写像柱

1：$i$ が $i(X)$ への同相写像であることは Whiteheadの定理 の記事の命題「写像柱の性質」の 1 である。$q^{-1}(i(X))=X\times\{0\}$ と $q^{-1}(j(Y))=(X\times\{1\})\sqcup Y$ は閉集合なので、$i(X)$ と $j(Y)$ は閉集合で、交わらない。$j$ は単射である。$F\subset Y$ が閉集合なら $q^{-1}(j(F))=(f^{-1}(F)\times\{1\})\sqcup F$ は閉集合なので、$j(F)$ は閉集合であり、$j$ は閉写像として $j(Y)$ への同相写像である。$N$ は交わらない 2 つの閉集合の和なので、$X\sqcup Y$ と同相である。

2：$\tau\colon M_f\to I$ を $\tau(q(x,t)):=t$、$\tau(q(y)):=1$ で定めると連続である。柱の内部 $U:=q(X\times[0,1))$ は開集合で、$q$ は $X\times[0,1)$ から $U$ への同相写像である（同命題の 1 の証明）。$U$ の 2 点は $X\times[0,1)$ が Hausdorff なので分離できる。$q(x,t)$（$t<1$）と $j(Y)$ の点は、$t< c< 1$ をとって $\tau^{-1}([0,c))$ と $\tau^{-1}((c,1])$ で分離できる。$y\ne y'$ なら、$Y$ の交わらない開集合 $V\ni y$、$V'\ni y'$ をとり、$W:=q\bigl((f^{-1}(V)\times(\tfrac12,1])\sqcup V\bigr)$ と $W'$ を同様に作る。$q^{-1}(W)=(f^{-1}(V)\times(\tfrac12,1])\sqcup V$ は開集合なので $W$ は開集合で、$W\cap W'=\emptyset$ である。

3：$L:=(I\times\{0\})\cup(\{0,1\}\times I)\subset I\times I$ とし、点 $(\tfrac12,2)$ からの放射状の射影によるレトラクション $\rho=(\rho_1,\rho_2)\colon I\times I\to L$ をとる（Hat02 p. 15）。$R\colon M_f\times I\to M_f\times I$ を $R(q(x,t),s):=\bigl(q(x,\rho_1(t,s)),\rho_2(t,s)\bigr)$、$R(q(y),s):=(q(y),s)$ で定める。$\rho$ は $\{1\}\times I$ の上で恒等写像なので、$t=1$ で $R(q(x,1),s)=(q(f(x)),s)$ となり、同一視と両立する。$I$ は局所コンパクトなので $q\times\mathrm{id}_I$ は商写像であり（Hat02 Appendix, Proposition A.17, p. 532）、$R$ は連続である。$\rho$ の値は $L$ にあるので $R$ の値は $(M_f\times\{0\})\cup(N\times I)$ に入り、$R$ はこの集合の上で恒等写像である。$N$ は閉集合なので、コファイブレーション の記事の定理「レトラクトによる判定」の 2 により $(M_f,N)$ はホモトピー拡張性質をもつ。$i(X)$ と $j(Y)$ についても、$N\times I$ の上のホモトピーをもう一方の成分では動かさないものとして延ばせばよい。$\square$

$k$-空間・$k$-閉集合・試験写像は コンパクト生成空間 の定義「$k$-空間とコンパクト生成空間」のとおりとする。

$X$ は $k$-空間である：$A\subset X$ を $k$-閉集合とすると、各特性写像 $\Phi_\alpha$ はコンパクト Hausdorff 空間 $D_\alpha$ からの試験写像なので $\Phi_\alpha^{-1}(A)$ は閉集合であり、CW複体 の定理「胞体ごとの判定」の (R1) により $A$ は閉集合である。$I$ は局所コンパクト Hausdorff 空間なので、コンパクト生成空間 の定理「局所コンパクト空間との直積」により $X\times I$ は $k$-空間である。

