代数曲面

前提知識: 代数多様体, 因子, 標準因子, 曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理

代数曲面（algebraic surface）は、2 次元の代数多様体である。代数曲線の理論では、滑らかな射影曲線は関数体だけで同型を除いて決まり、種数という 1 つの数で大きく分類された。曲面ではこの 2 つがどちらも崩れる。点を爆発（ブローアップ）すると、関数体を変えずに別の滑らかな射影曲面ができるので、同じ双有理同値類に無限に多くの滑らかなモデルがある。また 1 つの数では足りず、幾何種数・不正則数・多重種数・標準因子の自己交点数・Picard 数などの組が要る。
代数曲面の理論の中心にあるのは、曲面の上の曲線どうしの 交点数 である。交点数を使うと、曲線の Riemann–Roch の定理は曲面の Riemann–Roch の定理に広がり（曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理）、自己交点数が $-1$ の有理曲線を潰して極小な曲面を選び（Castelnuovoの収縮定理）、最後に小平次元によって曲面を大きく分類する（Enriques–小平の分類。小平次元と分類の名の小平は小平邦彦（Kunihiko Kodaira）である）。
この記事では、代数曲面の定義と、完備性と射影性の関係、曲面の数値的な不変量を述べる。そのうえで、Riemann–Roch の定理から「自己交点数が正の因子は十分大きな倍数が有効になる」ことを証明し、$\mathbb{P}^3$ の滑らかな曲面の幾何種数・不正則数・小平次元を次数で完全に決定する。最後に分類の地図を示す。

定義

1 次元の場合が 代数曲線 である。$\mathbb{P}^2$、$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$、$\mathbb{P}^3$ の滑らかな超曲面、2 つの滑らかな射影曲線の積 $C_1\times C_2$ は滑らかな射影曲面の例である。アフィン平面 $\mathbb{A}^2$ は滑らかな代数曲面だが完備でない。
この記事の規約．以下、断らない限り $k$ は代数閉体とし、曲面 は $k$ 上の滑らかな射影曲面を指す。これは Har77 V 章の冒頭（p. 357）と同じ規約である。曲面 $X$ の上の 曲線 は $X$ の整な 1 次元閉部分スキームを指し、因子 $C,D$ の交点数を $C\cdot D$、$D\cdot D$ を $D^2$ と書く。$K_X$ は $X$ の標準因子、$\omega_X=\mathcal{O}_X(K_X)$ は標準層である。

完備性と射影性

代数曲線では、完備な曲線はすべて射影的である。曲面では、特異点を許すかどうかで答えが分かれる。

1 があるので、非特異な曲面を調べるときは「完備」と「射影的」を区別しなくてよい。これが、固有射と射影射のちがい（固有射、射影射）が曲面では現れない理由である。射影性が使えると、豊富な因子 $H$ を 1 つ固定し、曲線 $C$ の「次数」を $C\cdot H$ で測ることができる。$H$ が非常に豊富なら、$C\cdot H$ は $H$ が定める射影埋め込みでの $C$ の次数で、正である（Har77 V 注意 1.6.2, p. 363）。

曲面の不変量

$\chi(\mathcal{O}_X)=h^0-h^1+h^2$ で $h^0(\mathcal{O}_X)=1$、Serre 双対性から $h^2(\mathcal{O}_X)=h^0(\omega_X)=p_g$ である。小平次元の定義は 双有理幾何学 の定義「多重種数と小平次元」と同じで、$P_m$ がすべて $0$ の場合を $\kappa=-1$ と書く流儀もある（Har77 V §6, pp. 421–422）。$\rho(X)$ は Néron–Severi の定理により有限である（Néron–Severi群）。
$P_m$ と $\kappa$ は双有理不変量である（双有理幾何学 の定理「多重種数の双有理不変性」）。$q$ と $p_g$ も双有理不変量で、1 点の爆発では変わらず（Har77 V 注意 3.5.1, p. 388）、曲面の双有理写像は爆発とその逆の合成に分解される（Har77 V 定理 5.5, p. 412）。これに対して $K_X^2$ と $\rho(X)$ は 1 点の爆発でそれぞれ $1$ 減り、$1$ 増える（曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「爆発と交点形式」）。$12\chi(\mathcal{O}_X)=K_X^2+e(X)$ は Noetherの公式 である。

