完全整閉

$A$ の元 $x$ は $a=1$ で概整である。$x,y$ が概整で、$ax^n\in A$、$by^n\in A$（$a,b\ne0$、すべての $n\ge0$）とする。$ab\ne0$ であり、
$$ ab(x+y)^n=\sum_{j=0}^n\binom nj(ax^j)(by^{n-j})\in A,\qquad ab(xy)^n=(ax^n)(by^n)\in A $$
となる。$-x$ についても $a(-x)^n=\pm ax^n\in A$ である。$\square$

1. $x$ が次数 $d\ge1$ のモニック方程式 $x^d=-(c_{d-1}x^{d-1}+\dots+c_0)$（$c_i\in A$）を満たすとする。$n$ についての帰納法で、すべての $n\ge0$ について $x^n\in A+Ax+\dots+Ax^{d-1}$ である。実際 $n< d$ なら明らかで、$x^n$ がこの形なら $x^{n+1}$ は $x,\dots,x^d$ の $A$ 一次結合であり、$x^d$ を方程式で書き換えればよい。$x^i=b_i/a_i$（$0\le i< d$）と書いて $a=a_0a_1\cdots a_{d-1}\ne0$ とおくと、$ax^i\in A$（$0\le i< d$）なので $ax^n\in A$ がすべての $n$ で成り立つ。
2. $ax^n\in A$（$a\ne0$、すべての $n\ge0$）とする。すると $A[x]\subset a^{-1}A$ である。$a^{-1}A$ は $A$ と同型な $A$ 加群なので Noether 加群であり、その部分加群 $A[x]$ は有限生成である。$A[x]$ は $1$ を含み $x$ 倍で保たれるので、整閉包 の補題「有限モニック生成と行列式」の 2 により $x$ は $A$ 上整である。$\square$

1. $A$ を一意分解整域とし、素元 $p$ について $v_p\colon K^\times\to\mathbb Z$ を、$x$ の既約分数表示での $p$ の指数（分子の指数から分母の指数を引いたもの）とする。$v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y)$ であり、$0$ でない $x\in K$ が $A$ に属することと、すべての素元 $p$ で $v_p(x)\ge0$ であることは同値である。$x\ne0$ が概整で $ax^n\in A$ なら、各 $p$ について $v_p(a)+nv_p(x)\ge0$ がすべての $n\ge1$ で成り立つ。$v_p(a)$ は $n$ によらないので $v_p(x)\ge0$ であり、$x\in A$ となる。離散付値環は素元が一つの一意分解整域である。
2. $x\in K$ が $A$ 上概整で $ax^n\in A$（$0\ne a\in A$）なら、各 $\lambda$ で $a\in A_\lambda$、$ax^n\in A_\lambda$ なので $x$ は $A_\lambda$ 上概整であり、$x\in A_\lambda$ である。よって $x\in A$。$\square$