$G$ は $k$-閉集合である：試験写像 $u\colon K\to X\times I$ をとり、$p\colon X\times I\to X$ を射影とする。$p(u(K))$ はコンパクトなので、CW複体 の定理「コンパクト集合は有限部分複体に含まれる」により有限部分複体 $A$ に含まれる。$A$ は閉集合で胞体の和なので、その各胞体の閉包を含み、同記事の系「胞体の閉包」により $A=\bigcup_{\alpha\in\Lambda_A}\Phi_\alpha(D_\alpha)$（$\Lambda_A$ は $A$ の胞体の有限集合）である。各 $\alpha\in\Lambda_A$ について $\Phi_\alpha\times\mathrm{id}_I$ は $D_\alpha\times I$ を $\Phi_\alpha(D_\alpha)\times I$ の上へ写すので、$G\cap(\Phi_\alpha(D_\alpha)\times I)=(\Phi_\alpha\times\mathrm{id}_I)\bigl((\Phi_\alpha\times\mathrm{id}_I)^{-1}(G)\bigr)$ であり、これはコンパクト空間 $D_\alpha\times I$ の閉集合の連続像なのでコンパクトである。$X$ は Hausdorff（同記事の定理「CW 複体は Hausdorff」）なので $X\times I$ も Hausdorff で（直積位相 の命題「Hausdorff性と可算公理の遺伝」）、この集合は閉集合である。よって $G\cap(A\times I)$ は有限個の閉集合の和として閉集合であり、$u(K)\subset A\times I$ なので $u^{-1}(G)=u^{-1}\bigl(G\cap(A\times I)\bigr)$ は $K$ の閉集合である。したがって $G$ は $k$-閉集合で、$X\times I$ は $k$-空間なので $G$ は閉集合である。$\square$

判定の条件は、(a) 各写像が球体の内部を像へ同相に写し、像の胞体が互いに交わらず全体を覆うこと、(b) 各胞体の境界の像が次元の低い有限個の胞体の和に含まれること、(c) 各胞体の閉包と閉集合で交わる部分集合は閉集合であること、の 3 つである（CW複体 の記事の「閉包有限性と弱位相による特徴づけ」）。

特性写像の候補：$X$ の胞体 $e_\alpha$ の特性写像を $\Phi_\alpha\colon D_\alpha\to X$（$D_\alpha=D^m$、$m=\dim e_\alpha$）、$Y$ の胞体 $e_\beta$ の特性写像を $\Psi_\beta\colon D_\beta\to Y$ とする。$m\ge0$ について、$\mu(x,s):=\max\{\|x\|,2|s|\}$ は $\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}$ のノルムで、$\mu\le1$ の集合は $D^m\times[-\tfrac12,\tfrac12]$、$\mu=1$ の集合はその境界 $(S^{m-1}\times[-\tfrac12,\tfrac12])\cup(D^m\times\{\pm\tfrac12\})$ である。$h(z):=(\|z\|/\mu(z))\,z$（$z\ne0$）、$h(0):=0$ とおくと $\mu(h(z))=\|z\|$ であり、逆写像は $w\mapsto(\mu(w)/\|w\|)\,w$ である。2 つのノルムは互いに定数倍で抑えられるので、どちらも $0$ で連続である。よって $h$ に $s\mapsto s+\tfrac12$ を合成すると、同相写像 $h_m\colon D^{m+1}\to D^m\times I$ で、$S^m$ を $(S^{m-1}\times I)\cup(D^m\times\{0,1\})$ へ、内部を $\operatorname{Int}D^m\times(0,1)$ へ写すものが得られる。1〜3 の胞体の特性写像の候補を、それぞれ $j\circ\Psi_\beta$、$i\circ\Phi_\alpha$、$\Theta_\alpha:=q\circ(\Phi_\alpha\times\mathrm{id}_I)\circ h_m\colon D^{m+1}\to M_f$ とする。$X,Y$ は Hausdorff（CW複体 の定理「CW 複体は Hausdorff」）なので、prop-mcyl-basic の 2 により $M_f$ は Hausdorff である。

