分離生成拡大

$(e_\lambda)$ を $K$ の $k$ 基底とすると、$K\otimes_kK'$ の元は $\sum_\lambda e_\lambda\otimes c_\lambda$（$c_\lambda\in K'$、有限個を除き $0$）とただ一通りに書ける。$K\otimes_kK'\cong\bigoplus_\lambda e_\lambda\otimes K'$ だからである。この元の像は $\sum_\lambda c_\lambda e_\lambda$ なので、$\mu$ が単射であることと、$(e_\lambda)$ が $K'$ 上一次独立であることは同値である。これで 1 と 3 が同値になる。基底は任意に選べたので 1 ならどの基底も $K'$ 上独立である。$k$ 上一次独立な有限族は $K$ の $k$ 基底に延長できるから 1 ⇒ 2 が従い、2 ⇒ 3 は明らかである。$\square$

体上のテンソル積は単射を保つ。実際、$F\subset K$ に対し $F$ の $k$ 基底を $K$ の $k$ 基底へ延長すれば、$F\otimes_kk'\to K\otimes_kk'$ は直和因子への包含になる。よって $K\otimes_kk'$ が被約なら、その部分環 $F\otimes_kk'$ も被約である。
逆に、すべての有限生成な部分拡大が分離的であるとし、$z\in K\otimes_kk'$ が $z^m=0$ を満たすとする。$z=\sum_{i=1}^na_i\otimes b_i$ と書き、$F=k(a_1,\dots,a_n)$ とおくと、$z$ は $F\otimes_kk'$ の元 $z_F=\sum a_i\otimes b_i$ の像であり、$z_F^m$ の像は $0$ である。包含 $F\otimes_kk'\to K\otimes_kk'$ は単射なので $z_F^m=0$、仮定から $z_F=0$、よって $z=0$ である。$\square$

$K/k$ が通常の意味で分離的なら、有限生成な部分拡大 $F$ は有限次分離拡大であり、幾何的被約性 の記事の定理「有限拡大体の幾何的被約性」によって $k$ 上幾何的に被約である。lem-sg-finite により $K/k$ は分離的である。逆に $K/k$ が分離的なら、各 $\alpha\in K$ について $k(\alpha)$ は lem-sg-finite により分離的、すなわち幾何的に被約な有限次拡大であり、同じ定理によって分離拡大である。よって $\alpha$ は $k$ 上分離的である。$\square$

$\Gamma$ を分離超越基底とし、$k'$ を $k$ の任意の拡大体とする。$k[\Gamma]$ は $\Gamma$ を変数とする多項式環で、$k(\Gamma)$ はその $0$ でない元全体 $S$ による局所化である。テンソル積は局所化と交換するので
$$ H:=k(\Gamma)\otimes_kk'\cong S^{-1}(k[\Gamma]\otimes_kk')=S^{-1}k'[\Gamma] $$
である。$\Gamma$ は $k'$ 上でも多項式環の変数なので、$S$ の元は $k'[\Gamma]$ でも $0$ でない。よって $H$ は整域 $k'[\Gamma]$ の局所化として、$k'$ 上の有理関数体 $k'(\Gamma)$ の部分環である。
次に $K\otimes_kk'\cong K\otimes_{k(\Gamma)}H$ であり、$K$ は体 $k(\Gamma)$ 上のベクトル空間（自由加群）なので、$H\subset k'(\Gamma)$ に $K\otimes_{k(\Gamma)}-$ を施しても単射のままである。したがって
$$ K\otimes_kk'\hookrightarrow K\otimes_{k(\Gamma)}k'(\Gamma) $$
となる。$K/k(\Gamma)$ は通常の意味で分離代数拡大なので、lem-sg-algebraic により $k(\Gamma)$ 上分離的であり、右辺は被約である。その部分環である左辺も被約である。$\square$

