Joyalの定理(準圏がKan複体である条件)

内側のホーン $\Lambda^2_1$ を埋めて、$d_2\sigma'=f$、$d_0\sigma'=g$ となる $2$ 単体 $\sigma'$ をとり、$h'=d_1\sigma'$ とおく。$[h']=[g][f]=[h]$ なので、$d_2\rho=h'$、$d_0\rho=\mathrm{id}_z$、$d_1\rho=h$ となる $2$ 単体 $\rho$ がある（∞圏のホモトピー圏 の定義「2単体によるホモトピー」）。頂点 $0,1,2,3$ を $x,y,z,z$ に送る内側のホーン $\Lambda^3_2$ を、面 $d_3=\sigma'$（頂点 $0,1,2$）、$d_1=\rho$（頂点 $0,2,3$）、$d_0=s_1g$（頂点 $1,2,3$。辺は $g,\mathrm{id}_z,g$）で定める。共有する辺は、辺 $\{1,2\}$ が $g$、辺 $\{0,2\}$ が $h'$、辺 $\{2,3\}$ が $\mathrm{id}_z$ で一致する。これを埋めた $3$ 単体の面 $\sigma:=d_2$（頂点 $0,1,3$）は、辺 $\{0,1\}=f$、$\{1,3\}=g$、$\{0,3\}=h$ をもつ。$\square$

$0< k\le m$ とする。上の対応により、右ホーン $\Lambda^m_k\subset\Delta^m$ に対する持ち上げの問題は、
$$ J:=(\Lambda^m_k\star K)\cup(\Delta^m\star K')\ \subset\ \Delta^m\star K $$
から $C$ への写像（$K$ 上で $p$）を $\Delta^m\star K$ へ延ばす問題と同じである。$2$ つの部分の共通部分は $\Lambda^m_k\star K'$ なので（結(単体的集合) の命題「結は連結な余極限を保つ」の 3）、$J$ からの写像は、共通部分で一致する $2$ つの写像の組である。
内側ファイブレーションに対して左持ち上げ性質をもつ写像（内部アノダイン射）の全体を $\mathcal R$ とする。$\mathcal R$ は余積・押し出し・可算列の合成・レトラクトで閉じている（Kan–Quillenモデル構造 の補題「左持ち上げ性質で定まるクラスの閉包性」）。$K'\subset K$ が境界の包含 $\partial\Delta^r\subset\Delta^r$ のとき、結(単体的集合) の定理「境界とホーンの結」の 3 により $J\subset\Delta^m\star K$ はホーンの包含 $\Lambda^{m+r+1}_k\subset\Delta^{m+r+1}$ であり、$0< k\le m< m+r+1$ なので内側のホーンである。よって $\mathcal R$ に入る。一般の単射 $K'\subset K$ は境界の包含の余積の押し出しの可算列の合成なので（Kan–Quillenモデル構造 の補題「単射は単体を貼って作れる」）、右アノダイン射 の補題「胞体の移送」の 2 により、$J\subset\Delta^m\star K$ も $\mathcal R$ に入る。$C\to\Delta^0$ は内側ファイブレーションなので、$J\to C$ は $\Delta^m\star K$ へ延びる。
後半：右ファイブレーションは内側ファイブレーションであり、内側ファイブレーションの合成 $C_{/p}\to C\to\Delta^0$ は内側ファイブレーションである（ホーンと充填条件 の定理「右持ち上げ性質の閉包性」の (ii)）。$\square$

$P(e)$ の逆の類の代表 $g\colon P(x')\to P(x)$ をとる。$[P(e)]\circ[g]=[\mathrm{id}_{P(x')}]$ なので、lem-joyal-witness により、$d_2\sigma=g$、$d_0\sigma=P(e)$、$d_1\sigma=\mathrm{id}_{P(x')}$ となる $2$ 単体 $\sigma$ が $Y$ にある。$X$ の右ホーン $\Lambda^2_2$ を、$d_0=e$（頂点 $1,2$）、$d_1=\mathrm{id}_{x'}$（頂点 $0,2$）で定めると、共有する頂点 $2$ はどちらも $x'$ であり、その像は $\sigma$ の面 $d_0\sigma$、$d_1\sigma$ に一致する。$P$ は右ファイブレーションなので $\sigma$ の上の $2$ 単体 $\tau$ があり、$\tilde g:=d_2\tau\colon x'\to x$ は $P(\tilde g)=g$ と $[e]\circ[\tilde g]=[\mathrm{id}_{x'}]$ を満たす。つまり $[e]$ は右逆 $[\tilde g]$ をもつ。
$P(\tilde g)=g$ も $Y$ の同値なので、同じ議論を $\tilde g$ に使うと、$[\tilde g]$ も右逆 $[k]$ をもつ。$[\tilde g]$ は左逆 $[e]$ と右逆 $[k]$ をもつので同型であり、$[e]=[e][\tilde g][k]=[k]$ はその逆である。よって $e$ は同値である。$\square$