$\mathbb{P}^2$ と $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ の $K^2$ は Har77 V 例 1.4.4（p. 361）、小平次元は 双有理幾何学 の系「有理多様体の判定」による。$q=p_g=0$ は下の thm-asurf-hypersurface（$d=1,2$ の場合。$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ は $\mathbb{P}^3$ の滑らかな 2 次曲面と同型）から従う。K3 曲面の行は、定義（$\omega_X\cong\mathcal{O}_X$、したがって $K_X=0$）と K3曲面 の命題「K3曲面の数値的な不変量」による。最後の行は thm-asurf-hypersurface で証明する。

交点数と Riemann–Roch の定理

曲面 $X$ の上では、因子 $C,D$ の交点数 $C\cdot D$ が $\operatorname{Pic}X$ の対称双線形形式を定め、共通成分のない曲線どうしなら交点を重複度込みで数えた個数になる。さらに Riemann–Roch の定理
$$ \chi(\mathcal{O}_X(D))=\chi(\mathcal{O}_X)+\frac12\,D\cdot(D-K_X) $$
と 随伴公式 $2p_a(C)-2=C\cdot(C+K_X)$ が成り立つ（曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「交点形式」「曲面の Riemann–Roch の定理」と系「随伴公式」）。ここから、豊富な因子 $H$ と $D\cdot H=0$ をみたす因子 $D$ について $D^2\le0$ となる Hodge 指数定理（Har77 V 定理 1.9, p. 364。複素数体上では Hodge指数定理）や、豊富性の数値的判定（豊富な可逆層 の定理「Nakai–Moishezon の判定と Kleiman の判定」）が導かれる。
次の補題と命題は、曲面の上で「次数」と「大きさ」を測る基本の道具である。

これは Har77 V 系 1.8（p. 363）の内容である。命題の結論 $h^0(nD)\ge cn^2$ は、$D$ が 巨大（big）であることを意味する（川又–Viehwegの消滅定理 で使う）。仮定の $D\cdot H>0$ は外せない（$D$ を $-D$ に替えても $D^2$ は変わらない）。

例：$\mathbb{P}^3$ の滑らかな曲面

$\mathbb{P}^3$ の滑らかな曲面では、すべての不変量が次数だけで決まる。$m\in\mathbb{Z}$ について $N(m):=\binom{m+3}3=\frac{(m+1)(m+2)(m+3)}6$（$m\ge0$）、$N(m):=0$（$m<0$）とおく。$N(m)$ は 4 変数の $m$ 次斉次多項式の空間の次元で、$h^0(\mathbb{P}^3,\mathcal{O}(m))=N(m)$、すべての $m$ で $H^1(\mathbb{P}^3,\mathcal{O}(m))=H^2(\mathbb{P}^3,\mathcal{O}(m))=0$ である（Har77 III 定理 5.1 (a)(b), p. 225）。

$P_m$ の式は、$m\ge2$ で $H^1(\mathcal{O}_X(mK_X))=H^2(\mathcal{O}_X(mK_X))=0$ となるので、Riemann–Roch の定理 $\chi(mK_X)=\chi(\mathcal{O}_X)+\frac12m(m-1)K_X^2$ と一致する（$K_X^2=d(d-4)^2$ は Noetherの公式 の例「$\mathbb{P}^3$ の超曲面」）。次数ごとに見ると、$d=1$ は $\mathbb{P}^2$、$d=2$ は $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ と同型な 2次曲面、$d=3$ の 3 次曲面は $\mathbb{P}^2$ の 6 点の爆発と同型で有理曲面であり（Har77 V 注意 4.7.1, p. 401。この記事では証明しない）、$d=4$ は K3曲面（K3曲面 の命題「滑らかな4次曲面はK3曲面」）、$d\ge5$ では $K_X=(d-4)H$ が豊富で、一般型の曲面である。

