簡約群

同義語：簡約代数群reductive groupreductive algebraic group

概要

簡約群（reductive group）とは、体 $k$ 上の連結な線型代数群で、代数的閉包の上で連結な冪単正規部分群が自明なもののことである。$\bar k$ 上で半単純になる忠実表現をもつ連結な群は簡約群であり、これから一般線形群、特殊線形群、代数的トーラスが簡約群であることが従い、上三角行列の群や加法群は簡約群でない。分裂する簡約群は、極大トーラスの指標とルート・コルートからなるルートデータによって体によらず分類され、$SL_2$ と $PGL_2$ はルート系は同じでもルートデータで区別される。$p$ 進体上の四元数斜体から作る $SL_1(D)$ は、代数閉包の上では $SL_2$ と同型だが分裂せず、$\mathbb{Q}_p$ 点の群はコンパクトである。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 代数群, 代数的トーラス, Borel部分群

一般線形群 $GL_n$、特殊線形群 $SL_n$、シンプレクティック群、特殊直交群、代数的トーラスは、どれも「冪単な正規部分群をもたない連結な線型代数群」である。これを簡約群という。上三角行列の群のように冪単な正規部分群をもつ群も、代数閉体の上では最大の連結冪単正規部分群で割ると簡約群になり、線型代数群の構造論では簡約群が中心的な役割を果たす。代数閉体の上でも、$\mathbb{Q}_p$ のような体の上でも定義は同じで、分裂する簡約群はルートデータという組合せ的な不変量で完全に分類される。一方、分裂しない簡約群は体ごとに異なる姿をとり、$p$ 進体の上では、群の $\mathbb{Q}_p$ 点の全体がコンパクトになる例がある。この記事では、簡約群を定義し、半単純な忠実表現をもつ連結な群が簡約群であることを証明して古典群に当てはめ、ルートデータによる分類を述べ、$\mathbb{Q}_p$ 上の四元数環から分裂しない簡約群を作る。有限体の上の Frobenius 写像で固定される点の有限群は 有限簡約群、連結可解な部分群の理論は Borel部分群 の記事で扱う。

定義

以下、$k$ を体、$\bar k$ をその代数的閉包とする。代数群 の記事の言葉で、$k$ 上の滑らかなアフィン代数群を線型代数群と呼ぶ。$\bar k$ 上では Borel部分群 の記事と同じく、線型代数群を $\bar k$ 点の群と同一視し、ある $GL_n(\bar k)$ の Zariski 閉部分群（Zariski位相）として扱う。$k$ 上の線型代数群 $G$ について、$G_{\bar k}:=G\times_k\bar k$ と書く。
$g\in GL_n(\bar k)$ が冪単であるとは $g-1$ が冪零であることをいう。冪単な元の固有値はすべて $1$ である。$\bar k$ 上の線型代数群 $G\subset GL_n(\bar k)$ の部分群が冪単な元だけからなるとき、その部分群は冪単であるという。この性質は $G$ の忠実表現のとり方によらない（MilAG Corollary 15.12、p. 254）。

冪単根基と簡約群
  1. $\bar k$ 上の連結な線型代数群 $G$ の、連結で冪単な正規閉部分群のうち最大のものを $G$ の冪単根基といい、$R_u(G)$ と書く（存在は MilAG 8.41、p. 136）。
  2. $k$ 上の連結な線型代数群 $G$ が簡約群（reductive group）であるとは、$R_u(G_{\bar k})=\{1\}$ であることをいう。

定義から、$G$ が簡約群であることと、ある（したがって任意の）拡大体 $k'\supset k$ について $G_{k'}$ が簡約群であることは同値である（MilAG 22.14、p. 383）。$k=\bar k$ のとき $G/R_u(G)$ は簡約群になる（同 8.41）。

定義の流儀
  1. 連結性を定義に含めない流儀もある（MilAG 22.13、p. 383）。この記事では簡約群はつねに連結とする。
  2. $k$ が完全体なら、$G$ が簡約群であることは $k$ 上で $R_u(G)=\{1\}$ となることと同値である（同 22.15、p. 383）。完全体でない $k$ では、$k$ 上の冪単根基が自明でも $R_u(G_{\bar k})$ が自明でない連結な群がある（同 Example 8.43、p. 136。$k$ 上の冪単根基が自明な連結な群を擬簡約群といい、簡約群でない擬簡約群がこのように存在する）。
  3. 底のスキーム $S$ の上の簡約群スキームは、$S$ 上滑らかなアフィン群スキームで、各幾何的ファイバーが連結な簡約群であるものとして定義される（同 22.26、p. 384）。

