z変換

前提知識: 冪級数, Laurent展開, 部分分数分解, 信号処理

数列 $y[0],y[1],\dots$ が漸化式 $y[n+2]-\tfrac34y[n+1]+\tfrac18y[n]=1$ と初期値 $y[0]=y[1]=0$ で決まっているとき、一般項を求めるには特性方程式を解き、非斉次の項に合う特殊解を探すのが普通である。z変換（z-transform）を使うと、この手順が「漸化式を変換する → $z$ の有理関数についての 1 次方程式を解く → 部分分数に分けて表から逆変換する」という代数の計算になる。連続時間の微分方程式に対する Laplace変換 と同じ役割を、離散時間の差分方程式に対して果たすのが z 変換である。
$$ \begin{array}{ccc} \text{漸化式（時間領域）} & \xrightarrow{\ \text{z 変換}\ } & \text{$z$ の代数方程式}\\ \Big\downarrow{\scriptstyle\text{直接解く}} & & \Big\downarrow{\scriptstyle\text{解く}}\\ \text{数列 } y[n] & \xleftarrow{\ \text{逆変換}\ } & \text{有理関数 } Y(z) \end{array} $$
z 変換は数列を係数とする $z^{-1}$ の両側の冪級数であり、母関数 の変数を $z^{-1}$ に置き換えたものにあたる。収束する範囲（収束域）は円環になり、同じ式でも収束域が違えば別の数列を表す。この記事では、収束域の形、反転公式と一意性、畳み込み定理、有理関数の逆変換と安定性（極が単位円の内側にあること）を証明し、変換表と計算の手順をまとめる。

定義と使える条件

離散時間信号 は整数全体 $\mathbb{Z}$ 上の複素数値関数 $x\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{C}$ のことで、値を $x[n]$ と書く（信号処理 の定義「離散時間信号と連続時間信号」と同じ記法）。$\delta[0]=1$、$n\ne0$ で $\delta[n]=0$ の列を 単位インパルス、$n\ge0$ で $u[n]=1$、$n<0$ で $u[n]=0$ の列を 単位ステップ という。$n<0$ で $x[n]=0$ となる列を 因果的 という。

$n\ge0$ でだけ定まる数列 $x[0],x[1],\dots$ の片側 z 変換は、$n<0$ で $0$ とおいて因果的な列とみなしたものの z 変換である。z 変換は、関数 $X$ と収束域の組で一つの情報になる。同じ式 $X$ が別の収束域では別の数列の z 変換になる（ex-zt-geometric）。
使う条件は次のとおりである。

1. 収束域を書くこと。 逆変換は収束域を指定してはじめて一つに決まる（thm-zt-inversion）。
2. 指数的な増大で抑えられること。 因果的な列が $\lvert x[n]\rvert\le M\rho^n$（$n\ge0$）を満たせば、$\lvert z\rvert>\rho$ で絶対収束する。$x[n]=2^{n^2}$ のように等比数列より速く増える列では収束域が空になる（反例の表）。
3. 畳み込み・積の公式では、両方の収束域の共通部分で考えること（thm-zt-convolution）。
4. 安定性・最終値は、約分した有理関数の極で読むこと（thm-zt-stability、prop-zt-final）。

主定理 1：収束域は円環である

$r_-$ は列の右側（$n\to+\infty$）の増え方、$r_+$ は左側（$n\to-\infty$）の減り方で決まる。因果的な列では $X_-=0$ で $r_+=\infty$ なので、収束域は円の外側 $\lvert z\rvert>r_-$（と円周の一部）である。有限個の項だけをもつ列では $r_-=0$、$r_+=\infty$ で、収束域は $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 全体である。

主定理 2：反転公式と一意性

1 は、$X$ の円環 $A$ での Laurent展開 の $z^{-n}$ の係数が $x[n]$ であることを言っている（同じ記事の定理「Laurent 展開の一意性」）。有理関数 $X$ が与えられたとき、極で区切られた円環ごとに Laurent 展開が一つずつあり、それぞれが別の数列を与える。逆変換で収束域を書かなければならない理由はここにある。実際の計算では、反転公式の積分ではなく、部分分数分解と変換表を使う（下の節「計算の手順」）。

主定理 3：畳み込み定理

数列の畳み込み $(x*y)[n]=\sum_{k\in\mathbb{Z}}x[k]\,y[n-k]$ は 信号処理 の定義「数列の畳み込み」と同じものである。

因果的な系 $y=h*x$（$h$ はインパルス応答）では、出力の z 変換は入力の z 変換に $H(z)=\sum_nh[n]z^{-n}$ を掛けたものになる。$H$ をこの系の（離散時間の）伝達関数 という。連続時間の 伝達関数 と同じく、系を直列につなぐと伝達関数は積になる。
重根の逆変換には、等比級数 の定理「等比級数の冪の展開」を $a/z$ に使った展開
$$ \frac{z^k}{(z-a)^k}=\frac1{(1-az^{-1})^k}=\sum_{n\ge0}\binom{n+k-1}{k-1}a^nz^{-n}\qquad(\lvert z\rvert>\lvert a\rvert,\ k\ge1) $$
を使う。右辺は絶対収束するので、因果的な列 $\binom{n+k-1}{k-1}a^nu[n]$ の z 変換は $z^k/(z-a)^k$（収束域 $\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$）である。$k=2$ の列 $(n+1)a^n u[n]$ は、$a^nu[n]$ と自分自身との畳み込みであり、thm-zt-convolution とも合う。

