異種球面

$B_1$ と $B_2$ を $M$ に沿って貼り合わせた閉多様体 $C:=B_1\cup_M(-B_2)$ を作る。カラーを使って滑らかな構造が入り（境界に沿った貼り合わせと連結和 の定理「貼り合わせの滑らかな構造」）、$C$ には $B_1$ の上で $\nu_1$ と、$B_2$ の上で $-\nu_2$ と一致する向きが入る（同じ記事の定理「貼り合わせと向き」）。
段 1：$C$ の $4$ 次元コホモロジー。 $C$ の中の $M$ のカラーを使った切除により、制限の写像
$$ h\colon H^4(C,M)\to H^4(B_1,M)\oplus H^4(B_2,M) $$
は同型である（切除定理）。対 $(C,M)$ の長完全列と $H^3(M)=H^4(M)=0$ から、$j_C\colon H^4(C,M)\to H^4(C)$ も同型である。したがって
$$ \rho:=(\text{制限})\colon H^4(C)\to H^4(B_1)\oplus H^4(B_2) $$
は、同型 $j_1\oplus j_2$、$h$、$j_C^{-1}$ の合成 $\rho=(j_1\oplus j_2)\circ h\circ j_C^{-1}$ なので同型である（制限と $j$ は可換）。
段 2：形式の分解。 $a\in H^4(C,M)$ が $h(a)=(a_1,a_2)$ をみたすとき、基本類 $[C]$ の $H_8(C,M)\cong H_8(B_1,M)\oplus H_8(B_2,M)$ での像は $(\nu_1,-\nu_2)$ なので、
$$ \langle(j_Ca)^2,[C]\rangle=\langle a_1^2,\nu_1\rangle-\langle a_2^2,\nu_2\rangle \qquad(1) $$
である。$\mathbb{Q}$ 係数でも同じなので、$C$ の形式は $B_1$ の形式と $B_2$ の形式の $-1$ 倍の直交和であり、
$$ \sigma(C)=\tau(B_1)-\tau(B_2). \qquad(2) $$
段 3：Pontryagin 数の分解。 $\alpha_i:=j_i^{-1}p_1(B_i)$ とおく。(P1) により $p_1(C)$ の $B_i$ への制限は $p_1(B_i)=j_i\alpha_i$ なので、段 1 の同型から $p_1(C)=j_C\bigl(h^{-1}(\alpha_1,\alpha_2)\bigr)$ である。(1) により
$$ \langle p_1(C)^2,[C]\rangle=q(B_1)-q(B_2). \qquad(3) $$
段 4：$7$ を法として。 thm-exs-hirzebruch により $45\sigma(C)+\langle p_1(C)^2,[C]\rangle=7\langle p_2(C),[C]\rangle\equiv0\pmod7$ である。$45\equiv3$ なので、$Q:=\langle p_1(C)^2,[C]\rangle$ とおくと $3\sigma(C)+Q\equiv0$、両辺を $2$ 倍して $2Q\equiv-6\sigma(C)\equiv\sigma(C)\pmod7$、すなわち $2Q-\sigma(C)\equiv0\pmod7$ である。(2)・(3) を代入すると
$$ \bigl(2q(B_1)-\tau(B_1)\bigr)-\bigl(2q(B_2)-\tau(B_2)\bigr)\equiv0\pmod7 $$
が得られる。

1：$\phi\colon M\to M'$ を向きを保つ微分同相写像、$\partial B'=M'$ とする。$B'$ の境界を $\phi^{-1}$ で $M$ と同一視したものは、向きを込めて $M$ を境界にもつ多様体であり、$\tau$ と $q$ は $B'$ そのものの量なので変わらない。thm-exs-lambda により $\lambda(M)=\lambda(M')$ である。
2：$\partial B=M$ なら $\partial(-B)=-M$ である。基本類が $-\nu$ になるので形式は $-1$ 倍になり $\tau(-B)=-\tau(B)$、(P3) により $p_1$ は変わらないので $q(-B)=-q(B)$ である。
3：$\partial B=M$、$\partial B'=M'$ なら $\partial(B\sqcup B')=M\sqcup M'$ で、コホモロジーも形式も直和に分かれ、$p_1$ も成分ごとに決まるので、$\tau$ と $q$ は和になる。
4：$B:=W$ とすると $H^4(W,M;\mathbb{Q})=0$ なので $\tau(W)=0$ である。$q(W)$ は $\mathbb{Q}$ 係数で計算しても同じ整数で、$j^{-1}p_1(W)\otimes\mathbb{Q}\in H^4(W,M;\mathbb{Q})=0$ なので $q(W)=0$ である。$S^7=\partial D^8$ で $H^4(D^8,S^7)\cong H^3(S^7)=0$ である（対の長完全列と $D^8$ の可縮性）。$\square$