次元が $2$ 以上なら完全整閉でない。 素イデアルの真の鎖 $0\subsetneq\mathfrak p\subsetneq\mathfrak q$ を取る。$\mathfrak q\subset\mathfrak m$ なので $\mathfrak p\subsetneq\mathfrak m$ である。$0\ne a\in\mathfrak p$ と $b\in\mathfrak m\setminus\mathfrak p$ を取る。各 $n\ge1$ について $b^n\notin\mathfrak p$ である（$\mathfrak p$ は素イデアル）。付値環の定義により $a/b^n\in V$ か $b^n/a\in V$ のどちらかが成り立つが、後者なら $b^n=a\cdot(b^n/a)\in\mathfrak p$ となって矛盾する。よって $a(b^{-1})^n\in V$ がすべての $n$ で成り立ち、$b^{-1}$ は $V$ 上概整である。$b$ は非単元なので $b^{-1}\notin V$ であり、$V$ は完全整閉でない。
次元が $1$ 以下なら完全整閉である。 次元が $0$ なら、整域 $V$ の素イデアルは $0$ だけなので $\mathfrak m=0$、$V$ は体で $V=K$ である。次元が $1$ とし、$x\in K\setminus V$ が概整で、$0\ne a\in V$ について $ax^n\in V$（すべての $n$）であると仮定して矛盾を導く。$x\notin V$ なので $y=x^{-1}\in V$ で、$y$ は単元でない（単元なら $x\in V$）から $y\in\mathfrak m$ である。$ax^n\in V$ は $a\in y^nV$ を意味する。そこで
$$ \mathfrak q=\bigcap_{n\ge1}y^nV $$
とおくと $a\in\mathfrak q$ である。$\mathfrak q$ が素イデアルで $y\notin\mathfrak q$ であることを示す。
$\mathfrak q$ はイデアルである。$y\in y^2V$ なら $y^{-1}\in V$ となって矛盾するので、$y\notin\mathfrak q$ であり、特に $\mathfrak q\ne V$ である。$u,w\in V$、$uw\in\mathfrak q$、$u\notin\mathfrak q$ とする。ある $k$ で $u\notin y^kV$ であり、$u\ne0$ なので、付値環の定義から $y^k/u\in V$ となる（$u/y^k\in V$ なら $u\in y^kV$）。各 $n$ について $uw\in y^{n+k}V$ なので $uw=y^{n+k}c$（$c\in V$）と書けて、
$$ w=\frac{y^{n+k}c}{u}=y^n\cdot c\cdot\frac{y^k}{u}\in y^nV $$
となる。よって $w\in\mathfrak q$ であり、$\mathfrak q$ は素イデアルである。
$y\in\mathfrak m\setminus\mathfrak q$ なので $\mathfrak q\subsetneq\mathfrak m$ である。次元が $1$ の局所整域の素イデアルは $0$ と $\mathfrak m$ だけなので $\mathfrak q=0$ となり、$0\ne a\in\mathfrak q$ に矛盾する。$\square$

形式的冪級数環。 $x\in\operatorname{Frac}(A[\![X]\!])$ が概整で、$0\ne h\in A[\![X]\!]$ についてすべての $n\ge1$ で $hx^n\in A[\![X]\!]$ とする。$x\ne0$ としてよい。$\operatorname{ord}(hx^n)=\operatorname{ord}h+n\operatorname{ord}x\ge0$ がすべての $n$ で成り立つので $\operatorname{ord}x\ge0$、すなわち $x=\sum_{i\ge0}c_iX^i\in K[\![X]\!]$ である。$h$ の最低次の項を $bX^k$（$0\ne b\in A$）とする。
$i\ge0$ について、$c_0,\dots,c_{i-1}\in A$ と
$$ y_i=\frac{x-\sum_{j< i}c_jX^j}{X^i}=c_i+c_{i+1}X+\cdots\in K[\![X]\!],\qquad hy_i^n\in A[\![X]\!]\ (n\ge1) $$
が成り立つことを $i$ についての帰納法で示す。$i=0$ では $y_0=x$ である。$i$ で成り立つとする。$hy_i^n$ の $X^k$ の係数は $bc_i^n$ であり、これが $A$ に入るので $c_i$ は $A$ 上概整であり、$A$ は完全整閉だから $c_i\in A$ である。次に $y_i-c_i=Xy_{i+1}$ であり、
$$ X^nhy_{i+1}^n=h(y_i-c_i)^n=\sum_{j=0}^n\binom nj(hy_i^j)(-c_i)^{n-j}\in A[\![X]\!] $$
となる（$j=0$ の項は $h(-c_i)^n$ で、これも $A[\![X]\!]$ に入る）。$hy_{i+1}^n\in K[\![X]\!]$ に $X^n$ を掛けたものの係数がすべて $A$ に入るので、$hy_{i+1}^n$ の係数もすべて $A$ に入る。これで $i+1$ の場合が示された。従ってすべての $c_i$ が $A$ に属し、$x\in A[\![X]\!]$ である。
多項式環。 $x\in K(X)=\operatorname{Frac}(A[X])$ が概整で、$0\ne h\in A[X]$ について $hx^n\in A[X]$（すべての $n$）とする。$x=u/w$ を $K[X]$ での既約な表示（$u,w$ は互いに素、$w$ はモニック）とすると、$w^n$ は $hu^n$ を割り、$u$ と互いに素なので $h$ を割る。これがすべての $n$ で成り立つので $\deg w=0$、すなわち $x\in K[X]$ である。他方、$h\in A[\![X]\!]$、$hx^n\in A[\![X]\!]$ なので $x$ は $A[\![X]\!]$ 上概整であり、前半により $x\in A[\![X]\!]$ である。係数を比べれば $x\in A[\![X]\!]\cap K[X]=A[X]$ を得る。$\square$