随伴関手定理
概要
随伴関手定理（adjoint functor theorem）とは、極限を保つ関手が左随伴をもつための十分条件を与える定理である。Freyd の一般随伴関手定理によれば、局所小で完備な圏 $\mathcal A$ からの関手 $G$ が左随伴をもつことは、$G$ が小さい極限を保ち、各対象 $X$ から $G$ への射がある小さい族のどれかを通るという解集合条件を満たすことと同値である。特殊随伴関手定理によれば、$\mathcal A$ がさらに整冪で小さい余生成集合をもち、行き先の圏が局所小なら、極限を保つ関手はそれだけで左随伴をもつ。どちらの証明も各コンマ圏に始対象を作るもので、これにより自由群や Stone–Čech コンパクト化が具体的な構成によらずに得られる。
右随伴は極限を保つ（極限(圏論) の命題「右随伴は極限を保存する」）。では逆に、極限を保つ関手はいつ左随伴をもつか。これに答えるのが 随伴関手定理 である。答えは「極限を保つことに、大きさについての条件を一つ足せば十分」というもので、Freyd の一般随伴関手定理はその条件を関手の側（解集合条件）に、特殊随伴関手定理は圏の側（部分対象が集合をなすことと、小さい余生成集合）に置く。
随伴関手定理を使うと、自由群のような左随伴を、元を並べた具体的な構成なしに存在させられる。Stone–Čech コンパクト化もこの定理で得られる。一方で大きさの条件は外せず、極限を保つのに左随伴をもたない関手がある。
定義
以下、圏 $\mathcal A$ が 局所小 であるとは各 $\operatorname{Hom}$ が集合であること、完備 であるとは小さい図式の極限(圏論)をすべてもつことをいう。関手 $G\colon\mathcal A\to\mathcal C$ と $X\in\mathcal C$ に対し、コンマ圏 $(X\downarrow G)$ の対象は組 $(a,f\colon X\to Ga)$、射 $(a,f)\to(a',f')$ は $G(h)f=f'$ を満たす $h\colon a\to a'$ である。
関手 $G\colon\mathcal A\to\mathcal C$ が 解集合条件 を満たすとは、各 $X\in\mathcal C$ に対し、集合で添字づけられた射の族 $\{f_i\colon X\to Ga_i\}_{i\in I}$ があって、任意の射 $f\colon X\to Ga$ がある $i$ と $h\colon a_i\to a$ によって $f=G(h)\circ f_i$ と分解することをいう。
これは、各コンマ圏 $(X\downarrow G)$ が 始対象 の定義「解集合条件」を満たすこと（すべての対象へ射が出る小さい対象の族をもつこと）と同じである。分解の一意性は求めない。$G$ が左随伴 $F$ をもてば、単位 $\eta_X\colon X\to GFX$ だけからなる族が解集合条件を満たす（$f=G(\Phi^{-1}f)\circ\eta_X$）。
一般随伴関手定理
$G$ が左随伴をもつことは、各コンマ圏 $(X\downarrow G)$ が始対象をもつことと同じである（コンマ圏 の命題「普遍射とコンマ圏の始対象」とその後の段落）。始対象は恒等関手の極限として特徴づけられる（Rie16 Lemma 3.7.1, p. 123）ので、$(X\downarrow G)$ 全体を添字とする極限があれば始対象が得られる。しかし $(X\downarrow G)$ は一般に小さくなく、完備性が保証するのは小さい図式の極限だけである。完備性を大きい図式にまで課すことはできない。実際、小さい圏で考えると、極限(圏論) の定理「Freydの定理」のとおり、小さい積をすべてもつ小さい圏は前順序に限られ、圏そのものと同じ大きさの極限を要求すると圏が潰れてしまう。解集合条件は、全対象にわたる極限を、小さい族の積とその自己射全体の等化子という小さい極限に置き換えるための条件である。
$\mathcal A$ が完備で $G\colon\mathcal A\to\mathcal C$ が小さい極限を保つなら、各 $(X\downarrow G)$ は完備で、極限は $\mathcal A$ での極限の上に作られる（射影 $(a,f)\mapsto a$ は極限を保つ）。
小さい図式 $j\mapsto(a_j,f_j)$ をとり、$\mathcal A$ での $a_j$ の極限を $(L,p_j)$ とする。$G$ は極限を保つので $(GL,Gp_j)$ は $Ga_j$ の極限である。図式の射 $h\colon a_j\to a_{j'}$ は $G(h)f_j=f_{j'}$ を満たすので、$(f_j)$ は $X$ を頂点とする錐であり、$G(p_j)f=f_j$ となる $f\colon X\to GL$ がただ一つある。こうして $(L,f)$ と脚 $p_j$ は $(X\downarrow G)$ の錐になる。別の錐 $(b,g)$、$q_j\colon b\to a_j$（$G(q_j)g=f_j$）があれば、$\mathcal A$ で $p_jq=q_j$ となる $q\colon b\to L$ がただ一つある。$G(p_j)G(q)g=f_j=G(p_j)f$ がすべての $j$ で成り立ち、極限の脚は同時にモノ射なので（極限(圏論) の命題「極限の脚は同時にモノ射」）$G(q)g=f$、すなわち $q$ は $(X\downarrow G)$ の射である。$\blacksquare$