1 ⇒ 2 は定義である。3 ⇒ 1 は thm-sg-separable である。2 ⇒ 3 と最後の主張を示す。$K=k(x_1,\dots,x_n)$ とし、2 を仮定する。
準備。 $\{x_1,\dots,x_n\}$ の部分集合で $k$ 上代数的に独立な極大なものは $K/k$ の超越基底である。極大性から残りの $x_j$ はその部分集合が生成する体の上で代数的で、$K$ はそれらで生成されるからである。このような部分集合 $T$ をとり、$T$ に入らない $x_j$ のうち $k(T)$ 上分離的なものの個数を $q(T)$ とする。$q(T)$ が最大になる $T$ を選び、番号を付け替えて $T=\{x_1,\dots,x_r\}$、$H=k(x_1,\dots,x_r)$ とする。$T$ の外の $x_j$ がすべて $H$ 上分離的なら、$K=H(x_{r+1},\dots,x_n)$ は分離的な元で生成された代数拡大なので 分離拡大 の記事の定理「分離拡大の推移性」により $H$ 上分離的であり、$T$ が求める分離超越基底である。以下、$H$ 上分離的でない $y=x_j$（$j>r$）があると仮定して矛盾を導く。
$y$ の関係式。 $y$ の $H$ 上の最小多項式 $g(Y)$ は既約で分離的でないので、導関数が $0$ であり、$g(Y)=g_1(Y^p)$ と書ける（完全体 の記事の命題「既約多項式が分離的であるための条件」）。$x_1,\dots,x_r$ は代数的に独立なので $k[X_1,\dots,X_r]\cong k[x_1,\dots,x_r]$、$H\cong k(X_1,\dots,X_r)$ である。$g$ の係数の分母を払い、係数の最大公約元で割って、$Y$ についての内容が $1$ の多項式
$$ F(X_1,\dots,X_r,Y)\in k[X_1,\dots,X_r,Y],\qquad F(x_1,\dots,x_r,y)=0 $$
を得る。$F$ は $Y$ を $Y^p$ の形でしか含まない。一意分解整域 の記事の定理「Gaussの補題と多項式環の一意分解性」の 2 により、$F$ は $k[X][Y]=k[X,Y]$ で既約であり、評価写像 $k[X_1,\dots,X_r,Y]\to K$（$X_i\mapsto x_i$、$Y\mapsto y$）の核は $(F)$ である。実際、核の元 $G$ は $k(X)[Y]$ で $g$ の倍元、したがって $F$ の倍元であり、$F$ の内容が $1$ なので、同じ定理の 1（原始多項式の積の内容）から $k[X][Y]$ でも $F$ の倍元になる。
場合 A：すべての $i$ で $\partial F/\partial X_i=0$ のとき。 $\partial F/\partial Y=0$ でもあるから、$F$ の各単項式の指数はすべて $p$ の倍数で、$F=\sum c_{\alpha,\beta}X^{p\alpha}Y^{p\beta}$ と書ける。$k^{1/p}$ 係数の多項式 $G=\sum c_{\alpha,\beta}^{1/p}X^\alpha Y^\beta$ をとれば $F=G^p$ であり、$G$ は定数でない。核の計算から $k[x_1,\dots,x_r,y]\cong k[X,Y]/(F)$ であり、$k^{1/p}$ とのテンソル積をとると
$$ k[x_1,\dots,x_r,y]\otimes_kk^{1/p}\cong k^{1/p}[X,Y]/(G^p) $$
となる。右辺で $G$ の類は $0$ でない（全次数が $G^p$ より小さい）が、その $p$ 乗は $0$ である。体上のテンソル積は単射を保つので左辺は $K\otimes_kk^{1/p}$ の部分環であり、2 に反する。$r=0$ のとき（$K/k$ が代数的なとき）は条件が空なので、必ずこの場合に入る。
場合 B：ある $i$ で $\partial F/\partial X_i\ne0$ のとき。 番号を付け替えて $i=1$ とする。まず $x_2,\dots,x_r,y$ は $k$ 上代数的に独立である。$0$ でない $Q(X_2,\dots,X_r,Y)$ で $Q(x_2,\dots,x_r,y)=0$ となるものがあれば $Q\in(F)$ だが、$F$ は $X_1$ について正の次数をもち $Q$ は $X_1$ を含まないので、$F$ は $Q$ を割り切れない。よって $T'=\{x_2,\dots,x_r,y\}$ は $\{x_1,\dots,x_n\}$ の代数的に独立な部分集合で、元の個数は超越次数 $r$ に等しいから超越基底である（超越次数 の記事の系「独立な集合と生成系による評価」）。$H'=k(T')$ とおく。
$A'=k[X_2,\dots,X_r,Y]$ とみると、$F$ は $A'[X_1]$ の既約元で $X_1$ について正の次数をもつので、$X_1$ についての内容は単元である。同じ定理の 2 により $F$ は $\operatorname{Frac}(A')[X_1]$ でも既約である。$A'\cong k[x_2,\dots,x_r,y]$ によって $\operatorname{Frac}(A')\cong H'$ なので、$f(X_1)=F(X_1,x_2,\dots,x_r,y)$ は $H'[X_1]$ の既約多項式で $x_1$ を根にもつ。その導関数は $(\partial F/\partial X_1)(X_1,x_2,\dots,x_r,y)$ であり、$\partial F/\partial X_1\ne0$ と同じ同型から $0$ でない。導関数が $0$ でない既約多項式は重根をもたないので（完全体 の記事の同じ命題）、$x_1$ は $H'$ 上分離的である。
$E=H'(x_1)=H(y)$ とおく。$E/H'$ は分離的な元 $x_1$ で生成されるので分離拡大である。$H$ 上分離的な $x_j$ は $E\supset H$ 上でも分離的であり（最小多項式が $H$ 上の最小多項式を割る）、推移性により $H'$ 上分離的である。こうして $T'$ の外の元のうち、$T$ のときに数えた $q(T)$ 個に加えて $x_1$ も $H'$ 上分離的になるので $q(T')\ge q(T)+1$ となり、$q(T)$ の最大性に反する。$\square$