主定理：半単純な忠実表現をもつ群

群 $G$ がベクトル空間 $V$ に線型に作用するとき、$G$ で保たれる部分空間 $W\neq0$ で、$0$ と $W$ 以外に $G$ で保たれる部分空間を含まないものを既約という。$V$ が既約な部分空間の直和に分かれるとき、$V$ は $G$ の表現として半単純であるという。

Kolchin の定理

$V$ を $\bar k$ 上の 0 でない有限次元ベクトル空間、$U\subset GL(V)$ を冪単な元だけからなる部分群（閉とは限らない）とする。このとき $U$ のすべての元で固定される 0 でないベクトルがある。

$U$ で保たれる 0 でない部分空間のうち次元が最小のもの $W$ をとり、$U$ が $W$ に自明に作用することを示せばよい。$W$ は $U$ の作用について既約であり、$U$ の元の $W$ への制限は冪単である（制限の特性多項式は $V$ 上の特性多項式 $(T-1)^{\dim V}$ を割り切る）。$U$ が張る $\operatorname{End}(W)$ の部分代数を $\mathcal{B}$ とすると、$\bar k$ が代数閉体で $W$ が既約なので $\mathcal{B}=\operatorname{End}(W)$ である（Burnside の定理。MilAG Proposition 15.1（p. 251）の証明では、Schur の補題と二重中心化定理からこれを導いている。この記事では証明しない）。$u,u'\in U$ について $u'u$ と $u'$ はどちらも冪単なので、跡はともに $d:=\dim W$ であり、
$$ \operatorname{tr}\bigl(u'(u-1)\bigr)=\operatorname{tr}(u'u)-\operatorname{tr}(u')=d-d=0 $$
である。$u'$ が張る空間は $\operatorname{End}(W)$ 全体なので、すべての $x\in\operatorname{End}(W)$ について $\operatorname{tr}(x(u-1))=0$ である。$x$ として行列単位をとれば $u-1$ の各成分が $0$ と分かり、$u=1$ である。$\square$

半単純な忠実表現をもつ連結な群は簡約群
  1. $V$ を $\bar k$ 上の有限次元ベクトル空間、$G\subset GL(V)$ を部分群とし、$V$ が $G$ の表現として半単純であるとする。このとき、冪単な元だけからなる $G$ の正規部分群は $\{1\}$ だけである。
  2. $G$ を $k$ 上の連結な線型代数群、$\rho\colon G\to GL(V)$ を忠実な表現とし、$V\otimes_k\bar k$ が $G(\bar k)$ の表現として半単純であるとする。このとき $G$ は簡約群である。
  1. $V=W_1\oplus\cdots\oplus W_r$ を既約な部分空間への分解とし、$N$ を冪単な元だけからなる正規部分群とする。$W_j^N:=\{w\in W_j\mid nw=w\ (n\in N)\}$ とおく。$g\in G$、$w\in W_j^N$、$n\in N$ について、$g^{-1}ng\in N$ なので
    $$ n(gw)=g\,(g^{-1}ng)\,w=gw $$
    であり、$gw\in W_j$ だから $gw\in W_j^N$ である。よって $W_j^N$ は $G$ で保たれる。$W_j$ は $G$ で、したがって $N$ で保たれる 0 でない部分空間なので、lem-reductive-kolchin（$N$ の $W_j$ への制限は冪単な元からなる）により $W_j^N\neq0$ である。$W_j$ は既約なので $W_j^N=W_j$ となる。これがすべての $j$ で成り立つので $N$ は $V$ に自明に作用し、$N\subset GL(V)$ だから $N=\{1\}$ である。
  2. $\rho$ は忠実なので、$G_{\bar k}$ を $GL(V\otimes_k\bar k)$ の閉部分群とみなせる。$R_u(G_{\bar k})$ は冪単な元だけからなる正規部分群なので、1 により $\{1\}$ である。$\square$

この定理は MilAG Proposition 22.18・Corollary 22.19・22.20（p. 383）にある。逆は標数 0 では成り立ち、簡約群のすべての表現は半単純である（同 22.20 の直後の注意、p. 384。この記事では証明しない）。正標数では逆は成り立たず、たとえば標数 2 の $SL_2$ には半単純でない 3 次元表現がある（同 Example 14.51、p. 241）。

