有限生成アーベル群

存在。定義の後の段落のとおり、関係行列 $A$（$n\times m$ 整数行列）で $G\cong\mathbb{Z}^n/A\mathbb{Z}^m$ と表示する。有限生成加群 の記事の補題「有限行列のSmith標準形」を単項イデアル整域 $\mathbb{Z}$ に使うと、$U\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$、$V\in\mathrm{GL}_m(\mathbb{Z})$ で、$D:=UAV$ の $(i,i)$ 成分 $\delta_i$（$1\le i\le s$）が $0$ でなく $\delta_1\mid\cdots\mid\delta_s$ を満たし、ほかの成分がすべて $0$ となるものがある。行に $-1$ を掛ける操作も $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ の元なので $\delta_i>0$ としてよい。$U$ は $\mathbb{Z}^n$ の自己同型で、$V\mathbb{Z}^m=\mathbb{Z}^m$ なので
$$ U(A\mathbb{Z}^m)=UAV\mathbb{Z}^m=D\mathbb{Z}^m=\delta_1\mathbb{Z}e_1\oplus\cdots\oplus\delta_s\mathbb{Z}e_s $$
であり、$U$ は同型 $\mathbb{Z}^n/A\mathbb{Z}^m\cong\mathbb{Z}^n/D\mathbb{Z}^m$ を誘導する。座標ごとに剰余をとって
$$ G\cong\mathbb{Z}^{n-s}\oplus\mathbb{Z}/\delta_1\mathbb{Z}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}/\delta_s\mathbb{Z} $$
を得る。$\delta_i=1$ の因子は $0$ なので除く。整除列なので $\delta_i=1$ となる $i$ は最初のいくつかであり、残りの $\delta_i\ge2$ はふたたび整除列である。これを $d_1\mid\cdots\mid d_k$、$r:=n-s$ とおけば 1 の分解になる。各 $d_i=\prod_pp^{e_p}$ について $\mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}\cong\bigoplus_p\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z}$（中国剰余定理）と分ければ 2 の分解になる。
3。$G=\mathbb{Z}^r\oplus F$（$F$ は有限）とする。$(x,f)\in\mathbb{Z}^r\oplus F$ が有限位数なら、ある $N\ge1$ で $Nx=0$ であり、$\mathbb{Z}^r$ では $x=0$ である。逆に $F$ の元は位数が $|F|$ の約数なので有限位数である。よって $T(G)=0\oplus F$ であり、$G/T(G)\cong\mathbb{Z}^r$ である。
一意性（階数）。1 または 2 の形の分解 $G\cong\mathbb{Z}^r\oplus F$ では、3 により $F\cong T(G)$、$\mathbb{Z}^r\cong G/T(G)$ である。自由アーベル群の階数は基底の取り方によらない（自由アーベル群 の記事の「階数」の節）ので、$r$ は $G$ だけで決まる。
一意性（有限部分）。有限アーベル群 $T$ と素数 $p$、$j\ge1$ について
$$ N_{p,j}(T):=\dim_{\mathbb{F}_p}\bigl(p^{j-1}T/p^jT\bigr) $$
とおく（$p^{j-1}T/p^jT$ は $p$ 倍で $0$ になるので $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上のベクトル空間である）。同型 $T\cong T'$ は $p^kT$ を $p^kT'$ に移すので、$N_{p,j}$ は $T$ の同型類だけで決まる。巡回群 $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ では $p^k(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})=(p^k\mathbb{Z}+d\mathbb{Z})/d\mathbb{Z}=\gcd(p^k,d)\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ なので、
$$ p^{j-1}(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})/p^j(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})\cong\gcd(p^{j-1},d)\mathbb{Z}/\gcd(p^j,d)\mathbb{Z} $$
の位数は $\gcd(p^j,d)/\gcd(p^{j-1},d)$、すなわち $p^j\mid d$ なら $p$、そうでなければ $1$ である。$p^k$ 倍は直和の成分ごとにとれるので、$T=\bigoplus_{i=1}^k\mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}$ なら
$$ N_{p,j}(T)=\#\{i\mid p^j\mid d_i\} $$
である。$d_1\mid\cdots\mid d_k$ なので、$p^j\mid d_i$ なら $i$ より後のすべての $d_{i'}$ も $p^j$ で割り切れ、$N_{p,j}=\mu$ は「最後の $\mu$ 個がちょうど $p^j$ で割り切れる」ことを意味する。したがって、$1\le\mu\le k$ について $d_{k+1-\mu}$ を割る $p$ の冪指数は $\#\{j\ge1\mid N_{p,j}\ge\mu\}$ に等しい。また $k\ge1$ なら $d_1\ge2$ を割る素数 $p$ はすべての $d_i$ を割るので $N_{p,1}=k$ であり、どの素数でも $N_{p,1}\le k$ だから、$k=\max_pN_{p,1}$ である（$T=0$ なら $k=0$）。こうして $k$ と各 $d_i$ のすべての素数の冪指数が $T(G)$ の同型類から決まり、不変因子は一意である。素因子については、$T=\bigoplus_l\mathbb{Z}/q_l\mathbb{Z}$ で同じ計算をすると $N_{p,j}(T)$ は $q_l$ のうち $p^j$ で割り切れる $p$ の冪の個数になるので、$p^j$ に等しい素因子の個数は $N_{p,j}-N_{p,j+1}$ であり、やはり一意である。$\square$