1 ⇒ 2。 lem-sg-disjoint の 2 を確かめる。$a_1,\dots,a_m\in K$ が $k$ 上一次独立で、$\xi_i\in k^{p^{-\infty}}$ について $\sum_ia_i\xi_i=0$ とする。$k_1=k(\xi_1,\dots,\xi_m)$ は $k$ の有限次拡大で、十分大きな $n$ について $k_1^{p^n}\subset k$ となる。$A=K\otimes_kk_1$ は 1 により被約である。
$A$ は体であることを示す。標数 $p$ の可換環では $p^n$ 乗が和を保つので、$z=\sum_jb_j\otimes c_j\in A$ について
$$ z^{p^n}=\sum_jb_j^{p^n}\otimes c_j^{p^n}=\Bigl(\sum_jb_j^{p^n}c_j^{p^n}\Bigr)\otimes1 $$
であり、$z^{p^n}$ は $K\otimes1$ に入る。$z\ne0$ なら被約性から $z^{p^n}=w\otimes1\ne0$、したがって $w\ne0$ で、$z\cdot z^{p^n-1}(w^{-1}\otimes1)=1$ となり $z$ は可逆である。
体 $A$ から $\Omega$ への積の写像 $\mu\colon a\otimes c\mapsto ac$ は $1$ を $1$ に送る環準同型なので単射である。$\mu\bigl(\sum_ia_i\otimes\xi_i\bigr)=0$ だから $\sum_ia_i\otimes\xi_i=0$ である。$a_1,\dots,a_m$ を $K$ の $k$ 基底へ延長すると、$K\otimes_kk_1$ の元の表示の一意性（lem-sg-disjoint の証明の冒頭）から、すべての $\xi_i=0$ である。
2 ⇒ 3 ⇒ 4。 $k^{1/p}\subset k^{1/p^n}\subset k^{p^{-\infty}}$ である。体上のテンソル積は単射を保つので、$K\otimes_kk^{1/p}\to K\otimes_kk^{1/p^n}\to K\otimes_kk^{p^{-\infty}}$ は単射であり、積の写像の単射性は小さい体へ受け継がれる。
4 ⇒ 1。 4 により $K\otimes_kk^{1/p}$ は体 $\Omega$ の部分環 $K[k^{1/p}]$ と同型なので被約である。$K$ の有限生成な部分拡大 $F$ について、$F\otimes_kk^{1/p}$ はその部分環なので被約であり、thm-sg-fg の 2 ⇒ 1 により $F/k$ は分離的である。lem-sg-finite により $K/k$ は分離的である。$\square$

標数 $0$ なら、超越基底 $\Gamma$ をとると $K/k(\Gamma)$ は標数 $0$ の代数拡大なので分離的であり、thm-sg-separable から従う。標数 $p$ なら $k=k^p$ である（完全体 の記事の定理「完全体の特徴づけ」）。$x\in k^{1/p}$ について $x^p=b^p$ となる $b\in k$ があり、$\Omega$ で Frobenius は単射なので $x=b$ となる。よって $k^{1/p}=k$ であり、$K\otimes_kk\to\Omega$ は $K$ の包含なので単射である。thm-sg-maclane の 4 ⇒ 1 から従う。$\square$

p基底 の記事の定理「$p$ 基底と微分基底」により $\Omega_k=\bigoplus_{b\in B}k\,db$ であり、$\Omega_k\otimes_kK\to\Omega_K$ は基底 $db\otimes1$ を $\Omega_K$ の元 $db$ に送る。よって 2 は、添字付き族 $(db)_{b\in B}$ が $\Omega_K$ で $K$ 上一次独立であることと同値である。同じ記事の命題「添字付き微分族による判定」を体 $K$ と $K^p$ に適用すると、これは 3 と同値である（$\mathbb F_p$ 上の導分は $K^p$ を消すので $\Omega_K=\Omega_{K/K^p}$ である）。
3 は、$B$ の制限単項式（各指数が $p$ 未満の単項式）の族 $\Gamma_B$ が $K^p$ 上一次独立であることである。$\Gamma_B$ は $k$ の $k^p$ 基底なので、lem-sg-disjoint の 3 により、これは $k$ と $K^p$ が $k^p$ 上線型無関連であることと同値である。
最後に、Frobenius 写像 $\varphi\colon\Omega\to\Omega$、$x\mapsto x^p$ は代数閉体の自己同型であり、$K$ を $K^p$ に、$k^{1/p}$ を $k$ に、$k$ を $k^p$ に移す。線型無関連は体の同型で移る性質なので、「$k$ と $K^p$ が $k^p$ 上線型無関連」は「$k^{1/p}$ と $K$ が $k$ 上線型無関連」と同値である。thm-sg-maclane の 1 ⇔ 4 から、これは 1 と同値である。$\square$