古典群とトーラスは簡約群
  1. $GL_n$（$n\ge1$）：$\{\det\neq0\}$ は $n^2$ 次元アフィン空間の空でない開集合なので既約、とくに連結である。標準表現 $\bar k^n$ では、$GL_n(\bar k)$ は $\bar k^n\setminus\{0\}$ に推移的に作用する。$GL_n(\bar k)$ で保たれる部分空間 $W\neq0$ は 0 でないベクトル $v$ を含み、その軌道 $\bar k^n\setminus\{0\}$ も含むので $W=\bar k^n$ であり、標準表現は既約である。thm-reductive-semisimple-criterion により $GL_n$ は簡約群である。
  2. $SL_n$（$n\ge2$）：0 でない $v$ を基底 $v,v_2,\dots,v_n$ に延ばし、$v_n$ を定数倍して行列式を $1$ にすれば、$e_1$ を $v$ に写す $SL_n(\bar k)$ の元が得られる。よって 1 と同じく標準表現は既約である。$SL_n$ が連結であることは MilAG 22.21（p. 384）に述べられている（この記事では証明しない）。
  3. シンプレクティック群 $Sp_{2n}$ と、標数が 2 でない体の上の特殊直交群 $SO_n$（$n\ge3$）も、連結で標準表現が既約なので簡約群である（MilAG 22.21。この記事では証明しない）。
  4. 代数的トーラス $T$：$T_{\bar k}\cong\mathbb{G}_m^r$ は対角行列の群として $\bar k^r$ に忠実に作用し、$\bar k^r$ は 1 次元の部分空間 $\bar ke_i$ の直和なので半単純である。よって $T$ は簡約群である。
簡約群でない群
  1. 上三角行列の群 $B_n$（$n\ge2$）は、対角成分が $1$ の上三角行列の群 $U_n$ を連結で冪単な正規部分群として含むので、簡約群でない（有限簡約群 の例「$GL_n$ は簡約群で、$B_n$ は簡約群でない」）。$B_n/U_n$ は対角行列の群で、簡約群である。
  2. 加法群 $\mathbb{G}_a$ は $t\mapsto\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}$ で $U_2$ と同型であり、それ自身が冪単なので $R_u(\mathbb{G}_a)=\mathbb{G}_a$ である。この表現 $\bar k^2$ で保たれる直線は $\bar ke_1$ だけなので、$\bar k^2$ は半単純でない。thm-reductive-semisimple-criterion の「半単純」は外せない。

分裂簡約群とルートデータ

$k$ 上の代数的トーラス $T$ で $\mathbb{G}_m^r$ と $k$ 上同型なものを分裂トーラスという。$T$ の指標の群を $X^*(T)=\operatorname{Hom}(T,\mathbb{G}_m)$、余指標の群を $X_*(T)=\operatorname{Hom}(\mathbb{G}_m,T)$ と書く。どちらも階数 $r$ の自由 Abel 群で、$\chi\circ\lambda\colon\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_m$ が $t\mapsto t^{\langle\chi,\lambda\rangle}$ となる整数 $\langle\chi,\lambda\rangle$ によって互いに双対である（代数的トーラス の命題「分裂トーラスの指標と準同型」）。
簡約群 $G$ が、極大トーラスでありかつ分裂トーラスである $T$ を含むとき、$(G,T)$ を分裂簡約群という（MilAG Definition 22.30、p. 385）。分離閉体の上の簡約群はつねに分裂する（同 p. 385）。$T$ は随伴表現で $G$ の Lie代数 $\mathfrak{g}$ に作用し、分裂トーラスの表現は指標ごとの固有空間に分かれるので（同 Theorem 14.12、p. 229）
$$ \mathfrak{g}=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Phi}\mathfrak{g}_\alpha,\qquad\mathfrak{g}_\alpha:=\{X\in\mathfrak{g}\mid\operatorname{Ad}(t)X=\alpha(t)X\} $$
となる。ここで $\mathfrak{t}$ は $T$ の Lie 代数、$\Phi=\Phi(G,T)\subset X^*(T)$ は現れる 0 でない指標の集合で、その元を $(G,T)$ のルートという（同 p. 386）。