$\mathcal A$ を局所小かつ完備な圏、$G\colon\mathcal A\to\mathcal C$ を関手とする。$G$ が左随伴をもつことは、$G$ が小さい極限を保ち、かつ解集合条件を満たすことと同値である。
左随伴をもてば、$G$ は極限を保ち（極限(圏論) の命題「右随伴は極限を保存する」）、上で見たとおり解集合条件を満たす。
逆を示す。$X\in\mathcal C$ を固定する。lem-aft-comma-limits により $(X\downarrow G)$ は完備であり、その射は $\mathcal A$ の射の一部なので局所小である。解集合条件の族 $\{(a_i,f_i)\}$ は、$(X\downarrow G)$ のどの対象 $(a,f)$ にも射 $h\colon(a_i,f_i)\to(a,f)$ が出る小さい族である。始対象 の定理「始対象の存在定理」により $(X\downarrow G)$ は始対象 $(FX,\eta_X)$ をもつ。これは $X$ から $G$ への普遍射である（コンマ圏 の命題「普遍射とコンマ圏の始対象」）。すべての $X$ に普遍射があるので、$X\mapsto FX$ は $\eta$ を単位とする $G$ の左随伴に一意に延びる（Mac98 IV.1 Theorem 2, p. 83、Rie16 Lemma 4.7.1, pp. 175–176）。$\blacksquare$
これは Mac98 V.6 Theorem 2（p. 121）、Rie16 Theorem 4.7.3（p. 176）、Lei16 Theorem 6.3.10（p. 162、証明は付録）にある。始対象の作り方は「解集合の積をとり、その自己射すべての等化子をとる」というもので、始対象 の定理の証明にある。
群の圏 $\mathbf{Grp}$ は完備で、忘却関手 $U\colon\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ は極限を保つ（極限は台集合の極限に群構造を入れて作られる。Mac98 V.1 Theorem 2, p. 111）。解集合条件を確かめる。写像 $f\colon X\to UH$ に対し、$f(X)$ が生成する部分群 $H'$ の元は $f(x_1)^{\pm1}\cdots f(x_n)^{\pm1}$ の形なので、$|H'|\le\kappa:=\max(|X|,\aleph_0)$ である。濃度 $\kappa$ 以下の群は、台集合が固定した濃度 $\kappa$ の集合の部分集合であるような群に同型であり、そのような群の全体は集合をなす。その代表元 $H_i$ と写像 $X\to UH_i$ の全体が解集合になる。従って thm-aft-general により $U$ は左随伴、すなわち自由群を作る関手をもつ（Rie16 Example 4.7.6, p. 178）。
薄い圏（順序集合）では解集合条件は自動的に満たされ、定理は「すべての下限をもつ順序集合からの単調写像は、下限を保つときに限り左随伴をもつ」という形になる（薄い圏 の定理「薄い圏の随伴関手定理」の双対、Lei16 Proposition 6.3.7, p. 160）。
特殊随伴関手定理
解集合条件は関手ごとに確かめる必要があり、見つけにくいことが多い。圏 $\mathcal A$ の側に条件を課して、極限を保つことだけから左随伴を得るのが特殊随伴関手定理である。
圏 $\mathcal A$ の対象の集合 $Q$ が 余生成集合 であるとは、平行な射 $u\ne v\colon a\rightrightarrows b$ に対し、ある $s\in Q$ と $\psi\colon b\to s$ で $\psi u\ne\psi v$ となるものがあることをいう。$\mathcal A$ が 整冪（well-powered）であるとは、各対象の部分対象（モノ射 $m\colon c\to a$ を、$m=m'\theta$ となる同型 $\theta$ があるとき同一視したもの）の全体が集合をなすことをいう。
$\mathcal A$ が局所小・完備・整冪で、小さい余生成集合 $Q$ をもてば、$\mathcal A$ は始対象をもつ。
