Smith標準形

$UT$ の小行列の各行は $T$ の行（の一部の成分）の $A$ 係数の 1 次結合なので、行列式を各行について線形に展開すればよい。$TV$ は転置して同じことをする。

$T'=UTV$（$U,V$ は可逆）なら lem-snf-minors により $I_k(T')\subset I_k(T)$ である。$T=U^{-1}T'V^{-1}$ なので逆の包含も成り立つ。$k=0$ では両辺とも $A$ である。$\square$

$m+n$ についての帰納法で示す。$m=0$、$n=0$ または $T=0$ なら、$T$ 自身が $r=0$ の Smith 標準形である。以下 $T\neq0$ とし、$T$ と同値な行列の全体を $\mathcal{S}$ とする。$\mathcal{S}$ の行列の $0$ でない成分 $a$ のうち $\ell(a)$ が最小になるものを 1 つ選ぶ（$\ell$ の値は $0$ 以上の整数なので最小値がある）。行と列を入れ替えて、それを $(1,1)$ 成分にもつ $S\in\mathcal{S}$ をとる。$a:=S_{11}$ である。
段 1：$a$ は $S$ の第 1 列と第 1 行の成分をすべて割り切る。実際、第 1 列の成分 $b=S_{i1}$ が $a$ で割り切れないとすると、$(\ast)$ の行列を第 $1,i$ 行に施した行列 $S'\in\mathcal{S}$ の $(1,1)$ 成分は $g$ であり、$g\mid a$ かつ $a\nmid g$（$a\mid g$ なら $g\mid b$ から $a\mid b$ となる）なので $\ell(g)< \ell(a)$ となり、$\ell(a)$ の最小性に反する。第 1 行については列に同じ操作をすればよい。
段 2：段 1 により、第 $i$ 行（$i\ge2$）から第 1 行の $S_{i1}/a$ 倍を引いて第 1 列の $(1,1)$ 成分以外を $0$ にし、次に第 $j$ 列（$j\ge2$）から第 1 列の $S_{1j}/a$ 倍を引いて第 1 行の $(1,1)$ 成分以外を $0$ にする。後半の操作は、第 1 列の第 2 成分以下がすでに $0$ なので第 1 列を壊さない。こうして
$$ S\sim\begin{pmatrix}a&0\\0&T_1\end{pmatrix}=:S_1\in\mathcal{S},\qquad T_1\in M_{m-1,n-1}(A) $$
を得る。
段 3：$a$ は $T_1$ の成分をすべて割り切る。実際、$S_1$ の $(i,j)$ 成分 $c$（$i,j\ge2$）が $a$ で割り切れないとすると、$S_1$ の第 1 行に第 $i$ 行を加えた行列は $\mathcal{S}$ に属し、$(1,1)$ 成分は $a$ のまま（$S_1$ の $(i,1)$ 成分は $0$）で、第 1 行に $a$ で割り切れない成分 $c$ をもつ。これは段 1 の結論に反する（段 1 は、$\ell$ が最小の成分を $(1,1)$ 成分にもつ $\mathcal{S}$ のどの行列にも当てはまる）。
段 4：帰納法の仮定により、$U_1T_1V_1=D_1$ が Smith 標準形 $\operatorname{diag}(d_2,\dots,d_r,0,\dots)$ となる可逆な $U_1,V_1$ がある。段 3 により $I_1(T_1)\subset(a)$ であり、prop-snf-invariance により $I_1(D_1)=I_1(T_1)$ なので、$r\ge2$ なら $a\mid d_2$ である。したがって
$$ \begin{pmatrix}1&0\\0&U_1\end{pmatrix}S_1\begin{pmatrix}1&0\\0&V_1\end{pmatrix}=\operatorname{diag}(a,d_2,\dots,d_r,0,\dots) $$
は Smith 標準形で、$T$ と同値である。$\square$

