双対化複体

Noether 環 $A$ が $A$ 加群として有限の入射次元をもてば、$A$（次数 $0$）は双対化複体である。実際、条件 1 は仮定、条件 2 は明らかで、条件 3 は $\operatorname{Hom}_A(A,A)=A$ と $n>0$ での $\operatorname{Ext}^n(A,A)=0$（$A$ は射影的）、$n< 0$ での $\operatorname{Hom}_{D(A)}(A,A[n])=0$ による。正則環で Krull 次元が有限なもの（Har66 第 V 章 Example 2.2、p. 259）や、Gorenstein環の記事の例「Gorensteinだが正則でない例」の環がこれにあたる。
$A=\mathbb{Z}$ では、$0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to0$ が入射分解なので入射次元は $1$ であり、$D=R\operatorname{Hom}(-,\mathbb{Z})$ である。有限生成自由アーベル群では $D(\mathbb{Z}^r)=\mathbb{Z}^r$、巡回群では $D(\mathbb{Z}/n)\cong(\mathbb{Z}/n)[-1]$ である（導来Homの記事の例「整数への導来 Hom」）。後者に $D$ をもう一度当てると $D((\mathbb{Z}/n)[-1])\cong D(\mathbb{Z}/n)[1]\cong\mathbb{Z}/n$ で、たしかに元に戻る。thm-dc-duality はこの場合、有限生成なコホモロジーをもつ有界な複体の全体で $R\operatorname{Hom}(-,\mathbb{Z})$ が自己双対であることを述べ、Har66 第 V 章 Proposition 1.1（pp. 254–255）にあたる。

$A=k$ が体なら、すべての $k$ 加群は入射的であり、$\omega=k$ は双対化複体で、$D(V)=\operatorname{Hom}_k(V,k)=V^\vee$ は双対空間である。thm-dc-duality の 2 は有限次元の $V$ について $V\cong V^{\vee\vee}$ が成り立つことにあたる。

$\omega$ が双対化複体なら、整数 $n$ について $\omega[n]$ も双対化複体であり、$D_{\omega[n]}=D_\omega[n]$ である。より一般に、射影的な有限生成加群 $L$ で $L_{\mathfrak{p}}\cong A_{\mathfrak{p}}$（すべての素イデアル $\mathfrak{p}$）となるもの（可逆加群）について $\omega\otimes_AL$ も双対化複体である。$\operatorname{Spec}A$ が連結なら、双対化複体はこの 2 つの操作を除いて一意である（Har66 第 V 章 Theorem 3.1、p. 266。Stacks Tag 0A7F（Lemma 15.5、p. 28）。この記事では証明しない）。局所環 $(A,\mathfrak{m},\kappa)$ では $R\operatorname{Hom}(\kappa,\omega)\cong\kappa[n]$ となる整数 $n$ があり（Stacks Tag 0A7L（Lemma 15.12、p. 29））、$n=0$ となるように移動したものを正規化された双対化複体という。

1 行目。$k$ を体、$A=k[x,y]/(x,y)^2$、$\mathfrak{m}=(x,y)$ とする。$A$ は $k$ 上 $1,x,y$ を基底にもち、$\mathfrak{m}^2=0$ なので $\mathfrak{m}\cong k^{\oplus2}$ である。$\operatorname{Hom}_A(k,A)$ は $\mathfrak{m}$ で消される元のなす部分 $\mathfrak{m}$（2 次元）である。$0\to\mathfrak{m}\to A\to k\to0$ に $\operatorname{Hom}_A(-,A)$ を当てると、$\operatorname{Ext}^{\ge1}(A,A)=0$ から
$$ 0\to\operatorname{Hom}(k,A)\to\operatorname{Hom}(A,A)\to\operatorname{Hom}(\mathfrak{m},A)\to\operatorname{Ext}^1(k,A)\to0 $$
が完全で、次元は $2,3,4$ なので $\dim_k\operatorname{Ext}^1(k,A)=3$ である。$i\ge1$ では $\operatorname{Ext}^{i+1}(k,A)\cong\operatorname{Ext}^i(\mathfrak{m},A)\cong\operatorname{Ext}^i(k,A)^{\oplus2}$ なので、すべての $i\ge1$ で $\operatorname{Ext}^i(k,A)\ne0$ である。したがって $R\operatorname{Hom}(k,A)$ は有界でなく、$A$ は有限の入射次元をもたない。条件 2・3 は ex-dc-gorenstein と同じ理由で成り立つ。
2 行目。$A=k[\![t]\!]$ は完備局所環で、剰余体 $k$ の入射包 $E$ について $A\to\operatorname{Hom}_A(E,E)$ は同型である（Matlis双対の記事の定理「完備化上の入射包と自己準同型環」）。$E$ は入射的なので $n\ne0$ で $\operatorname{Hom}_{D(A)}(E,E[n])=\operatorname{Ext}^n(E,E)=0$ であり、条件 1・3 は成り立つ。しかし $D(A)=\operatorname{Hom}(A,E)=E$ は有限生成でない（$E$ は $k[t^{-1}]$ と同型な $A$ 加群で、$t$ は $t^{-m}\mapsto t^{-m+1}$、$1\mapsto0$ と作用する。有限個の元は $t^{-m}$（$m$ は有限）までの部分加群にしか入らない）。
3 行目。$A=k\times k$ では、すべての $A$ 加群は入射的かつ射影的である。$\omega=k\times0$ は条件 1・2 をみたすが、$\operatorname{Hom}_A(\omega,\omega)=k\ne A$ である。$\eta_A\colon A\to D(D(A))=\operatorname{Hom}(\omega,\omega)=k$ は単射でない。
4 行目。$V=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}k$ について $V^\vee=\prod_{n}k$ である。$V^\vee$ の部分空間 $W:=\bigoplus_nk+k\cdot(1,1,\dots)$ 上で、$\bigoplus_nk$ で $0$、$(1,1,\dots)$ で $1$ となる線形写像を、基底の延長（選択公理）で $V^\vee$ 全体に延ばしたものを $\lambda$ とする。$\lambda=\eta_V(v)$ なら、各座標関数で $0$ になることから $v=0$、よって $\lambda=0$ となり矛盾する。$\eta_V$ は全射でない。