$p=\prod_{s\in Q}s$ とし、$p$ の部分対象の代表元すべての交わり（それらのモノ射の図式の極限）を $r\colon i\to p$ とする。整冪なので代表元は集合をなし、完備なのでこの極限があり、$r$ はモノ射で、各部分対象 $m\colon c\to p$ について $r=m\circ k_m$ となる $k_m\colon i\to c$ がある。
射は高々一本. $f,g\colon i\to d$ の等化子 $e\colon E\to i$ をとる。$re\colon E\to p$ はモノ射なので部分対象であり、$r=re\circ k$ となる $k$ がある。$r$ はモノ射だから $ek=\operatorname{id}_i$ で、モノ射 $e$ は同型になり、$f=g$ である。
射の存在. $d\in\mathcal A$ に対し、$P=\prod_{s\in Q}\prod_{\varphi\in\operatorname{Hom}(d,s)}s$（局所小なので小さい積）と、成分が $\varphi$ である射 $\nu\colon d\to P$ をとる。$\nu x=\nu y$ なら $\varphi x=\varphi y$ がすべての $\varphi$ で成り立ち、余生成性から $x=y$ なので、$\nu$ はモノ射である。成分 $(s,\varphi)$ が射影 $p\to s$ である射 $\delta\colon p\to P$ に沿った $\nu$ の引き戻し $c\to p$ はモノ射であり、$c\to d$ を伴う。$r$ は $c\to p$ を通るので、$i\to c\to d$ が求める射である。$\blacksquare$
$\mathcal A$ を局所小・完備・整冪で、小さい余生成集合をもつ圏、$\mathcal C$ を局所小な圏とする。関手 $G\colon\mathcal A\to\mathcal C$ が左随伴をもつことは、$G$ が小さい極限を保つことと同値である。
左随伴をもてば極限を保つ。逆に、$G$ が極限を保つとし、$X\in\mathcal C$ を固定する。$(X\downarrow G)$ が lem-aft-special-initial の仮定を満たすことを示せば、prf-aft-general と同じく普遍射が得られ、左随伴が構成できる。完備性は lem-aft-comma-limits、局所小は明らかである。
詳細
整冪：$(X\downarrow G)$ のモノ射 $m\colon(b,g)\to(a,f)$ をとる。$m$ がモノ射であることは、$m$ の自分自身との引き戻しの二つの射影が等しいことと同値で、lem-aft-comma-limits によりこの引き戻しは $\mathcal A$ で作られるから、$m$ は $\mathcal A$ でもモノ射である。$G$ は引き戻しを保つので $G(m)$ もモノ射で、$G(m)g=f$ を満たす $g$ は $m$ から一意に決まる。よって $(a,f)$ の部分対象は $a$ の部分対象の一部と一対一に対応し、集合をなす。
余生成集合：$Q'=\{(s,\varphi)\mid s\in Q,\ \varphi\colon X\to Gs\}$ は、$\mathcal C$ が局所小なので集合である。$(X\downarrow G)$ の射 $u\ne v\colon(b,g)\rightrightarrows(a,f)$ は $\mathcal A$ の射として異なるので、$s\in Q$ と $\psi\colon a\to s$ で $\psi u\ne\psi v$ となるものがある。$\psi$ は $(a,f)\to(s,G(\psi)f)$ という $(X\downarrow G)$ の射であり、$(s,G(\psi)f)\in Q'$ である。$\blacksquare$
これは Mac98 V.8 Theorem 1・Theorem 2 と系（pp. 128–130）、Rie16 Lemma 4.7.11・Theorem 4.7.10（pp. 178–179）にある。系として、同じ仮定の $\mathcal A$ から $\mathbf{Set}$ への極限を保つ関手 $H$ は表現可能関手である。実際 $H$ の左随伴 $L$ をとれば $\operatorname{Hom}(L(\{*\}),a)\cong\operatorname{Hom}(\{*\},Ha)\cong Ha$ となる。
特殊随伴関手定理の仮定は $\mathcal A$ だけに関するもので、関手 $G$ には極限を保つこと以外を求めない。ひとたび $\mathcal A$ について仮定を確かめれば、$\mathcal A$ から局所小な圏への極限を保つ関手はすべて左随伴をもつ。たとえば定値図式を作る関手 $\mathcal A\to\operatorname{Fun}(\mathcal J,\mathcal A)$ に当てると、このような $\mathcal A$ は余完備であることが分かる（Rie16 Corollary 4.7.13, p. 180）。一般随伴関手定理では、解集合を関手ごとに探す必要がある。