1：prop-snf-invariance により $I_k(T)=I_k(D)$ なので、$D$ の小行列式を調べればよい。行の集合 $I$ と列の集合 $J$（$\lvert I\rvert=\lvert J\rvert=k$）を選ぶ。$D$ の第 $i$ 行の $0$ でない成分は、$i\le r$ のときの $(i,i)$ 成分だけである。$I$ のある $i$ が $i>r$ か $i\notin J$ なら、選んだ小行列の対応する行は $0$ なので小行列式は $0$ である。そうでなければ $I\subset J\cap\{1,\dots,r\}$ で、個数が等しいので $I=J$ であり、小行列式は $\prod_{i\in I}d_i$ である。$I=\{i_1< \dots< i_k\}$ なら $i_a\ge a$ なので $d_a\mid d_{i_a}$ であり、$\prod_{i\in I}d_i$ は $I=\{1,\dots,k\}$ のときの小行列式 $d_1\cdots d_k$ で割り切れる。よって $k\le r$ なら $I_k(D)=(d_1\cdots d_k)$ であり、$k>r$ なら $0$ でない小行列式はないので $I_k(D)=0$ である。
2：$A$ は整域なので $d_1\cdots d_k\neq0$（$k\le r$）であり、1 から $r$ は $I_k(T)\neq0$ となる最大の $k$ である。$k\le r$ について $\Delta_k=\varepsilon_kd_1\cdots d_k$（$\varepsilon_k$ は単元）と書け、$\Delta_k=\Delta_{k-1}\cdot\varepsilon_k\varepsilon_{k-1}^{-1}d_k$ なので、$d_k$ は $\Delta_k/\Delta_{k-1}$ の単元倍である。
3：2 により $r$ と $d_k$ の単元倍の類は $T$ の行列式イデアルだけで決まるので、どちらの Smith 標準形についても同じである。
4：$T\sim T'$ なら prop-snf-invariance により行列式イデアルは等しい。逆に、すべての $k$ で $I_k(T)=I_k(T')$ とする。thm-snf-existence により $T\sim D$、$T'\sim D'$ となる Smith 標準形 $D$、$D'$ があり、2 により $D$ と $D'$ の $0$ でない対角成分の個数 $r$ は等しく、$d'_k=\varepsilon_kd_k$（$\varepsilon_k$ は単元）と書ける。$W:=\operatorname{diag}(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_r,1,\dots,1)\in\mathrm{GL}_m(A)$ とおくと $D'=WD$ なので、$T\sim D\sim D'\sim T'$ である。$\square$

prf-snf-existence と同じ帰納法で、$\mathcal{S}$ を「$T$ に基本変形を有限回施して得られる行列の全体」に、$\ell$ を $\phi$ に替え、最大公約元の行列 $(\ast)$ の代わりに除法を使う。

$D=UTV$（$U,V$ は可逆）とする。$V$ は全単射なので $VA^n=A^n$、したがって $U(TA^n)=UTVA^n=DA^n$ である。よって同型 $A^m\to A^m$、$v\mapsto Uv$ は $TA^n$ を $DA^n$ に移し、商の同型 $A^m/TA^n\cong A^m/DA^n$ を誘導する。$DA^n$ は、第 $i$ 座標（$i\le r$）が $(d_i)$ の元で、第 $i$ 座標（$i>r$）が $0$ のベクトルの全体なので、$A^m/DA^n$ は座標ごとに右辺に分かれる。$\square$

$D=UTV$ を Smith 標準形、$c:=Ub$ とおく。$Tx=b$ は $D(V^{-1}x)=c$ と同値なので、$Tx=b$ が解をもつことと $Dy=c$ が解 $y\in A^n$ をもつことは同値である。また
$$ U\,(T\mid b)\begin{pmatrix}V&0\\0&1\end{pmatrix}=(D\mid c) $$
なので $(T\mid b)\sim(D\mid c)$ であり、prop-snf-invariance により行列式イデアルは等しい。したがって $T,b$ を $D,c$ に替えて示せばよい。$Dy=c$ の第 $i$ 式は、$i\le r$ なら $d_iy_i=c_i$、$i>r$ なら $0=c_i$ なので、解をもつことは「$i\le r$ で $d_i\mid c_i$、$i>r$ で $c_i=0$」と同値である。
$\Rightarrow$：解 $y$ があれば $c=Dy$ であり、
$$ (D\mid c)\begin{pmatrix}I_n&-y\\0&1\end{pmatrix}=(D\mid 0) $$
である。右の行列は行列式 $1$ で可逆なので $(D\mid c)\sim(D\mid0)$ であり、$(D\mid0)$ の小行列式は $D$ の小行列式と $0$ だけなので、$I_k((D\mid c))=I_k((D\mid0))=I_k(D)$ である。
$\Leftarrow$：すべての $k$ で $I_k(D)=I_k((D\mid c))$ とする。まず $i>r$ で $c_i\neq0$ とすると、$(D\mid c)$ の第 $1,\dots,r,i$ 行と第 $1,\dots,r$ 列・最後の列からなる小行列式は、上三角型の行列の行列式なので $d_1\cdots d_rc_i\neq0$ であり、$I_{r+1}((D\mid c))\neq0=I_{r+1}(D)$ となって矛盾する。次に $i\le r$ とし、第 $1,\dots,i$ 行と第 $1,\dots,i-1$ 列・最後の列からなる $i$ 次小行列式を考える。この小行列の第 $i$ 行は最後の成分 $c_i$ 以外 $0$ なので、第 $i$ 行で展開して小行列式は $d_1\cdots d_{i-1}c_i$ である。これが $I_i((D\mid c))=I_i(D)=(d_1\cdots d_i)$（thm-snf-uniqueness の 1）に属するので、$d_1\cdots d_i\mid d_1\cdots d_{i-1}c_i$ であり、整域なので $0$ でない $d_1\cdots d_{i-1}$ で約して $d_i\mid c_i$ を得る。よって $Dy=c$ は解をもつ。$\square$

$P$ の行列式は $K$ の $0$ でない元なので $K[x]$ の単元であり、$P\in\mathrm{GL}_n(K[x])$ である。$xI-B=P(xI-A)P^{-1}$ なので $xI-B\sim xI-A$ であり、後半は thm-snf-uniqueness の 3 による。$\square$