三角行列

1：$(ST)_{ij}=\sum_ks_{ik}t_{kj}$ の項 $s_{ik}t_{kj}$ が $0$ でなければ、$k-i\ge m$ かつ $j-k\ge m'$ なので $j-i\ge m+m'$ である。よって $j-i< m+m'$ なら $(ST)_{ij}=0$ である。$m=m'=0$、$i=j$ のときは $i\le k\le i$ の項、すなわち $s_{ii}t_{ii}$ だけが残る。
2：$T_n(R)$ が差で閉じ $I_n$ を含むことは明らかで、積で閉じることは 1 の $m=m'=0$ の場合である。上三角行列は $\sum_{i\le j}a_{ij}E_{ij}$ とただ 1 通りに書けるので、$E_{ij}$（$i\le j$）が基底であり、その個数は $n+(n-1)+\cdots+1=\frac{n(n+1)}2$ である。1 の $m=0$、$m'=1$ と $m=1$、$m'=0$ の場合から、$N_n(R)$ は $T_n(R)$ の元を左右どちらから掛けても閉じている。基底 $E_{ij}$（$i< j$）の個数は $\frac{n(n-1)}2$ である。
3：$\delta$ が和を保つことは明らかで、積を保つことは 1 の後半、$\delta(I_n)=(1,\dots,1)$ である。対角行列を考えれば全射であり、核は対角成分がすべて $0$ の上三角行列、すなわち $N_n(R)$ である。
4：1 を繰り返し使えば $N^k\in T^{(k)}$ であり、$T^{(n)}=\{O\}$ である。$\square$

1：まず対角成分がすべて単元であるとする。$D:=\operatorname{diag}(t_{11},\dots,t_{nn})$ は $D^{-1}=\operatorname{diag}(t_{11}^{-1},\dots,t_{nn}^{-1})$ をもつ。$D^{-1}T$ は上三角行列で、prop-trimat-ring の 1 によりその対角成分はすべて $1$ なので、$N:=D^{-1}T-I_n$ は狭義上三角行列である。$N^n=O$（prop-trimat-ring の 4）なので
$$ (I_n+N)\sum_{k=0}^{n-1}(-N)^k=\sum_{k=0}^{n-1}(-N)^k-\sum_{k=1}^{n}(-N)^k=I_n-(-N)^n=I_n $$
であり、同様に左右を替えても $I_n$ になる。$W:=\sum_{k=0}^{n-1}(-N)^k$ は上三角行列で、対角成分はすべて $1$ である（$k\ge1$ の項は狭義上三角行列）。よって $T=D(I_n+N)$ は正則で、$T^{-1}=WD^{-1}$ は上三角行列であり、対角成分は $t_{ii}^{-1}$ である。
逆に $T$ が正則であるとする。$\det T$ は $R$ の単元である（正則行列 の記事の注意「可換環上の正則行列」）。一方、Leibniz の公式 $\det T=\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_it_{i\sigma(i)}$ で、$\sigma$ が恒等置換でなければ $\sigma(i)< i$ となる $i$ があり（$\sum_i(\sigma(i)-i)=0$ だから）$t_{i\sigma(i)}=0$ なので、$\det T=t_{11}\cdots t_{nn}$ である（行列式 の記事の定義「Leibnizの公式による定義」）。可換環で積が単元なら各因子も単元である（$ab\cdot c=1$ なら $a\cdot bc=1$）ので、各 $t_{ii}$ は単元である。
2：$B_n(R)$ は 1 により「対角成分がすべて単元の上三角行列」の全体である。$I_n$ を含み、積で閉じ（積の対角成分は単元の積）、1 により逆行列でも閉じているので、部分群である。$\delta$ を $B_n(R)$ に制限したものは、prop-trimat-ring の 3 により積を保ち、値は $(R^{\times})^n$ に入る。単元を並べた対角行列を考えれば全射であり、核は対角成分がすべて $1$ の上三角行列、すなわち $U_n(R)$ である。群準同型の核なので $U_n(R)$ は正規部分群であり、準同型定理により $B_n(R)/U_n(R)\cong(R^{\times})^n$ である。
3：1 の証明の $D$ と $V:=D^{-1}T=I_n+N$ が求めるものである。$T=DV$ なら $\delta(T)=\delta(D)\delta(V)=\delta(D)$ なので $D$ は $T$ の対角成分で決まり、$V=D^{-1}T$ も決まる。$\square$