(a)：集合として $M_f$ は、$j(Y)$、$i(X)$、$q(X\times(0,1))$ の交わらない和である（$q$ は $X\times[0,1)$ の上と $Y$ の上で単射で、$q(X\times[0,1))$ と $j(Y)$ は交わらない）。$X$ と $Y$ はそれぞれ胞体の交わらない和なので、1〜3 の胞体は互いに交わらず $M_f$ を覆う。$\Psi_\beta$ と $\Phi_\alpha$ は内部を胞体へ同相に写し（CW複体 の補題「貼り付けの基本性質」の (R2) と定理「胞体ごとの判定」の (R3)）、$j$ と $i$ は像への同相写像なので（prop-mcyl-basic の 1）、$j\circ\Psi_\beta$ と $i\circ\Phi_\alpha$ は内部を $j(e_\beta)$、$i(e_\alpha)$ へ同相に写す。$\Theta_\alpha$ については、$h_m$ が内部を $\operatorname{Int}D^m\times(0,1)$ へ、$\Phi_\alpha\times\mathrm{id}_I$ がそれを $e_\alpha\times(0,1)$ へ同相に写し、$q$ は $X\times[0,1)$ から開集合 $q(X\times[0,1))$ への同相写像である（Whiteheadの定理 の記事の命題「写像柱の性質」の 1 の証明）ので、内部は $q(e_\alpha\times(0,1))$ へ同相に写る。

(b)：$Y$ の $n$ 胞体の境界の像 $\Psi_\beta(\partial D_\beta)$ はコンパクトで骨格 $Y^{n-1}$ に含まれるので、CW複体 の定理「コンパクト集合は有限部分複体に含まれる」により有限個の胞体としか交わらず、それらは $Y^{n-1}$ の胞体なので次元は $n-1$ 以下である。これを $j$ で写せば 1 の胞体について (b) が成り立ち、2 の胞体も同様である。$\Theta_\alpha$ の境界の像は、$q(x,1)=j(f(x))$ により

$$\Theta_\alpha(S^m)=q\bigl(\Phi_\alpha(\partial D_\alpha)\times[0,1)\bigr)\cup i\bigl(\Phi_\alpha(D_\alpha)\bigr)\cup j\bigl(f(\Phi_\alpha(D_\alpha))\bigr)$$

である。$\Phi_\alpha(\partial D_\alpha)$ は $X^{m-1}$ の有限個の胞体 $e_\gamma$（次元 $m-1$ 以下）の和に含まれるので、第 1 項は $i(e_\gamma)$ と $q(e_\gamma\times(0,1))$ の和に含まれる。$\Phi_\alpha(D_\alpha)=e_\alpha\cup\Phi_\alpha(\partial D_\alpha)$ なので、第 2 項は $i(e_\alpha)$ と $i(e_\gamma)$ の和に含まれる。第 3 項について、$f$ は胞体写像なので $f(\Phi_\alpha(D_\alpha))\subset f(X^m)\subset Y^m$ であり、これはコンパクトなので $Y$ の有限個の胞体としか交わらず、それらは $Y^m$ の胞体なので次元は $m$ 以下である。どの胞体の次元も $m$ 以下なので、$(m+1)$ 胞体 $q(e_\alpha\times(0,1))$ について (b) が成り立つ。

(c)：$F\subset M_f$ が各胞体の閉包と閉集合で交わるとする。特性写像の候補 $\Xi\colon D\to M_f$ のどれについても、$\Xi(D)$ はコンパクトなので Hausdorff 空間 $M_f$ の閉集合であり、胞体を含み、連続性からその閉包に含まれるので、胞体の閉包に等しい。よって $\Xi^{-1}(F)=\Xi^{-1}(F\cap\Xi(D))$ は閉集合である。すべての $\beta$ で $\Psi_\beta^{-1}(j^{-1}(F))=(j\circ\Psi_\beta)^{-1}(F)$ が閉集合なので、CW複体 の定理「胞体ごとの判定」の (R1) により $j^{-1}(F)$ は $Y$ の閉集合である。$G:=\{(x,t)\in X\times I\mid q(x,t)\in F\}$ とおくと、$(\Phi_\alpha\times\mathrm{id}_I)^{-1}(G)=h_m\bigl(\Theta_\alpha^{-1}(F)\bigr)$ は同相写像 $h_m$ による閉集合の像なのですべての $\alpha$ で閉集合であり、lem-mcyl-product により $G$ は閉集合である。$q^{-1}(F)=G\sqcup j^{-1}(F)$ が閉集合なので、商位相の定義により $F$ は閉集合である。逆に $F$ が閉集合なら、各胞体の閉包との共通部分は閉集合である。