$e$ の逆の類の代表 $g\colon y\to P(x)$ をとる。$[g]\circ[e]=[\mathrm{id}_{P(x)}]$ なので、lem-joyal-witness により $d_2\sigma=e$、$d_0\sigma=g$、$d_1\sigma=\mathrm{id}_{P(x)}$ となる $2$ 単体 $\sigma$ がある。右ホーン $\Lambda^1_1=\{1\}\subset\Delta^1$ に対する持ち上げにより、$x$ を終点とし $g$ の上にある辺 $\tilde g\colon x'\to x$ がある。$X$ の右ホーン $\Lambda^2_2$ を $d_0=\tilde g$、$d_1=\mathrm{id}_x$ で定めると、これは $\sigma$ の面の上にあるので、$\sigma$ の上の $2$ 単体 $\tau$ に延びる。$\tilde e:=d_2\tau$ は $x$ から $x'$ への辺で、$P(\tilde e)=d_2\sigma=e$ である。$\square$

同値なら延びること。 $n\ge2$ とし、$u\colon\Lambda^n_0\to C$ は辺 $\{0,1\}$ を同値 $f$ に送るとする。$\Delta^n=\Delta^{\{0,1\}}\star L$、$L:=\Delta^{\{2,\ldots,n\}}\cong\Delta^{n-2}$ と分ける（結(単体的集合) の命題「結の基本性質」の 1）。同じ記事の定理「境界とホーンの結」の 3（$m=1$、$i=0$、$\Lambda^1_0=\{0\}$、$\partial\Delta^0=\emptyset$）により
$$ \Lambda^n_0=(\{0\}\star L)\cup(\Delta^{\{0,1\}}\star\partial L) $$
である。$q:=u|_L$、$q':=q|_{\partial L}$ とおく（$n=2$ なら $\partial L=\emptyset$ で、$C_{/q'}=C$）。スライスの対応により、

• $u|_{\{0\}\star L}$ は $C_{/q}$ の頂点 $a$ であり、
• $u|_{\Delta^{\{0,1\}}\star\partial L}$ は $C_{/q'}$ の辺 $\varphi$ であり、
• 制限 $\rho\colon C_{/q}\to C_{/q'}$ は $a$ を $\varphi$ の始点 $u|_{\{0\}\star\partial L}$ に送る。
  $\Delta^n=\Delta^{\{0,1\}}\star L$ から $C$ への写像で $L$ 上で $q$ のものは $C_{/q}$ の辺であり、その始点は $\{0\}\star L$ への制限、$\rho$ による像は $\Delta^{\{0,1\}}\star\partial L$ への制限である。よって $u$ の延長は、$a$ を始点とし $\rho(\tilde a)=\varphi$ となる $C_{/q}$ の辺 $\tilde a$ と同じものである。
  射影 $\pi\colon C_{/q'}\to C$ は右ファイブレーションで、$C_{/q'}$ は準圏である（lem-joyal-slice、$K'=\emptyset$）。$\pi(\varphi)=u|_{\Delta^{\{0,1\}}}=f$ は同値なので、lem-joyal-conservative により $\varphi$ は $C_{/q'}$ の同値である。$\rho$ も右ファイブレーションで（lem-joyal-slice、$K'=\partial L\subset K=L$）、$C_{/q}$ は準圏である。lem-joyal-lift を $P=\rho$、$x=a$、$e=\varphi$ に使えば $\tilde a$ が得られる。