コンパクト Hausdorff 空間の圏 $\mathbf{CHaus}$ から位相空間の圏への包含は、特殊随伴関手定理の仮定を満たす。$\mathbf{CHaus}$ はTychonoffの定理により積をもち、等化子は閉部分空間として作られるので完備であり、包含は極限を保つ。部分対象は部分集合で代表されるので整冪であり、Urysohnの補題により $[0,1]$ だけからなる集合が余生成集合になる。従って包含は左随伴 $\beta$ をもち、$\beta X$ は $X$ の Stone–Čech コンパクト化である（Mac98 V.8, pp. 131–132、Rie16 Example 4.7.12, pp. 179–180）。これらの位相の事実はこの記事では証明しない。定理の証明をたどると、$\beta X$ は $X\to[0,1]^{\operatorname{Hom}(X,[0,1])}$ の像の閉包として得られる。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 解集合条件 | 順序数の逆順序の圏 $\mathbf{Ord}^{\mathrm{op}}$ から一対象の圏 $\mathbf 1$ への関手 | 左随伴の存在 |
| 極限の保存 | $\mathbf{Set}$ の二元集合への定値関手 | 左随伴の存在 |
| $\mathcal A$ が完備 | 開区間 $(0,1)$ から $\mathbb R$ への包含（順序集合の間の単調写像） | 左随伴の存在 |
| $\mathcal A$ が整冪 | $\mathbf{Ord}^{\mathrm{op}}\to\mathbf 1$ | 左随伴の存在 |
| 小さい余生成集合 | 完備 Boole 代数の圏から $\mathbf{Set}$ への忘却関手 | 左随伴の存在 |
1 行目・4 行目：$\mathbf{Ord}^{\mathrm{op}}$ は順序数を対象とし、$\alpha\ge\beta$ のとき射 $\alpha\to\beta$ がただ一つある圏である。局所小・完備であることは 始対象 の反例の表の 4 行目にある。$\mathbf 1$ ではどの錐も極限なので関手 $\mathbf{Ord}^{\mathrm{op}}\to\mathbf 1$ は極限を保つが、左随伴は $\mathbf{Ord}^{\mathrm{op}}$ の始対象、すなわち最大の順序数を与えるはずで、存在しない（Mac98 V.6, p. 123）。一般随伴関手定理からは解集合条件が、特殊随伴関手定理からは整冪性が破れていることが分かる。実際、薄い圏では平行な射が等しいので空集合が余生成集合であり、$\alpha$ の部分対象は $\beta\ge\alpha$ となる順序数 $\beta$ すべてと一対一に対応して集合をなさない。
2 行目：定値関手 $K$ は終対象を保たないので左随伴をもたない（随伴関手 の例「反例：随伴をもたない定値関手」）。解集合条件は満たす。$X$ に対し、空集合 $\emptyset$ を始域とする写像 $X\to K(\emptyset)$ の全体が解集合になる（$K(\emptyset\to a)$ は恒等写像なので任意の $f\colon X\to K(a)$ がこれを通る）。
3 行目：$(0,1)$ と $\mathbb R$ を順序集合とみる。$(0,1)$ の部分集合が $(0,1)$ の中に下限 $m$ をもてば、その実数としての下限 $r$ は $m\le r<1$ を満たして $(0,1)$ に入るので $r=m$ となり、包含は存在する極限を保つ。始域が小さいので解集合条件も満たす。しかし左随伴 $F$ があれば、すべての $a\in(0,1)$ で $F(0)\le a\iff0\le a$ となり、$F(0)$ は $(0,1)$ の最小元になるが、それは存在しない。$(0,1)$ は空集合の下限（最大元）や $(0,1)$ 自身の下限をもたず、完備でない。
5 行目：完備 Boole 代数の圏は完備で忘却関手は極限を保つが、可算集合で生成される完備 Boole 代数はいくらでも大きくなりうるので、自由な完備 Boole 代数は存在せず、左随伴はない（Mac98 V.6, p. 123。この記事では証明しない）。忘却関手は極限を保つのでモノ射は単射であり、整冪である。特殊随伴関手定理の対偶により、この圏は小さい余生成集合をもたない。
補足
関連項目
- 前提: 随伴関手, 極限(圏論), コンマ圏, 始対象
- 例: 自由群, 薄い圏, 表現可能関手
- 比較: モナドとBarr–Beckの定理, Freyd–Mitchellの埋め込み定理
- 発展: 随伴関手(∞圏)
参考文献
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