公式の表

変換の表。$a\ne0$、$\theta\in\mathbb{R}$、$r>0$ とする。

性質の表。$x$ の収束域は円環 $A=\{r_-<\lvert z\rvert< r_+\}$ を含むとする。

片側の前進の公式が、漸化式を代数方程式に変える一歩である。両側の z 変換では前進 $x[n+k]$ は単に $z^kX(z)$ になるが、$n\ge0$ だけを考える片側では、はみ出した初期値の項が残る。これは Laplace変換 の公式「微分の公式」で $f(0+)$ が残るのと同じ形である。

主定理 4：有理関数の逆変換と安定性

差分方程式から出てくる z 変換は有理関数である。有理関数 $X=P/Q$（$P,Q$ は共通の根をもたない多項式）について、$Q$ の根を $X$ の 極、$P$ の根を 零点 という。

2 の「$\Rightarrow$」で極が単位円の 上 にある場合も除かれていることに注意する。$x=u$（$X=\frac{z}{z-1}$、極 $1$）は有界だが絶対値の和は発散する。因果的なフィルタ $y=h*x$ が BIBO 安定であることは $h$ の絶対値の和が有限であることと同値なので（信号処理 の定理「BIBO 安定性の判定」）、有理関数の伝達関数 $H$ をもつ因果的なフィルタが BIBO 安定であることと、$H$ の極がすべて $\lvert z\rvert<1$ にあることは同値である。連続時間の系で極が開左半平面にあることにあたる条件である（伝達関数 の定理「BIBO 安定性と極」）。

計算の手順

差分方程式 $y[n+k]+q_1y[n+k-1]+\cdots+q_ky[n]=v[n]$（$n\ge0$、初期値 $y[0],\dots,y[k-1]$ と入力 $v$ は与える）を解く手順である。

1. 両辺の片側 z 変換をとる。左辺の各項に prop-zt-shift を使い、右辺は変換の表で $V(z)$ を求める。
2. $Y(z)$ について解く。$Y=\dfrac{(\text{初期値で決まる多項式})+V(z)}{z^k+q_1z^{k-1}+\cdots+q_k}$ の形の有理関数になる。
3. $Y(z)/z$ を部分分数に分ける（部分分数分解 の定理「部分分数分解の存在と一意性」）。$\frac{1}{z-p}$ の項は $Y$ の $\frac{z}{z-p}$ の項に、$\frac1{(z-p)^m}$ の項は $\frac{z}{(z-p)^m}$ の項になる。
4. 変換の表の $a^nu[n]$ の行と負の冪の展開で、項ごとに因果的な列に戻す。$\frac{z}{(z-p)^m}=z^{1-m}\cdot\frac{z^m}{(z-p)^m}$ なので、負の冪の展開の列を $m-1$ だけ遅らせればよい。
5. 答えを $n=0,1$ などで初期値と照らす。$Y$ の極がすべて $\lvert z\rvert<1$ なら解は $0$ に近づき、$z=1$ に 1 位の極があれば prop-zt-final で極限が読める。
   分母の根の型による場合分けは次のとおりである。

   分母の根	部分分数の項	戻した列
   単根 $p$	$\dfrac{A}{z-p}$（$Y/z$ の項）	$Ap^nu[n]$
   $2$ 重根 $p\ne0$	$\dfrac{B}{(z-p)^2}$（$Y/z$ の項）	$Bnp^{n-1}u[n]$
   共役な複素根 $re^{\pm i\theta}$	共役な 2 項	$r^n(\alpha\cos\theta n+\beta\sin\theta n)u[n]$
   根 $0$（$Y/z$ の分母に $z^j$）	$\dfrac{C}{z^j}$	$C\delta[n-j+1]$（$j\ge1$）

   2 行目は $\frac{z}{(z-p)^2}=z^{-1}\cdot\frac{z^2}{(z-p)^2}$ が $(n+1)p^nu[n]$ を 1 だけ遅らせた $np^{n-1}u[n]$ の変換であることによる。

例題

使える条件と反例

よくある誤り

図で見る対応

図: 収束域と数列
左は ex-zt-three-roc の $X$ の極（$\times$）と、極で区切られた三つの収束域で、点線は単位円である。右は単位円を含む収束域 $\frac12<\lvert z\rvert<2$ に対応する両側の列で、$n\ge0$ では $2^{-n}$ の速さで、$n<0$ では $2^{n}$ の速さで $0$ に近づく。

補足

単位円が収束域に入るとき、$z=e^{i\omega}$ での値 $X(e^{i\omega})$ は 信号処理 で扱う離散時間 Fourier 変換である（VKG14 式 (3.125)、p. 235）。定義と性質の表は VKG14 §3.5（Definition 3.12、p. 235、Table 3.6、p. 243）にもあり、同書 Theorem 3.15（p. 250）は有理関数の伝達関数をもつ因果的な系の BIBO 安定性を極の位置で述べている。
z 変換を $\sum_nx[n]z^{n}$ と定義する文献もあり、そのときは因果的な列の変換が 母関数 そのものになる（$z$ を $1/z$ に置き換えれば換算できる）。片側 z 変換は、Laplace変換 の積分を和に替えて $e^{-sT}$ を $z^{-1}$ と書いたものにあたる。

関連項目

• 前提: 冪級数, Laurent展開, 部分分数分解
• 理論: 母関数, 漸化式, 一致の定理
• 比較: Laplace変換, 離散Fourier変換と反転公式
• 発展: 信号処理, 伝達関数, 制御理論