ルートデータ

ルートデータとは、四つ組 $(X,\Phi,X^\vee,\Phi^\vee)$ であって、$X,X^\vee$ は有限階数の自由 Abel 群で完全なペアリング $\langle\ ,\ \rangle\colon X\times X^\vee\to\mathbb{Z}$ で互いに双対であり、$\Phi\subset X$、$\Phi^\vee\subset X^\vee$ は有限集合で全単射 $\alpha\mapsto\alpha^\vee$ が与えられ、次をみたすものをいう。

  1. $\langle\alpha,\alpha^\vee\rangle=2$。
  2. $s_\alpha(x):=x-\langle x,\alpha^\vee\rangle\alpha$ と $s_{\alpha^\vee}(y):=y-\langle\alpha,y\rangle\alpha^\vee$ について $s_\alpha(\Phi)\subset\Phi$、$s_{\alpha^\vee}(\Phi^\vee)\subset\Phi^\vee$。
    $\alpha\in\Phi$ の倍数で $\Phi$ に属するものが $\pm\alpha$ だけのとき、ルートデータは被約であるという。二つのルートデータの同型とは、$X$ の同型でペアリングの双対を通して $\Phi$ と $\Phi^\vee$ を対応させるものである。

この定義は MilAG Definition 23.1（p. 431）による。$\Phi$ が張る $X\otimes\mathbb{Q}$ の部分空間の中で $\Phi$ はルート系になる（この記事では証明しない）。分裂簡約群 $(G,T)$ の各ルート $\alpha$ について、$\operatorname{Ker}\alpha$ の単位元成分の中心化群 $G_\alpha$ の Weyl 群（Weyl群）は位数 $2$ で、その非自明な元 $s$ について $s(x)=x-\langle x,\alpha^\vee\rangle\alpha$（$x\in X^*(T)$）をみたす $\alpha^\vee\in X_*(T)$ がただ一つある。これをコルートといい、$(X^*(T),\Phi,X_*(T),\Phi^\vee)$ は被約なルートデータになる（同 Theorem 22.43 (e)・Theorem 22.44、pp. 391–392。この記事では証明しない）。これを $(G,T)$ のルートデータという。

$GL_n$ のルートデータ

$T\subset GL_n$ を対角行列の群とし、$e_i\in X^*(T)$ を $\operatorname{diag}(t_1,\dots,t_n)\mapsto t_i$、$e_i^*\in X_*(T)$ を $x\mapsto\operatorname{diag}(1,\dots,x,\dots,1)$（$i$ 番目が $x$）とする。$\mathfrak{g}=M_n$ で、行列単位 $E_{ij}$ について
$$ \operatorname{Ad}(t)E_{ij}=tE_{ij}t^{-1}=t_it_j^{-1}E_{ij} $$
なので、ルートは $e_i-e_j$（$i\neq j$）、ルート空間は $kE_{ij}$ である。$e_i-e_j$ に対応する Weyl 群の元は互換 $(i\ j)$ で、$e_i$ と $e_j$ を入れ替える。$x-\langle x,e_i^*-e_j^*\rangle(e_i-e_j)$ も $e_i$ と $e_j$ を入れ替えて他の $e_l$ を固定するので、コルートは $e_i^*-e_j^*$ である（MilAG Example 22.45、p. 392）。ルート系は $A_{n-1}$ 型である（ルート系 の例「$A_{n-1}$ 型」）。

$SL_2$ と $PGL_2$
  1. $SL_2$ で $T=\{\operatorname{diag}(t,t^{-1})\}$、$\chi\colon\operatorname{diag}(t,t^{-1})\mapsto t$ とすると $X^*(T)=\mathbb{Z}\chi$ である。$\operatorname{Ad}(\operatorname{diag}(t,t^{-1}))E_{12}=t^2E_{12}$ なので $\Phi=\{\pm2\chi\}$ である。Weyl 群の元 $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ は $T$ に逆元をとる写像として作用し、$X^*(T)$ に $x\mapsto-x$ と作用する。$-\chi=\chi-\langle\chi,\alpha^\vee\rangle\cdot2\chi$ から $\langle\chi,\alpha^\vee\rangle=1$ である。
  2. $PGL_2=GL_2/\mathbb{G}_m$ で $T$ を対角行列の像とすると、$\operatorname{diag}(a,b)$ の像は $\operatorname{diag}(a/b,1)$ の像に等しく、$\chi'\colon\operatorname{diag}(t,1)\mapsto t$ で $X^*(T)=\mathbb{Z}\chi'$ である。$\operatorname{Ad}(\operatorname{diag}(t,1))E_{12}=tE_{12}$ なので $\Phi=\{\pm\chi'\}$ で、1 と同様に $-\chi'=\chi'-\langle\chi',\alpha^\vee\rangle\chi'$ から $\langle\chi',\alpha^\vee\rangle=2$ である。
    $X^*(T)\cong\mathbb{Z}$ と同一視すると、ルートデータは $SL_2$ では $(\mathbb{Z},\{\pm2\},\mathbb{Z},\{\pm1\})$、$PGL_2$ では $(\mathbb{Z},\{\pm1\},\mathbb{Z},\{\pm2\})$ である。$\mathbb{Z}$ の自己同型は $\pm1$ 倍だけで $\{\pm2\}$ を $\{\pm1\}$ に写さないので、二つは同型でない。ルート系はどちらも $A_1$ 型で、ルート系だけでは二つの群を区別できない。
分裂簡約群の分類（引用）

