コファイブレーション

要点：$X$ と $A\times I$ を $A\times\{0\}$ で貼り合わせた空間に値をとるホモトピーを延長すると、時刻 $1$ の写像から $i$ の逆写像が作れる。

1：$Y:=M$、$f(x):=(x,0)$、$h(a,t):=(a,t)$ とおくと $h(a,0)=f(a)$ なので、延長 $H\colon X\times I\to M$ がある。$H$ は $X\times\{0\}$ と $A\times I$ の上で恒等写像なので、$M$ へのレトラクションである。
2：$r\colon X\times I\to M$ をレトラクションとし、$f\colon X\to Y$ と $h\colon A\times I\to Y$ が $h(a,0)=f(a)$ を満たすとする。$g\colon M\to Y$ を、$X\times\{0\}$ の上で $g(x,0):=f(x)$、$A\times I$ の上で $g(a,t):=h(a,t)$ と定める。二つの式は $A\times\{0\}$ で一致する。$A$ が閉集合なので $X\times\{0\}$ と $A\times I$ はどちらも $M$ の閉集合であり、閉集合の上の連続写像の貼り合わせとして $g$ は連続である。$H:=g\circ r$ が求める延長である。
3：1 のレトラクション $r$ を $X\times I$ への写像とみると、$M=\{z\in X\times I\mid r(z)=z\}$ である。$X\times I$ は Hausdorff なので、二つの連続写像 $r$ と恒等写像が一致する点の集合 $M$ は閉集合である。$A\times\{1\}=M\cap(X\times\{1\})$ も閉集合なので、$A$ は $X$ の閉集合である。$\square$

thm-cof-retract の 1 のレトラクションを $r=(r_X,r_I)\colon X\times I\to X\times\{0\}\cup A\times I$ と書き、
$$ R(x,s,t):=\bigl(r_X(x,t),\,s,\,r_I(x,t)\bigr)\qquad(x\in X,\ s,t\in I) $$
とおく（$s$ は新しく掛けた $I$ の座標、$t$ はホモトピーの時刻）。$r_I(x,t)=0$ なら $R(x,s,t)\in(X\times I)\times\{0\}$、そうでなければ $r_X(x,t)\in A$ なので $R(x,s,t)\in(A\times I)\times I$ である。$r$ は $X\times\{0\}$ と $A\times I$ の上で恒等写像なので、$R$ は $(X\times I)\times\{0\}\cup(A\times I)\times I$ の上で恒等写像である。$A\times I$ は $X\times I$ の閉集合なので、thm-cof-retract の 2 により結論が従う。$\square$

$g\colon X\to A$ を $i$ のホモトピー逆写像とする。証明は 3 段からなる。
段 1（$g$ をレトラクションに取り替える）．$g\circ i\simeq\mathrm{id}_A$ なので、ホモトピー $G\colon A\times I\to A$ で $G_0=g\circ i$、$G_1=\mathrm{id}_A$ となるものがある。ホモトピー拡張性質を $Y=A$、$f=g$、$h=G$ に使うと、$\Gamma\colon X\times I\to A$ で $\Gamma_0=g$、$\Gamma_t|_A=G_t$ となるものが得られる。$r:=\Gamma_1$ とおくと $r|_A=G_1=\mathrm{id}_A$ なので $r$ はレトラクションであり、$\Gamma$ により $r\simeq g$ である。よって $i\circ r\simeq i\circ g\simeq\mathrm{id}_X$ であり、ホモトピー $h\colon X\times I\to X$ で $h_0=i\circ r$、$h_1=\mathrm{id}_X$ となるものがとれる。
段 2（$A$ の上で往復するホモトピー）．
$$ k_t(x):=\begin{cases}h_{1-2t}(r(x)) & (0\le t\le\tfrac12),\\ h_{2t-1}(x) & (\tfrac12\le t\le1)\end{cases} $$
とおく。$t=\tfrac12$ では両式とも $r(x)$ になる（$h_0(r(x))=r(r(x))=r(x)=h_0(x)$）ので $k$ は連続で、$k_0=h_1\circ r=i\circ r$、$k_1=\mathrm{id}_X$ である。$a\in A$ では $r(a)=a$ なので $k_t(a)=h_{\lvert1-2t\rvert}(a)$ であり、$A$ の点の動きは、前半の道を後半でそのまま逆にたどって戻ってくる。
段 3（往復を打ち消す）．$A$ の上の 2 変数のホモトピー
$$ \Phi(a,t,u):=h_{\max(u,\,\lvert1-2t\rvert)}(a)\qquad(a\in A,\ t,u\in I) $$
は連続で、$\Phi(a,t,0)=k_t(a)$ を満たし、正方形 $I\times I$ の左辺 $t=0$・右辺 $t=1$・上辺 $u=1$ では $h_1(a)=a$ に等しい。lem-cof-product により $(X\times I,A\times I)$ はホモトピー拡張性質をもつので、$k\colon X\times I\to X$ を時刻 $u=0$ の写像、$\Phi$ を $A\times I$ の上の動きとして延長し、$\Psi\colon X\times I\times I\to X$ を得る。$\Psi$ を正方形の左辺・上辺・右辺に制限して順につなぐと、$\Psi(x,0,0)=k_0(x)=r(x)$ から $\Psi(x,1,0)=k_1(x)=x$ へのホモトピーで、$A$ の点をすべての時刻で動かさないものが得られる。その向きを逆にしたものが、$A$ への強変位レトラクションである。

