局所完全交叉射

1. $K$ を生成する正則列を $a=(a_1,\dots,a_\mu)$ とする。正則埋め込み の補題「正則列の余法加群」により $K/K^2$ は階数 $\mu$ の自由 $Q/K$ 加群で、$K^2\subset\mathfrak mK$ なので $\dim K/\mathfrak mK=\mu$ である。中山の補題により極小生成系 $g=(g_1,\dots,g_\mu)$ は $\mu$ 個の元からなり、$g=Ca$（$C\in M_\mu(Q)$）と書ける。$a,g$ の像はともに $K/\mathfrak mK$ の基底なので $C$ の剰余体への像は可逆であり、$\det C\notin\mathfrak m$ だから $C$ は可逆である。Koszul 複体 $K_\bullet(x)$ は線形形式 $Q^\mu\to Q$、$e_i\mapsto x_i$ の外積代数として定まるので、$Q^\mu$ の自己同型 ${}^tC$ の外積べきが複体の同型 $K_\bullet(g)\cong K_\bullet(a)$ を与える。Koszul複体 の定理「正則列のKoszulホモロジー」により $H_1(K_\bullet(a))=0$、よって $H_1(K_\bullet(g))=0$ であり、$Q/(g)=Q/K\ne0$ だから同じ記事の定理「局所環での一次ホモロジー判定」により $g$ はこの順で正則列である。
2. $b_1,\dots,b_m$ の像を $K/\mathfrak mK$ の基底に延長し、延長分を $c_1,\dots,c_{\mu-m}\in K$ に持ち上げる。中山の補題により $(b,c)$ は $K$ の極小生成系なので、1 により $(b_1,\dots,b_m,c_1,\dots,c_{\mu-m})$ は正則列である。正則列 の命題「初期部分と連結」により $b$ は正則列で、$c$ の像は $Q/(b)$ の正則列であり、$K/(b)$ を生成する。$\square$

二つの局所表示 $j_1\colon U\to\mathbb{A}^n_V$、$j_2\colon U'\to\mathbb{A}^m_{V'}$ を比べる。埋め込みを開集合に制限しても埋め込みで、局所環は変わらないので、$U=U'=\operatorname{Spec}C$、$V=V'=\operatorname{Spec}A$ はアフィンとしてよい。$j_1,j_2$ は $C$ の元 $s_1,\dots,s_n$ と $u_1,\dots,u_m$ で与えられる。$j_3:=(j_1,j_2)\colon U\to\mathbb{A}^{n+m}_V$ は、$U$ から $U\times_V\mathbb{A}^m_V$ へのグラフ（分離射 $\mathbb{A}^m_V\to V$ への射のグラフなので閉埋め込み）と、埋め込み $j_1\times\mathrm{id}$ との合成なので埋め込みである。$j_1$ と $j_3$ について「$x$ で正則」が同値で、余次元の差が $m$ であることを示せばよい。$j_2$ と $j_3$ についても同じ議論で同値になる。
$P:=\mathcal{O}_{\mathbb{A}^n_V,j_1(x)}$、$O:=\mathcal{O}_{X,x}$ とし、全射 $P\to O$ の核を $I$ とする。$Q:=\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{n+m}_V,j_3(x)}$ は $P[U_1,\dots,U_m]$ を $\mathfrak m_P$ の上にある素イデアルで局所化した環で、全射 $Q\to O$（$U_l\mapsto u_l$）の核を $K$ とする。$P\to O$ は全射なので、$h_l\in P$ で $O$ での像が $u_l$ になるものがとれる。$P[U]/(U_1-h_1,\dots,U_m-h_m)\cong P$ であり、これを局所化すると $O$ への写像と両立する同型 $Q/(U-h)Q\cong P$ を得る。よって
$$ K=(U_1-h_1,\dots,U_m-h_m)+IQ,\qquad K/(U-h)Q\cong I $$
である。$P[U_1,\dots,U_m]/(U_1-h_1,\dots,U_{l-1}-h_{l-1})\cong P[U_l,\dots,U_m]$ において $U_l-h_l$ は $U_l$ について最高次係数 $1$ の 1 次式なので非零因子であり、最後の商の局所化は $P\ne0$ だから、正則列 の命題「正則列の局所化」により $U_1-h_1,\dots,U_m-h_m$ は $Q$ の正則列である。
$I$ が $P$ の長さ $c$ の正則列 $a$ で生成されるなら、$K$ は $(U-h,a)$ で生成され、$a$ の像は $Q/(U-h)\cong P$ の正則列なので、$K$ は長さ $c+m$ の正則列で生成される。
逆に $K$ が正則列で生成されるとする。微分 $d\colon Q\to\Omega_{Q/P}$ は、Kähler微分 の命題「多項式環の微分加群」と「局所化との交換」により $dU_1,\dots,dU_m$ を基底とする自由加群への写像で、同じ記事の命題「第2基本完全列」の写像 $K/K^2\to\Omega_{Q/P}\otimes_QO$ は $U_l-h_l$ を $dU_l\otimes1$ に写す（$h_l\in P$ なので $dh_l=0$）。これを剰余体とテンソルすると、$U_l-h_l$ の $K/\mathfrak m_QK$ での像は基底 $dU_l\otimes1$ に写るので一次独立である。lem-lci-generators の 2 により $I\cong K/(U-h)$ は $P$ の正則列で生成され、その長さは $K$ の生成列の長さより $m$ 小さい。$\square$

