*r_j\,x_E^{\,j}$ が $0$ で、cch-thm-projective の 1 の単射性から $r=0$ である。よって核は $(F)$ である。$\square$

$\mathbb{CP}^1$ に複素構造の向きを入れ、$a:=(1,0)$、$\langle x,y\rangle:=\sum_k\overline{x_k}\,y_k$ とする。$s([z]):=\frac{\langle z,a\rangle}{\langle z,z\rangle}z$ は $z$ を $\lambda z$ に替えても変わらず、$\gamma_1$ の連続な切断（$a$ の直線 $\mathbb Cz$ への直交射影）である。$s([z])=0$ は $\overline{z_0}=0$、すなわち $[z]=[0:1]$ のときに限る。$z_1\ne0$ の上の正則な座標 $w=z_0/z_1$ と、局所枠 $u(w)=(w,1)$ による複素線形な（したがって向きを保つ）自明化をとると、$s=\frac{\bar w}{1+|w|^2}u(w)$ である。$|w|=\varepsilon$ の上で $\bar w/|w|$ は $v\mapsto\bar v$ という $S^1$ の鏡映なので、Euler類 の定義「孤立零点の指数」の指数は $-1$ である（写像度 の定理「鏡映の写像度」）。同記事の定理「零点の指数の和と Euler 数」により $\langle e((\gamma_1)_{\mathbb R}),[\mathbb{CP}^1]\rangle=-1$ である。$\alpha\mapsto\langle\alpha,[\mathbb{CP}^1]\rangle$ は同型 $H^2(\mathbb{CP}^1)\to\mathbb Z$ で $\langle h_1,[\mathbb{CP}^1]\rangle=1$ なので、$e((\gamma_1)_{\mathbb R})=-h_1$ である。

$\mathbb{CP}^\infty$ は CW 複体なのでパラコンパクト Hausdorff である（無限次元射影空間 の定理「位相と胞体の構造」、パラコンパクト空間 の定理「CW 複体のパラコンパクト性」）。$\gamma^1$ の $\mathbb{CP}^1$ への制限は $\gamma_1$ なので、Euler 類の自然性（Euler類 の命題「Euler 類の基本性質」の 1）から $i_1^*e(\gamma^1_{\mathbb R})=-h_1=i_1^*(-h)$ であり、$i_1^*$ は $H^2$ で同型なので $e(\gamma^1_{\mathbb R})=-h$ である。

一般の $L$ について、$L\cong\bar g^*\gamma^1$ は複素線形な束同型なので（ベクトル束の分類定理 の命題「普遍束とGauss写像」の 3）、複素構造の向きを保つ。向きを保つ束同型で Thom 類は Thom 類に移るので（Euler類 の命題「Euler 類の基本性質」の 1 の証明と同じく Thom 類の一意性による）、$e(L_{\mathbb R})=\bar g^*e(\gamma^1_{\mathbb R})=-\bar g^*h=c_1(L)$ である（cch-prop-line の 1）。$\square$