$k$ を任意の体とする。

  1. （同型定理）分裂簡約群 $(G,T)$、$(G',T')$ の間の同型はルートデータの同型を定め、ルートデータの任意の同型はこうして得られる。とくにルートデータが同型な分裂簡約群は同型である。
  2. （存在定理）任意の被約なルートデータは、$k$ 上のある分裂簡約群のルートデータである。
分類の所在

この記事では証明しない。1 は MilAG Theorem 22.94（p. 410）、2 は同 22.50（p. 393）による。Milne は同型定理の証明に Steinberg の方法を用い、Chevalley による半単純群の場合の証明に言及している（同 p. 410–411 の注）。この定理から、分裂簡約群の同型類は体 $k$ によらず被約なルートデータの同型類と一対一に対応する。たとえば $SL_2$ と $PGL_2$ は、分裂する極大トーラスがどれも $G(k)$ の元で共役であること（同 22.23、p. 384）と ex-reductive-sl2-pgl2 により、任意の体の上で同型でない。$k=\mathbb{Q}_p$ の上でも、分裂する簡約群は $GL_n$、$SL_n$、$Sp_{2n}$ などと同じルートデータの言葉で尽くされる。

分裂しない簡約群：$p$ 進体上の例

$k$ 上の簡約群 $G$ は $k$ の分離閉包の上では分裂するが、$k$ の上で分裂するとは限らない。$k$ 上の分裂トーラスで $G$ に含まれるもののうち極大なものは互いに共役で、その次元を $G$ の $k$ 階数という。$G$ が分裂することは $k$ 階数が $\bar k$ 上の極大トーラスの次元に等しいことと同値である（MilAG p. 385 の脚注 2）。$k$ 階数が $0$ の簡約群を非等方的という。$p$ 進体の上の四元数環から、$SL_2$ と $\bar{\mathbb{Q}}_p$ 上では同型だが $\mathbb{Q}_p$ 上では非等方的な簡約群が作れる。
以下、$p$ を奇素数、$u\in\mathbb{Z}_p^\times$ をその $\mathbb{F}_p$ での像が平方元でないものとし、四元数環 $D:=(u,p)_{\mathbb{Q}_p}$（基底 $1,i,j,k$、$i^2=u$、$j^2=p$、$ij=-ji=k$）を考える。被約ノルムは $\operatorname{nrd}(x)=x_0^2-ux_1^2-px_2^2+upx_3^2$（$x=x_0+x_1i+x_2j+x_3k$）である。$\mathbb{Q}_p$ 代数 $R$ に対し
$$ G(R):=\{x\in D\otimes_{\mathbb{Q}_p}R\mid\operatorname{nrd}(x)=1\} $$
とおくと、$G$ は左からの積 $x\mapsto(y\mapsto xy)$ によって $GL(D)\cong GL_4$ の閉部分群になる線型代数群である。これを $SL_1(D)$ と書く。

$\mathbb{Q}_p$ 上の非等方的な簡約群
  1. $D$ は斜体である。
  2. $K:=\mathbb{Q}_p(\sqrt u)$ とすると、$K$ 上の同型 $G_K\cong SL_{2,K}$ がある。とくに $G$ は簡約群である。
  3. $G(\mathbb{Q}_p)$ の冪単な元は $1$ だけである。
  4. $G(\mathbb{Q}_p)$ は $\mathcal{O}:=\mathbb{Z}_p+\mathbb{Z}_pi+\mathbb{Z}_pj+\mathbb{Z}_pk$ に含まれ、コンパクトである。
  5. $G$ は $\mathbb{G}_m$ と $\mathbb{Q}_p$ 上同型な部分群を含まない。とくに $G$ は非等方的で分裂せず、$\mathbb{Q}_p$ 上 $SL_2$ と同型でない。