1：微分同相写像 $\phi\colon M\to S^7$ があれば、$\phi$ は $M$ から $S^7$ か $-S^7$ への向きを保つ微分同相写像である。prop-exs-lambda-properties の 1・2・4 から $\lambda(M)=\pm\lambda(S^7)=0$ となり、仮定に反する。
2：向きを逆にする微分同相写像 $M\to M$ は、$M$ から $-M$ への向きを保つ微分同相写像なので、$\lambda(M)=\lambda(-M)=-\lambda(M)$、すなわち $2\lambda(M)=0$ となる。$\mathbb{Z}/7$ では $2$ が可逆なので $\lambda(M)=0$ となり、仮定に反する。$\square$

$g:=\alpha\circ\beta^{-1}\vert_{S^{n-1}}\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ は同相写像である。$\Phi\colon X\to S^n\subset\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}$ を
$$ \Phi(x):=\begin{cases}\bigl(\alpha(x),\sqrt{1-\lvert\alpha(x)\rvert^2}\bigr)&(x\in A),\\[2pt]\bigl(t\,g(u),-\sqrt{1-t^2}\bigr)&(x\in B,\ \beta(x)=tu,\ t\in[0,1],\ u\in S^{n-1})\end{cases} $$
で定める（$t=0$ のときは $u$ によらず $(0,-1)$）。$B$ の側の式は錐の上の写像 $tu\mapsto tg(u)$ で、$\lvert tg(u)\rvert=t$ なので $t\to0$ でも連続である。$x\in A\cap B$ では $\beta(x)=u\in S^{n-1}$、$t=1$ で、$g(u)=\alpha(x)$ なので 2 つの式は一致する。$A$、$B$ は閉集合なので $\Phi$ は連続である。$A$ は上半球へ、$B$ は下半球へ全単射に写り、両者の共通部分 $A\cap B$ は赤道へ全単射に写るので、$\Phi$ は全単射である。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射なので、$\Phi$ は同相写像である。$\square$

$M$ はコンパクトなので $f$ は最小値と最大値をとり、そこは臨界点である。$M$ は 2 点より多くの点をもつので $f$ は定数でなく、最小点 $p$ と最大点 $p'$ は異なり、臨界点はこの 2 つだけである。$a:=f(p)< b:=f(p')$ とおき、$M^c:=f^{-1}((-\infty,c])$ と書く。
段 1：両端の近くは円板。 Morse関数 の定理「Morseの補題」と命題「指数と極値」により、$p$ の座標近傍 $\varphi$ で $f=a+\lvert\varphi\rvert^2$ となるものがあり、十分小さい $\varepsilon>0$ について $M^{a+\varepsilon}=\varphi^{-1}(\{\lvert x\rvert\le\sqrt\varepsilon\})$ は閉円板と同相である。同様に $f^{-1}([b-\varepsilon,\infty))$ も閉円板と同相で、どちらも境界は球面 $f^{-1}(a+\varepsilon)$、$f^{-1}(b-\varepsilon)$ に写る。

要点：重なりの上で $w=u^hv^{-1}u^{-h}/\lvert u\rvert$ となり、2 つの式が一致する。2 つ目の座標では $f$ は $\operatorname{Re}w$ 方向に真に増加するので臨界点がなく、1 つ目の座標では $v$ が $S^3$ の高さ関数の臨界点 $\pm1$ でなければならず、そのとき $u=0$ となる。

$M_k$ は閉多様体で（コンパクトな $S^4$ の上のコンパクトなファイバーの束）、lem-exs-morse と thm-exs-reeb により $S^7$ と同相である。とくに $H^3(M_k)=H^4(M_k)=0$ で、$\lambda(M_k)$ が定義される。
$B_k$ は零切断 $S^4$ に変形レトラクトするので、$x:=\pi^*\iota$ は $H^4(B_k)\cong\mathbb{Z}$ の生成元であり、$a:=j^{-1}(x)$ は $H^4(B_k,M_k)\cong\mathbb{Z}$ の生成元である。Lefschetz 双対により $\langle a\smile a,\nu\rangle=\pm1$ となるので、$\tau(B_k)=\pm1$ であり、向きを取り替えて $\tau(B_k)=1$、すなわち $\langle a^2,\nu\rangle=1$ とできる。

prop-exs-lambda-mk により $M_k$ は $S^7$ と同相で、$\lambda(M_k)\equiv k^2-1\not\equiv0\pmod7$ である。cor-exs-nonzero の 1 により、$M_k$ は $S^7$ と微分同相でない。$\square$

prop-exs-lambda-mk により $\lambda(M_3)\equiv8\equiv1$、$\lambda(M_5)\equiv24\equiv3\pmod7$ であり、$\lambda(S^7)=0$ である。微分同相写像 $X\to Y$ は $X$ から $Y$ か $-Y$ への向きを保つ微分同相写像なので、prop-exs-lambda-properties の 1・2 から $\lambda(X)=\pm\lambda(Y)$ となるはずである。ところが $\mathbb{Z}/7$ の中で $\{0\}$、$\{1,6\}$、$\{3,4\}$ は互いに交わらない。$\square$