1 から 2 は定義から従う。2 から 3 は変位レトラクトの記事の命題「変位レトラクトはホモトピー同値」である。3 から 1 は thm-cof-sdr である。$\square$

$r$ のホモトピー逆写像を $j$ とすると、$f=r\circ i$ と $j\circ r\simeq\mathrm{id}$ から $i\simeq j\circ f$ である。ホモトピー同値の合成はホモトピー同値であり、ホモトピー同値にホモトピックな写像もホモトピー同値なので、$f$ がホモトピー同値なら $i$ もそうであり、逆に $i$ がホモトピー同値なら $f=r\circ i$ もそうである。$i$ は $Y$ から $i(Y)$ への同相写像との合成なので、$i$ がホモトピー同値であることは包含 $i(Y)\hookrightarrow M_f$ がホモトピー同値であることと同値である。ex-cof-mapping-cylinder により $i(Y)$ は閉集合で $(M_f,i(Y))$ はホモトピー拡張性質をもつから、cor-cof-three-conditions により結論が従う。$\square$

$A$ は可縮なので、ホモトピー $c\colon A\times I\to A$ で $c_0=\mathrm{id}_A$、$c_1$ が一点 $a_0$ への定値写像となるものがある。ホモトピー拡張性質を $Y=X$、$f=\mathrm{id}_X$、$h=c$（$X$ への写像とみる）に使い、$F\colon X\times I\to X$ で $F_0=\mathrm{id}_X$、$F_t|_A=c_t$ となるものをとる。
各 $t$ で $F_t(A)\subset A$ なので、$q\circ F_t$ は $A$ を一点に写し、$\bar F_t\circ q=q\circ F_t$ となる写像 $\bar F_t\colon X/A\to X/A$ が定まる。$I$ は局所コンパクトなので $q\times\mathrm{id}_I$ は商写像であり（Hat02 Appendix, Proposition A.17, p. 532）、$\bar F\circ(q\times\mathrm{id}_I)=q\circ F$ は連続だから、$\bar F\colon (X/A)\times I\to X/A$ は連続である。
$F_1(A)=\{a_0\}$ なので、$F_1$ は $q$ を通り、連続写像 $g\colon X/A\to X$ で $g\circ q=F_1$ となるものがある。このとき
$$ g\circ q=F_1\simeq F_0=\mathrm{id}_X $$
である。また $q\circ g\circ q=q\circ F_1=\bar F_1\circ q$ で $q$ は全射なので $q\circ g=\bar F_1$ であり、$\bar F$ により $q\circ g=\bar F_1\simeq\bar F_0=\mathrm{id}_{X/A}$ である。よって $g$ は $q$ のホモトピー逆写像である。$\square$

要点：ホモトピー拡張性質は、道の空間の評価写像 $e_0\colon Y^I\to Y$ に対する左持ち上げ性質と言い換えられ、$e_0$ はファイブレーションかつ弱同値である。