要点：被約ノルムの $p$ 進付値が偶数と奇数の部分に分かれることから 1 と 4 を、$\sqrt u$ を添加した体で行列に実現して 2 を、斜体に冪零元がないことから 3 を、$\mathbb{G}_m$ の固有ベクトルが $\mathcal{O}$ からはみ出すことから 5 を得る。

詳しい証明を開く

$v$ を $p$ 進付値（$v(0)=\infty$）とする。補題：$a,b\in\mathbb{Q}_p$ について $v(a^2-ub^2)=2\min(v(a),v(b))$。実際、$(a,b)\neq(0,0)$ なら $m:=\min(v(a),v(b))$ として $a=p^ma'$、$b=p^mb'$（$a',b'\in\mathbb{Z}_p$ の一方は単元）と書く。$b'$ が単元で $a'^2-ub'^2\equiv0\pmod p$ なら $u\equiv(a'/b')^2$ となり $u$ の選び方に反し、$b'\in p\mathbb{Z}_p$ なら $a'$ は単元で $a'^2-ub'^2\equiv a'^2\not\equiv0$ である。よって $a'^2-ub'^2$ は単元である。

1 と 4。 $N_1:=x_0^2-ux_1^2$、$N_2:=x_2^2-ux_3^2$ とおくと $\operatorname{nrd}(x)=N_1-pN_2$ で、補題により $v(N_1)$ は偶数か $\infty$、$v(pN_2)$ は奇数か $\infty$ である。$x\neq0$ なら二つのうち少なくとも一方は有限で、両者は異なるので $v(\operatorname{nrd}(x))=\min(v(N_1),v(pN_2))<\infty$、すなわち $\operatorname{nrd}(x)\neq0$ である。四元数環 の命題「共役と被約ノルムの基本性質」の 5 により $x$ は可逆で、$D$ は斜体である。$\operatorname{nrd}(x)=1$ なら $0=\min(v(N_1),v(pN_2))$ なので $2\min(v(x_0),v(x_1))\ge0$、$1+2\min(v(x_2),v(x_3))\ge0$ であり、すべての $x_i$ が $\mathbb{Z}_p$ に属する。$G(\mathbb{Q}_p)$ は $\mathcal{O}\cong\mathbb{Z}_p^4$ の閉集合なのでコンパクトである。

2。 $s:=\sqrt u\in K$ とし、$I:=\begin{pmatrix}s&0\\0&-s\end{pmatrix}$、$J:=\begin{pmatrix}0&p\\1&0\end{pmatrix}$ とおくと $I^2=u$、$J^2=p$、$IJ=-JI$ である。四元数環 の補題「関係式を満たす元からの準同型」により $K$ 代数の準同型 $\phi\colon D\otimes K\to M_2(K)$ が定まり、$E_{11}=\tfrac12(1+I/s)$、$E_{22}=\tfrac12(1-I/s)$、$E_{12}=\tfrac1{2p}(J+IJ/s)$、$E_{21}=\tfrac12(J-IJ/s)$ なので $1,I,J,IJ$ は $M_2(K)$ を張り、$\phi$ は同型である。$IJ=\begin{pmatrix}0&sp\\-s&0\end{pmatrix}$ だから$$\phi(x)=\begin{pmatrix}x_0+sx_1&p(x_2+sx_3)\\x_2-sx_3&x_0-sx_1\end{pmatrix},\qquad\det\phi(x)=x_0^2-ux_1^2-p(x_2^2-ux_3^2)=\operatorname{nrd}(x)$$である。同じ式は任意の $K$ 代数 $R$ の上で $D\otimes R\cong M_2(R)$ を与え、$\operatorname{nrd}=1$ と $\det=1$ を対応させるので、$G_K\cong SL_{2,K}$ である。$SL_2$ は連結な簡約群（ex-reductive-classical の 2）で、射影 $G_K\to G$ は全射な連続写像なので $G$ も連結である。滑らかさと簡約性は体の拡大で判定できるので（簡約性は MilAG 22.14）、$G$ は簡約群である。