全射 $\pi\colon\mathbb{Z}^n\to G$ をとり、部分群 $H\subset G$ について $\pi^{-1}(H)\subset\mathbb{Z}^n$ を考える。これは $\mathbb{Z}^n$ の部分群なので、階数 $m\le n$ の自由アーベル群であり（自由アーベル群 の記事の命題「有限階数の自由アーベル群の部分群」）、基底 $y_1,\dots,y_m$ をもつ。$\pi$ は全射なので $\pi(\pi^{-1}(H))=H$ であり、$H$ は $\pi(y_1),\dots,\pi(y_m)$ で生成される。剰余群 $G/H$ は生成系の像で生成される。$\square$

右辺は各直和因子の生成元 $r+k$ 個で生成されるので $\mu(G)\le r+k$ である。逆向きを示す。$k\ge1$ なら $d_1$ を割る素数を、$k=0$ なら任意の素数を $p$ とする。$pG=\{px\mid x\in G\}$ による剰余群 $G/pG$ は、直和因子ごとに計算できる。直和因子 $\mathbb{Z}$ からは $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が出る。$p\mid d$ なら $(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})/p(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})=(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})/(p\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であり、$p\mid d_1\mid d_i$ なので
$$ G/pG\cong(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{r+k} $$
である。これは有限体 $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上の $r+k$ 次元ベクトル空間で、$G$ の生成系の像は $G/pG$ を $\mathbb{F}_p$ 上張るので、少なくとも $r+k$ 個の元を含む。よって $\mu(G)\ge r+k$ である。$\square$

1：まず $\mathbb{Z}^r$ の $r+1$ 個の元は一次従属であることを示す。一次独立な $y_1,\dots,y_{r+1}\in\mathbb{Z}^r$ があれば、それらが生成する部分群は $y_1,\dots,y_{r+1}$ を基底とする階数 $r+1$ の自由アーベル群になる。一方、$\mathbb{Z}^r$ の部分群は階数 $r$ 以下の自由アーベル群であり（自由アーベル群 の記事の命題「有限階数の自由アーベル群の部分群」）、階数は基底によらないので矛盾である。
$G=\mathbb{Z}^r\oplus T(G)$（thm-fgab-fundamental の 3）とし、$x_1,\dots,x_m\in G$ を一次独立とする。射影 $p\colon G\to\mathbb{Z}^r$ による像 $p(x_i)$ が一次独立であることを示す。$\sum a_ip(x_i)=0$ なら $\sum a_ix_i\in T(G)$ なので、ある $N\ge1$ で $\sum Na_ix_i=0$ となり、$x_i$ の一次独立性から $Na_i=0$、すなわち $a_i=0$ である。前段により $m\le r$ である。$\mathbb{Z}^r$ の標準基底は $G$ の一次独立な $r$ 個の元を与えるので、最大値は $r$ である。
2：$A\cong\iota(A)$ は $B$ の部分群、$C$ は $B$ の剰余群と同型なので、prop-fgab-subgroup により有限生成である。$s:=\operatorname{rank}A$、$t:=\operatorname{rank}C$ とし、1 により一次独立な $a_1,\dots,a_s\in A$ と $c_1,\dots,c_t\in C$ をとり、$\rho(b_j)=c_j$ となる $b_j\in B$ を選ぶ。
(i) $\iota(a_1),\dots,\iota(a_s),b_1,\dots,b_t$ は一次独立である。$\sum\alpha_i\iota(a_i)+\sum\beta_jb_j=0$ に $\rho$ を施すと $\sum\beta_jc_j=0$ なので $\beta_j=0$ であり、$\iota$ の単射性から $\sum\alpha_ia_i=0$、$\alpha_i=0$ である。
(ii) 個数が最大の一次独立系 $z_1,\dots,z_u$（$u$ は階数）と任意の元 $y$ について、$Ny\in\langle z_1,\dots,z_u\rangle$ となる $N\ge1$ がある。実際 $z_1,\dots,z_u,y$ は一次従属なので、すべては $0$ でない整数で $\gamma y+\sum\delta_lz_l=0$ となり、$z_l$ の一次独立性から $\gamma\neq0$ であり、$N:=|\gamma|$ とすればよい。
(iii) $y\in B$ について、(ii) を $C$ に使うと $N\rho(y)=\sum\beta_jc_j$ となる $N\ge1$ と $\beta_j$ がある。$Ny-\sum\beta_jb_j\in\ker\rho=\iota(A)$ なので、(ii) を $A$ に使うと、ある $N'\ge1$ で $N'(Ny-\sum\beta_jb_j)$ は $\iota(a_1),\dots,\iota(a_s)$ の整数係数の和になる。よって $NN'y\in F:=\langle\iota(a_1),\dots,\iota(a_s),b_1,\dots,b_t\rangle$ である。
(iv) $F$ は (i) により階数 $s+t$ の自由アーベル群である。$B$ の $s+t+1$ 個の元 $y_l$ について、(iii) によりすべての $l$ で $My_l\in F$ となる $M\ge1$ がとれる（各 $y_l$ の整数の積をとる）。$F\cong\mathbb{Z}^{s+t}$ の $s+t+1$ 個の元 $My_l$ は 1 の前半により一次従属なので、$\sum\gamma_lMy_l=0$ となる、すべては $0$ でない $\gamma_l$ があり、$y_l$ も一次従属である。
(i) と (iv) と 1 により $\operatorname{rank}B=s+t$ である。$\square$