延びるなら同値であること。 $\Lambda^2_0$ を辺 $\{0,1\}=f$、$\{0,2\}=\mathrm{id}_x$ で定めて延ばすと、$d_2\sigma=f$、$d_1\sigma=\mathrm{id}_x$ となる $2$ 単体 $\sigma$ が得られ、$\psi:=d_0\sigma\colon y\to x$ は $[\psi][f]=[\mathrm{id}_x]$ を満たす。次に頂点を $x,y,x,y$ に送る $\Lambda^3_0$ を、面 $d_3=\sigma$（頂点 $0,1,2$）、$d_2=s_1f$（頂点 $0,1,3$。辺は $f,\mathrm{id}_y,f$）、$d_1=s_0f$（頂点 $0,2,3$。辺は $\mathrm{id}_x,f,f$）で定める。共有する辺は $\{0,1\}=f$、$\{0,2\}=\mathrm{id}_x$、$\{0,3\}=f$ で一致し、辺 $\{0,1\}$ は $f$ である。延長した $3$ 単体の面 $d_0$（頂点 $1,2,3$）は辺 $\{1,2\}=\psi$、$\{2,3\}=f$、$\{1,3\}=\mathrm{id}_y$ をもつので $[f][\psi]=[\mathrm{id}_y]$ である。よって $[f]$ は同型である。$\square$

(iv) ⇒ (ii)、(iii) は明らかである。
(i) ⇒ (ii)：内側のホーンは $C$ が準圏なので埋まる。$\Lambda^n_0$ の辺 $\{0,1\}$ の像は同値なので、thm-joyal-lifting により埋まる。
(ii) ⇒ (i)：任意の辺 $f$ について、辺 $\{0,1\}$ を $f$ に送るホーン $\Lambda^n_0$ はすべて埋まるので、thm-joyal-lifting により $f$ は同値である。
(i) ⇔ (iii)：反対単体的集合 $C^{\mathrm{op}}$（頂点の順序を逆にしたもの）は準圏であり、$[n]$ の順序の反転 $r\mapsto n-r$ は $\Lambda^n_k$ を $\Lambda^n_{n-k}$ に移すので、$C$ の (iii) は $C^{\mathrm{op}}$ の (ii) と同じである。ホモトピー圏は辺を生成元、$2$ 単体ごとの関係 $[d_1\sigma]=[d_0\sigma]\circ[d_2\sigma]$ で表示できるので（∞圏のホモトピー圏 の命題「生成元と関係による基本圏との一致」）、$h(C^{\mathrm{op}})\cong(hC)^{\mathrm{op}}$ である。亜群の反対圏は亜群なので、$C^{\mathrm{op}}$ に (i) ⇔ (ii) を使えばよい。
(ii) かつ (iii) ⇒ (iv)：すべてのホーンは $k< n$ か $k>0$ のどちらかを満たす。$\square$

単体の辺は面の辺であり、退化した辺は恒等射なので、$C^{\simeq}$ は部分単体的集合である。
準圏であること：内側のホーン $\Lambda^n_k\to C^{\simeq}$ を $C$ の中で埋めた $n$ 単体 $\sigma$ をとる。$n\ge3$ なら $\Delta^n$ のすべての辺はホーンに含まれる（辺 $\{a,b\}$ の外の頂点は $2$ つ以上あり、そのうち $k$ でないもの $j$ について面 $d_j$ が辺を含む）。$n=2$ では、足りない辺 $d_1\sigma$ の類は同値どうしの合成 $[d_0\sigma][d_2\sigma]$ なので同値である。どちらでも $\sigma\in C^{\simeq}$ である。
ホモトピー圏が亜群であること：$C^{\simeq}$ の辺 $f\colon x\to y$ は $C$ の同値なので、逆の代表 $g\colon y\to x$ がある。$g$ の類は同型なので $g$ も同値である。lem-joyal-witness により、$d_2\sigma=f$、$d_0\sigma=g$、$d_1\sigma=\mathrm{id}_x$ となる $2$ 単体と、$f$ と $g$ を入れ替えたものが $C$ にあり、その辺はすべて同値なので $C^{\simeq}$ に入る。よって $C^{\simeq}$ の中でも $[g][f]=[\mathrm{id}_x]$、$[f][g]=[\mathrm{id}_y]$ である。thm-joyal-main により $C^{\simeq}$ は Kan 複体である。$\square$