以上で (a)〜(c) が成り立ち、1〜3 の胞体と上の特性写像は $M_f$ の CW 構造を与える。$i(X)$ と $j(Y)$ は閉集合（prop-mcyl-basic の 1）で胞体の和なので、部分複体である。$\square$

$N:=M_f/i(X)$、商写像を $\pi$、$v:=\pi(i(X))$ とする。$i(X)$ は閉集合なので $W:=M_f\setminus i(X)$ は飽和した開集合で、$\pi(W)=N\setminus\{v\}$ は開集合である。$W$ に含まれる開集合は飽和しているので、$\pi$ は $W$ から $N\setminus\{v\}$ への連続な全単射で開集合を開集合に写し、同相写像である。

Hausdorff 性：prop-mcyl-basic の証明の 2 の連続写像 $\tau\colon M_f\to I$（$\tau(q(x,t))=t$、$\tau(q(y))=1$）について $\tau^{-1}(0)=i(X)$ なので、$\tau$ は連続写像 $\bar\tau\colon N\to I$ を誘導し、$\bar\tau^{-1}(0)=\{v\}$ である。$v$ と点 $p\ne v$ は、$0< c<\bar\tau(p)$ をとって $\bar\tau^{-1}([0,c))$ と $\bar\tau^{-1}((c,1])$ で分離できる。$v$ 以外の 2 点は、Hausdorff 空間 $M_f$ の開集合 $W$ の中の交わらない開集合で分離でき、その $\pi$ による像は $N$ の交わらない開集合である。

胞体：$N$ の胞体を、$0$ 胞体 $\{v\}$ と、$M_f$ の 1・3 の胞体 $c$ の像 $\pi(c)$（特性写像は $\pi\circ\Xi_c$、$\Xi_c$ は $c$ の特性写像）とする。(a)：$M_f$ の 2 の胞体は $i(X)$ に、1・3 の胞体は $W$ に含まれ、$\pi|_W$ は同相写像なので、$\pi\circ\Xi_c$ は内部を $\pi(c)$ へ同相に写し、これらの胞体と $\{v\}$ は互いに交わらず $N$ を覆う。(b)：$\Xi_c$ の境界の像は次元の低い有限個の胞体の和に含まれ、そのうち $i(X)$ に含まれる胞体は $\pi$ で $v$ に写る。$c$ が $0$ 胞体なら境界は空であり、$c$ の次元が $1$ 以上なら $v$ の次元 $0$ はそれより低い。(c)：$F\subset N$ が $N$ の各胞体の閉包と閉集合で交わるとし、$M_f$ の胞体 $c$ をとる。$c\subset i(X)$ なら、$c$ の閉包 $\bar c$ も閉集合 $i(X)$ に含まれ、$\bar c\cap\pi^{-1}(F)$ は $v\in F$ なら $\bar c$、そうでなければ空集合なので閉集合である。$c\subset W$ なら、$\pi(\bar c)$ はコンパクトなので Hausdorff 空間 $N$ の閉集合であり、$\pi(c)$ を含み $\pi(c)$ の閉包に含まれるので、$\pi(c)$ の閉包に等しい。よって $\bar c\cap\pi^{-1}(F)=\bar c\cap\pi^{-1}\bigl(F\cap\pi(\bar c)\bigr)$ は閉集合である。どちらの場合も $\Xi_c^{-1}(\pi^{-1}(F))=\Xi_c^{-1}(\bar c\cap\pi^{-1}(F))$ は閉集合なので、CW複体 の定理「胞体ごとの判定」の (R1) により $\pi^{-1}(F)$ は $M_f$ の閉集合であり、商位相の定義により $F$ は閉集合である。逆向きは prop-mcyl-cellular-cw の証明と同じである。

以上で $N$ は CW 複体である。$j(Y)$ は $i(X)$ と交わらない閉集合で飽和しているので、$\pi(j(Y))$ は閉集合で胞体の和であり、部分複体である。写像錐(位相) の命題「写像柱との関係」の同相写像 $N\cong C_f$ は $q(x,t)\mapsto[x,1-t]$、$q(y)\mapsto y$ から誘導されるので、$\pi(j(e))$ を $Y$ の胞体 $e$ に、$v$ を錐の頂点に、$\pi(q(e\times(0,1)))$ を $\{[x,s]\mid x\in e,\ 0< s< 1\}$ に写す。$\square$