$UA$ の第 $i_1,\dots,i_k$ 行と第 $j_1,\dots,j_k$ 列からなる小行列式を考える。その第 $a$ 行は、$A$ の第 $l$ 行の第 $j_1,\dots,j_k$ 成分を並べた行ベクトル $R_l$ を使って $\sum_lU_{i_al}R_l$ と書ける。行列式は各行について線形なので
$$ \det\Bigl(\sum_{l}U_{i_al}R_l\Bigr)_{a=1,\dots,k}=\sum_{l_1,\dots,l_k}U_{i_1l_1}\cdots U_{i_kl_k}\det(R_{l_1},\dots,R_{l_k}) $$
となる。$l_1,\dots,l_k$ に等しいものがあれば等しい行をもつので行列式は $0$ であり、互いに異なれば $\det(R_{l_1},\dots,R_{l_k})$ は行の並べ替えを除いて $A$ の第 $l_1,\dots,l_k$ 行・第 $j_1,\dots,j_k$ 列の小行列式であり、符号を除いて一致する。$AV$ については転置 $(AV)^{\top}=V^{\top}A^{\top}$ を考え、転置で小行列式が変わらないことを使えばよい。$\square$

Smith 標準形。有限生成加群 の記事の補題「有限行列のSmith標準形」を単項イデアル整域 $\mathbb{Z}$ に使うと、$U\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$、$V\in\mathrm{GL}_m(\mathbb{Z})$ で、$D:=UAV$ の $(i,i)$ 成分 $\delta'_i$（$1\le i\le s$）が $0$ でなく $\delta'_1\mid\cdots\mid\delta'_s$ を満たし、ほかの成分がすべて $0$ となるものがある。行に $-1$ を掛ける操作も $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ の元なので、$\delta'_i>0$ としてよい。
小行列式は変わらない。lem-fgab-minors-combination により、$D$ の $k$ 次小行列式は $A$ の $k$ 次小行列式の整数係数の一次結合なので、$\Delta_k(A)$ は $\Delta_k(D)$ を割る。$A=U^{-1}DV^{-1}$ で $U^{-1},V^{-1}$ も整数行列なので逆も成り立ち、ともに $0$ 以上だから $\Delta_k(A)=\Delta_k(D)$ である。
$D$ の小行列式。$D$ の第 $i$ 行の $0$ でない成分は、$i\le s$ のときの $(i,i)$ 成分だけである。行の集合 $I$、列の集合 $J$（$|I|=|J|=k$）からなる小行列式が $0$ でないためには、各 $i\in I$ について $i\le s$ かつ $i\in J$ でなければならず、$I=J\subset\{1,\dots,s\}$ となる。このとき小行列式は $\prod_{i\in I}\delta'_i$ である。$I=\{i_1< \cdots< i_k\}$ なら $i_a\ge a$ なので $\delta'_a\mid\delta'_{i_a}$ であり、$\prod_{i\in I}\delta'_i$ は $\delta'_1\cdots\delta'_k$（$I=\{1,\dots,k\}$ の場合の小行列式）で割り切れる。よって $\Delta_k(D)=\delta'_1\cdots\delta'_k$（$k\le s$）、$\Delta_k(D)=0$（$k>s$）であり、$s=t$、$\delta'_k=\Delta_k/\Delta_{k-1}=\delta_k$ である。
剰余群の同型。thm-fgab-fundamental の証明の存在の段と同じく、$U$ は同型 $\mathbb{Z}^n/A\mathbb{Z}^m\cong\mathbb{Z}^n/D\mathbb{Z}^m=\mathbb{Z}^{n-t}\oplus\bigoplus_{k\le t}\mathbb{Z}/\delta_k\mathbb{Z}$ を誘導する。$\delta_k=1$ の因子は $0$ であり、残りは整除列なので、thm-fgab-fundamental の一意性によりそれが不変因子である。$\square$

$n$ 次小行列式は $\det A$ だけなので $\Delta_n(A)=|\det A|$ である。$\det A\neq0$ なら $t=n$ で、thm-fgab-minors により位数は $\delta_1\cdots\delta_n=\Delta_n(A)/\Delta_0(A)=|\det A|$ である。$\det A=0$ なら $t< n$ なので、階数 $n-t\ge1$ の直和因子 $\mathbb{Z}^{n-t}$ をもち無限群である。$\square$