1：$N,M\in T^{(m)}$ とすると $(I+N)(I+M)=I+(N+M+NM)$ で、prop-trimat-ring の 1 により $NM\in T^{(2m)}\subset T^{(m+1)}$（$m\ge1$）である。よって $N+M+NM\in T^{(m)}$ で、その第 $m$ 副対角線の成分は $N+M$ のものと等しい。つまり $U^{(m)}$ は積で閉じ、$\varphi_m$ は積を和に移す。逆元については、$N\in T^{(m)}$ なら $N^k\in T^{(km)}\subset T^{(m)}$（$k\ge1$）なので、thm-trimat-invertible の証明と同じく $(I+N)^{-1}=\sum_{k=0}^{n-1}(-N)^k\in U^{(m)}$ である。よって $U^{(m)}$ は部分群で、$\varphi_m$ は群準同型である。$c\in R^{n-m}$ に対し $I+\sum_ic_iE_{i,i+m}$ の像は $c$ なので全射であり、核は第 $m$ 副対角線の成分がすべて $0$ のもの、すなわち $U^{(m+1)}$ である。
2：核は正規部分群なので $U^{(m+1)}\trianglelefteq U^{(m)}$ で、準同型定理により $U^{(m)}/U^{(m+1)}\cong R^{n-m}$ はアーベル群である。$U_n(R)\trianglelefteq B_n(R)$ と $B_n(R)/U_n(R)\cong(R^{\times})^n$ は thm-trimat-invertible の 2 である。$U^{(n)}=\{I_n\}$ なので、これは商がアーベル群の正規列であり、可解群 の記事の定義「可解群」により $B_n(R)$ は可解群である。$U_n(R)$ についても同じ列の途中までで正規列が得られる。$\square$

左上の部分の積：$A=LU$ とし、行列の左上の $k\times k$ 部分を添字 $k$ で表す。$L$ は下三角なので、$i\le k$ について $(LU)_{ij}=\sum_{l\le i}l_{il}u_{lj}$ であり、$i,j\le k$ の成分は $L_k$ と $U_k$ だけで決まる。よって $A_k=L_kU_k$ であり、行列式 の記事の命題「三角行列と区分三角行列の行列式」と積の行列式により $\Delta_k=\det L_k\det U_k=u_{11}\cdots u_{kk}$ である。
必要性と対角成分：$\det L=1$ なので $\det U=\det A\ne0$ であり、$U$ の対角成分はすべて $0$ でない。上の式から $\Delta_k=u_{11}\cdots u_{kk}\ne0$ であり、$u_{kk}=\Delta_k/\Delta_{k-1}$ である。
十分性：$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ なら $L=(1)$、$U=A$ でよい。$n\ge2$ とし、$A=\begin{pmatrix}A'&b\\c&d\end{pmatrix}$（$A'\in M_{n-1}(K)$、$b$ は縦ベクトル、$c$ は横ベクトル、$d\in K$）と区分ける。$A'$ の首座小行列式は $\Delta_1,\dots,\Delta_{n-1}$ でどれも $0$ でないので、帰納法の仮定により $A'=L'U'$（$L'$ は単位下三角、$U'$ は上三角）と書け、$\det U'=\Delta_{n-1}\ne0$ なので $U'$ は正則である。
$$ L:=\begin{pmatrix}L'&0\\cU'^{-1}&1\end{pmatrix},\qquad U:=\begin{pmatrix}U'&L'^{-1}b\\0&d-cU'^{-1}L'^{-1}b\end{pmatrix} $$
とおくと、$L$ は単位下三角、$U$ は上三角であり、ブロック行列 の積の規則により
$$ LU=\begin{pmatrix}L'U'&L'L'^{-1}b\\cU'^{-1}U'&cU'^{-1}L'^{-1}b+d-cU'^{-1}L'^{-1}b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A'&b\\c&d\end{pmatrix}=A $$
である。
一意性：$A=L_1U_1=L_2U_2$ とする。必要性の議論により $U_1,U_2$ は正則である。$L_2^{-1}L_1=U_2U_1^{-1}$ の左辺は単位下三角行列、右辺は上三角行列である（thm-trimat-invertible の 1 と prop-trimat-ring の 1、およびその転置）。上三角かつ下三角なので対角行列であり、左辺の対角成分は $1$ なので $I_n$ に等しい。よって $L_1=L_2$、$U_1=U_2$ である。$\square$

$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ なら明らかである。$n\ge2$ とする。$T^*T$ の $(1,1)$ 成分は $T$ の第 1 列の長さの 2 乗 $\sum_k|t_{k1}|^2=|t_{11}|^2$ であり、$TT^*$ の $(1,1)$ 成分は第 1 行の長さの 2 乗 $\sum_k|t_{1k}|^2$ である。両者が等しいので $t_{12}=\cdots=t_{1n}=0$ である。よって $T=\begin{pmatrix}t_{11}&0\\0&T'\end{pmatrix}$ と区分けでき、$T^*T=\begin{pmatrix}|t_{11}|^2&0\\0&T'^*T'\end{pmatrix}$、$TT^*=\begin{pmatrix}|t_{11}|^2&0\\0&T'T'^*\end{pmatrix}$ なので、上三角行列 $T'$ も正規である。帰納法の仮定により $T'$ は対角行列であり、$T$ も対角行列である。$\square$