$S^1\subset\mathbb{C}$、$x_0:=1$、$w_0:=f(x_0)$、$c(u):=e^{2\pi iu}$ とする。prop-mcyl-basic の 2 により $M_f$ は Hausdorff であり、コンパクト空間 $(S^1\times I)\sqcup S^1$ の像なのでコンパクトである。$v:=i(x_0)$、$w:=j(w_0)$ とし、$G:=i(S^1)\cup q(\{x_0\}\times I)\cup j(S^1)$ とおく。

$G$ について：3 本の区間 $[0,1]$ から $G$ への写像 $u\mapsto i(c(u))$、$u\mapsto q(x_0,u)$、$u\mapsto j(w_0c(u))$ と $\{v,w\}$ の包含をあわせると、連続な全射が得られる。$q$ は $S^1\times[0,1)$ の上と $S^1$ の上で単射で、柱の内部と値域の端は交わらないので、同じ点に写る組は端点と $v$ または $w$ の組だけである。$G$ はコンパクト Hausdorff 空間 $M_f$ の閉集合なので、CW複体 の記事の補題「貼り付けた空間であることの確かめ方」により、$G$ は $\{v,w\}$ に $1$ 胞体を 3 個貼った空間である。

$M_f$ について：正方形 $[0,1]^2$（円板と同相）から $M_f$ への写像 $g(u,t):=q(c(u),t)$ と $G$ の包含をあわせると、連続な全射が得られる。$g$ は開正方形を $q\bigl((S^1\setminus\{x_0\})\times(0,1)\bigr)$ へ単射に写し、この集合は $G$ と交わらない。正方形の周は、下辺が $u\mapsto i(c(u))$、上辺が $u\mapsto j(f(c(u)))$、左右の辺が $t\mapsto q(x_0,t)$ に写り、どれも $G$ に入る。したがって同じ点に写る組は「周の点とその $G$ での像」の組であり、同じ補題により $M_f$ は $G$ に $2$ 胞体を 1 個、周の写像を接着写像として貼った空間である。接着写像は $1$ 骨格 $G$ に値をもてばよく、胞体写像である必要はないので、上辺の $f\circ c$ が値域の円周を任意に動いてもよい。有限次元なので弱位相の条件は自動的に成り立つ。$\square$

$u\in[0,1]$、$t\in I$ について $$ \Phi\bigl(q(e^{2\pi iu},t)\bigr):=\begin{cases}[2u,\ 1-t]&(0\le u\le\tfrac12),\\ [2u-1,\ t-1]&(\tfrac12\le u\le1),\end{cases}\qquad\Phi\bigl(q(e^{2\pi iv})\bigr):=[v,0]\quad(v\in[0,1]) $$ とおく。$u=\tfrac12$ では $[1,1-t]=[0,t-1]$、$u=0$ と $u=1$ では $[0,1-t]=[1,t-1]$、$v=0$ と $v=1$ では $[0,0]=[1,0]$ なので矛盾なく定まる。$t=1$ では値 $[2u,0]$ または $[2u-1,0]$ が $\Phi(q(f(e^{2\pi iu})))=\Phi(q(e^{4\pi iu}))$ と一致するので、同一視とも両立する。閉区間ごとの式を貼り合わせたものなので $\Phi$ は連続である。

$M$ の点 $[s,\tau]$ は、$\tau>0$ なら $u=s/2$、$t=1-\tau$ の点の、$\tau<0$ なら $u=(s+1)/2$、$t=1+\tau$ の点の、$\tau=0$ なら値域の端の点 $q(e^{2\pi is})$ の像であり、これらは $M_f$ の点として一意に決まるので $\Phi$ は全単射である。$M_f$ はコンパクト、$M$ は Hausdorff（Möbiusの帯 の記事の命題「別の作り方と $\mathbb{R}^3$ への埋め込み」）なので $\Phi$ は同相写像である。$t=0$ の点は $[2u,1]$ または $[2u-1,-1]$、すなわち縁に、$j(S^1)$ は $\tau=0$ の芯に写る。$\square$