Ext層

要点：制限は完全関手（零延長）の右随伴なので入射対象を保つ。

要点：入射分解を開集合へ制限し、入射対象への $\mathcal{H}om$ が完全であることを使う。

$T^i(\mathcal{G}):=h^i(\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{G}))$ とおき、次の 3 点を確かめる。
(i) $T$ は第 2 変数の短完全列から長完全列を与える。有限階数の局所自由層 $\mathcal{L}$ について、$\mathcal{L}|_V\cong\mathcal{O}_V^r$ となる開集合 $V$ の上で $\mathcal{H}om(\mathcal{L},\mathcal{G})|_V\cong\mathcal{G}|_V^r$ なので、$\mathcal{H}om(\mathcal{L},-)$ は完全である。よって $0\to\mathcal{G}'\to\mathcal{G}\to\mathcal{G}''\to0$ から複体の短完全列 $0\to\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{G}')\to\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{G})\to\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{G}'')\to0$ が得られ、その長完全列が $T$ の長完全列である。
(ii) $T^0(\mathcal{G})=\mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{G})$ である。各開集合の上で $\operatorname{Hom}(-,\mathcal{G}|_U)$ を右完全列 $\mathcal{L}_1\to\mathcal{L}_0\to\mathcal{F}\to0$ に当てると左完全列ができるので、$0\to\mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{G})\to\mathcal{H}om(\mathcal{L}_0,\mathcal{G})\to\mathcal{H}om(\mathcal{L}_1,\mathcal{G})$ は完全である。
(iii) $\mathcal{I}$ が入射的なら $i>0$ で $T^i(\mathcal{I})=0$ である。lem-sheaf-ext-injective-restriction により $\mathcal{H}om(-,\mathcal{I})$ は完全なので、完全列 $\cdots\to\mathcal{L}_1\to\mathcal{L}_0\to\mathcal{F}\to0$ を完全列 $0\to\mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{I})\to\mathcal{H}om(\mathcal{L}_0,\mathcal{I})\to\mathcal{H}om(\mathcal{L}_1,\mathcal{I})\to\cdots$ に写す。
$i$ に関する帰納法で、すべての $\mathcal{G}$ について同型を作る。$i=0$ は (ii) である。$\mathcal{G}$ を入射対象に埋め込み $0\to\mathcal{G}\to\mathcal{I}\to\mathcal{Q}\to0$ とする。(i)・(iii) と $\mathcal{E}xt$ の長完全列から、行が完全な図式
$$ \begin{array}{ccccccc} \mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{I}) & \to & \mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{Q}) & \to & T^1(\mathcal{G}) & \to & 0\\ \| & & \| & & & & \\ \mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{I}) & \to & \mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{Q}) & \to & \mathcal{E}xt^1(\mathcal{F},\mathcal{G}) & \to & 0 \end{array} $$
を得る（縦の等号は (ii)）。余核どうしの同型 $T^1(\mathcal{G})\cong\mathcal{E}xt^1(\mathcal{F},\mathcal{G})$ が得られる。$i\ge2$ では、両方の長完全列で入射対象の項が消えるので、連結射が同型 $T^{i-1}(\mathcal{Q})\cong T^i(\mathcal{G})$、$\mathcal{E}xt^{i-1}(\mathcal{F},\mathcal{Q})\cong\mathcal{E}xt^i(\mathcal{F},\mathcal{G})$ を与え、帰納法の仮定 $T^{i-1}(\mathcal{Q})\cong\mathcal{E}xt^{i-1}(\mathcal{F},\mathcal{Q})$ と合わせて $T^i(\mathcal{G})\cong\mathcal{E}xt^i(\mathcal{F},\mathcal{G})$ を得る。
自然性と埋め込みの選択によらないこと：$\mathcal{G}\to\mathcal{G}'$ と $\mathcal{G}'$ の埋め込み $0\to\mathcal{G}'\to\mathcal{I}'\to\mathcal{Q}'\to0$ について、$\mathcal{I}'$ は入射的なので $\mathcal{I}\to\mathcal{I}'$ に延び、短完全列の射ができる。連結射は短完全列の射と可換なので、上の同型は $\mathcal{G}\to\mathcal{G}'$ と可換である。恒等射に当てれば、2 つの埋め込みから作った同型が一致する。$\square$

要点：$\mathcal{L}^\vee\otimes-$ は完全で入射対象を入射対象に写す。

prop-sheaf-ext-basic の 1 により、$x$ の Noether なアフィン開近傍 $U=\operatorname{Spec}A$ に置き換えてよい。$\mathcal{F}|_U=\widetilde{M}$ で $M$ は有限生成 $A$ 加群である（連接層 の定理「Noether スキーム上の連接層の特徴づけ」）。$A$ は Noether 環なので、有限生成加群の部分加群は有限生成であり、有限生成自由加群による分解
$$ \cdots\to A^{r_1}\xrightarrow{\ \partial_1\ }A^{r_0}\to M\to0 $$
がとれる。$\widetilde{(-)}$ は完全なので、$\mathcal{L}_p:=\mathcal{O}_U^{r_p}$ は $\mathcal{F}|_U$ の局所自由分解である。thm-sheaf-ext-locally-free により $\mathcal{E}xt^i(\mathcal{F},\mathcal{G})|_U$ は複体
$$ \mathcal{G}^{r_0}\xrightarrow{\ \partial_1^{\mathsf T}\ }\mathcal{G}^{r_1}\xrightarrow{\ \partial_2^{\mathsf T}\ }\cdots $$
（$\partial_p$ の転置行列を成分 $A$ の行列として作用させる）の $i$ 次コホモロジーである。茎をとる操作は完全なので、$\mathcal{E}xt^i(\mathcal{F},\mathcal{G})_x$ は複体 $\mathcal{G}_x^{r_0}\to\mathcal{G}_x^{r_1}\to\cdots$ のコホモロジーであり、これは $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{X,x}}(L_{\bullet,x},\mathcal{G}_x)$ に等しい。ここで $L_{\bullet,x}=(A^{r_\bullet})_{\mathfrak{p}}$（$x=\mathfrak{p}$）は、局所化の完全性により $M_{\mathfrak{p}}=\mathcal{F}_x$ の自由分解である。よってそのコホモロジーは $\operatorname{Ext}^i_{\mathcal{O}_{X,x}}(\mathcal{F}_x,\mathcal{G}_x)$ である（Ext関手 の命題「射影計算と入射計算の一致」）。
$\mathcal{G}$ が連接（準連接）なら複体の各項 $\mathcal{G}^{r_p}$ は連接（準連接）で、微分は $\mathcal{O}_U$ 加群の射なので、その核・像・余核も連接（準連接）である（連接層 の系「連接層の射の核・像・余核」、準連接層 の定理「準連接層の圏の閉性」）。$\square$