双有理幾何：曲線とのちがい

滑らかな射影曲線のあいだの双有理写像は同型に延びるが、曲面ではそうならない。曲面 $Y$ の点 $P$ の爆発 $\pi\colon\tilde Y\to Y$ は $Y\setminus\{P\}$ の上で同型な双有理射で、$P$ の逆像は $E\cong\mathbb{P}^1$、$E^2=-1$ となる曲線である（ブローアップ、曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「爆発と交点形式」）。このような曲線を $(-1)$ 曲線 といい、$(-1)$ 曲線をもたない曲面を 極小曲面 という。

• 縮約．逆に、$(-1)$ 曲線は必ずある曲面の点の爆発の例外曲線として潰せる（Castelnuovoの収縮定理）。
• 極小モデルの存在．どの曲面からも、$(-1)$ 曲線の縮約を有限回繰り返して極小曲面へ到達できる（双有理幾何学 の定理「曲面の極小モデルの存在」。回数は $\rho(X)-1$ 以下）。
• 一意性．有理曲面と線織曲面（曲線 $C$ と $\mathbb{P}^1$ の積に双有理同値な曲面）以外では、双有理同値類の極小曲面はただ 1 つである（Zariski。Har77 V 注意 5.8.4, p. 419。この記事では証明しない）。有理曲面では $\mathbb{P}^2$ と、$\mathbb{P}^1$ 上の $\mathbb{P}^1$ 束 $X_e$（$e\ge0$、$e\ne1$）がすべて極小である（同 例 5.8.2）。
• $(-1)$ 曲線の個数．縮約の回数は有限でも、1 つの曲面の $(-1)$ 曲線は有限個とは限らない。$\mathbb{P}^2$ の一般の位置にある $9$ 点以上を爆発した曲面には $(-1)$ 曲線が無限に多くある（Har77 V 注意 5.8.1, p. 418。この記事では証明しない）。

分類の地図

極小曲面は、小平次元によって次のように大きく分類される。これを Enriques–小平の分類 という（Federigo Enriques と小平邦彦にちなむ）。以下は $k$ が代数閉体で、$\kappa=0,1$ の行では標数が $2,3$ でない場合の Har77 V §6 定理 6.1–6.5（pp. 421–422）の要約であり、この記事では証明しない。

$\kappa=-\infty$ は $P_{12}(X)=0$ と同値で、極小曲面について $\kappa=0$ は $12K_X\sim0$ と同値である（同 定理 6.1, 6.3）。有理性については Castelnuovo の判定法 があり、曲面 $X$ が有理曲面であることは $p_a(X):=\chi(\mathcal{O}_X)-1=0$ かつ $P_2(X)=0$ と同値である（同 定理 6.2。$P_2=0$ なら $p_g=0$ なので、この条件は $q=P_2=0$ と同じである）。複素数体上では、射影的でない曲面も含めたコンパクト複素曲面が 10 の類に分類されている（BHPV04 VI 章 定理 1.1, Table 10, pp. 243–244）。重複ファイバー は $\kappa=0,1$ の曲面の楕円曲面としての構造を調べる道具であり、変形理論 は同じ類の曲面の連続族を調べる。

反例：条件を外すと

関連項目

• 前提: 代数多様体, 曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理, 標準因子
• 道具: Castelnuovoの収縮定理, Noetherの公式, Hodge指数定理, ブローアップ
• 例: K3曲面, Enriques曲面, 楕円曲面, Hopf曲面
• 発展: 双有理幾何学, 錐定理, 川又–Viehwegの消滅定理