3。 $x\in G(\mathbb{Q}_p)$ が冪単なら、左からの積 $y\mapsto(x-1)y$ が冪零なので $(x-1)^m=0$ となる $m$ がある。$D$ は斜体なので $x-1=0$ である。

5。 単射な準同型 $\lambda\colon\mathbb{G}_m\to G$ があったとする。忠実な表現 $G\subset GL(D)$ と合成すると $\mathbb{G}_m$ の表現になり、分裂トーラスの表現なので $D=\bigoplus_{m\in\mathbb{Z}}D_m$（$\lambda(t)$ は $D_m$ に $t^m$ 倍で作用する）と分かれる（MilAG Theorem 14.12、p. 229）。$\lambda$ は単射なので $m\neq0$ かつ $D_m\neq0$ となる $m$ がある。$v\in D_m$ を、座標がすべて $\mathbb{Z}_p$ に属し少なくとも一つが単元になるようにとる。$t:=p^{-N}$（$m>0$ のとき）または $t:=p^N$（$m<0$ のとき）とおくと、4 により $\lambda(t)\in\mathcal{O}$ であり、$\mathcal{O}$ は積で閉じている（$i^2=u$、$j^2=p$、$k^2=-up$、$ik=uj$、$jk=-pi$ などの係数がすべて $\mathbb{Z}_p$ に属する）ので $\lambda(t)v\in\mathcal{O}$ である。一方 $\lambda(t)v=p^{-N|m|}v$ は $N\ge1$ のとき単元の座標を $p^{-N|m|}$ 倍したものを含み、$\mathcal{O}$ に属さない。これは矛盾である。$G_{\bar{\mathbb{Q}}_p}\cong SL_2$ の極大トーラスは 1 次元なので、$G$ が分裂するなら $\mathbb{G}_m$ と同型な部分群を含むはずであり、$G$ は分裂しない。$SL_2$ は対角行列の部分群 $\mathbb{G}_m$ を含むので、$G\not\cong SL_2$ である。$\square$

$SL_2(\mathbb{Q}_p)$ は $\operatorname{diag}(p^{-N},p^N)$ のように成分がいくらでも大きい元を含むのでコンパクトでなく、上三角な冪単行列も含む。$G=SL_1(D)$ はその「ねじれた形」で、$\mathbb{Q}_p$ 点の群の性質がまったく異なる。一般の半単純群を $k$ 上で分類するには、分離閉包の上のルートデータに加えて、$k$ 上の極大分裂トーラスの位置を記録する指数（index）と、その中心化群の導来群である非等方核（anisotropic kernel）を調べる。これが Satake と Tits の方法である（MilAG 第 26 章 b 節、p. 465。この記事では扱わない）。

条件を外したときの反例

thm-reductive-semisimple-criterion の 2 の仮定のうち、半単純と忠実を一つずつ外す（連結は簡約群の定義に含まれる）。

外す条件反例成り立たなくなること
表現が半単純$\mathbb{G}_a\cong U_2\subset GL_2$$G$ は簡約群でない（ex-reductive-non-examples の 2）
表現が忠実$B_2$ と表現 $\det\colon B_2\to GL_1$$G$ は簡約群でない（ex-reductive-non-examples の 1）

1 行目では $\mathbb{G}_a$ は連結で、$U_2\subset GL_2$ は忠実な表現である。2 行目では $B_2$ は連結で（$GL_2$ の $\{a_{21}=0\}$ の部分で、$\mathbb{G}_m^2\times\mathbb{G}_a$ と多様体として同型）、1 次元の表現 $\det$ は既約なので半単純だが、核 $\{\det=1\}\cap B_2$ が自明でないので忠実でない。

補足

  • 構造論との関係：簡約群の Borel 部分群（Borel部分群）と極大トーラスの正規化群は Tits 系をなし（Tits系、BN対）、Bruhat 分解（Bruhat分解）が成り立つ。分裂する半単純な簡約群の $k$ 点の群は Chevalley群 と関係し、有限体 $\mathbb{F}_q$ の代数閉包の上の簡約群の Frobenius 固定点として 有限簡約群 が得られる。
  • $p$ 進体と建物：$p$ 進体上の簡約群には建物（建物）が付随し、そのアパートメントとしてアフィン Weyl 群の Coxeter 複体が現れる（Coxeter複体 の注意「球体型の出典」。この記事では扱わない）。

関連項目

参考文献

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