$f$ 自身が $n=0$ の局所表示 $X\to\mathbb{A}^0_Y=Y$ なので、thm-lci-independent から従う。$\square$

局所表示 $U\to\mathbb{A}^n_k$ をとり、$P:=\mathcal{O}_{\mathbb{A}^n_k,x}$ とする。$P$ は体上の多項式環の素イデアルによる局所化なので正則局所環である（Cohen–Macaulay環 の補題「体上の多項式環の素局所環」）。$\mathcal{O}_{X,x}=P/I$ であり、完全交叉局所環 の補題「正則表示に依存しない核の判定」により、$P/I$ が完全交叉局所環であることと $I$ が正則列で生成されることは同値である。$\square$

1. 正則埋め込みは cor-lci-immersion による。滑らかな射が局所的に $\mathbb{A}^n_Y$ への正則埋め込みと射影の合成に分かれることは Liu06 注意 6.3.19（命題 6.3.13 による）にあり、この記事では証明しない。
2. $y=f(x)$、$z=g(y)$ とする。$g$ の $y$ における局所表示 $j'\colon V_Y\to\mathbb{A}^m_W$（$W\subset Z$ 開）で $y$ で正則なものと、$f$ の $x$ における局所表示 $j\colon U\to\mathbb{A}^n_V$ で $x$ で正則なものをとる。$V$ を $V\cap V_Y$ に、$U$ を $U\cap f^{-1}(V_Y)$ に取り替えてよい（埋め込みを開集合に制限しても正則性は変わらない）。射影 $\mathbb{A}^{n+m}_W=\mathbb{A}^m_W\times_W\mathbb{A}^n_W\to\mathbb{A}^m_W$ は平坦で、これによる $j'|_V$ の底変換は
   $$ \mathbb{A}^n_V=V\times_{\mathbb{A}^m_W}\mathbb{A}^{n+m}_W\longrightarrow\mathbb{A}^{n+m}_W $$
   である。正則埋め込み の定理「底変換と平坦な底変換」の 2 により、これは $j(x)$（$y$ の上の点）で正則埋め込みである。正則埋め込み の定理「合成と余法層の完全列」により、合成 $U\xrightarrow{j}\mathbb{A}^n_V\to\mathbb{A}^{n+m}_W$ は $x$ で正則埋め込みであり、これは $W$ 上の射なので $g\circ f$ の $x$ における局所表示である。
3. $f$ の $x$ における局所表示 $j\colon U\to\mathbb{A}^n_V$ で $x$ で正則なものをとり、$V':=u^{-1}(V)$、$U':=U\times_VV'$ とおく。$j'\colon U'\to\mathbb{A}^n_{V'}$ は $j$ の $\mathbb{A}^n_{V'}\to\mathbb{A}^n_V$ による底変換で、これは $u$ の底変換なので平坦である。$x'\in U'$ の $U$ での像は $x$ なので、正則埋め込み の定理「底変換と平坦な底変換」の 2 により $j'$ は $x'$ で正則であり、$X'\to Y'$ の $x'$ における局所表示になる。$\square$

局所表示 $U\to\mathbb{A}^n_V\to V$ は、$\mathbb{A}^n_V\to V$ が滑らかなので、このような分解である。逆は thm-lci-stability の 1・2 による。後半は Liu06 系 6.3.22 にあり、この記事では証明しない（$Z$ が $\mathbb{A}^n_V$ の開集合のときは thm-lci-independent そのものである）。$\square$

$x$ における局所表示 $j\colon U\to\mathbb{A}^n_V$ をとると、そのファイバー $j_y\colon U_y\to\mathbb{A}^n_{\kappa(y)}$ はファイバーの局所表示であり、thm-lci-independent により $x$ で正則である。$U$ は $x$ で、$\mathbb{A}^n_V$ はいたるところ $V$ 上平坦なので、正則埋め込み の命題「平坦なファイバーでの判定」により $j$ は $x$ で正則である。後半は cor-lci-field による。$\square$