Cantor立方体

1：$[\varphi]=\bigcap_{s\in F}\pi_s^{-1}(\varphi(s))$ は有限個の開集合の共通部分なので開である。$F$ 上の写像 $\psi\ne\varphi$ は有限個しかなく、$D^S\setminus[\varphi]=\bigcup_{\psi\ne\varphi}[\psi]$ なので、補集合も開であり、$[\varphi]$ は閉である。直積位相の開基は、有限個の座標 $s\in F$ で開集合 $U_s\subset D$ を指定し、残りの座標を $D$ とした集合 $\{x\mid x_s\in U_s\ (s\in F)\}$ の全体である（直積位相 の命題「直積位相の開基」）。$U_s$ は $D$ の点の和集合なので、この集合は $\varphi(s)\in U_s$ となる $\varphi\colon F\to D$ にわたる $[\varphi]$ の和集合である。よって筒集合の全体も開基である。
2：$D$ はコンパクト Hausdorff なので、直積 $D^S$ は Tychonoffの定理 によりコンパクトで、Hausdorff 空間の直積として Hausdorff である。1 により 0 次元である。
3：$\tau_a$ の各座標 $x\mapsto x_s+a_s$ は $\pi_s$ と $D$ の置換の合成なので連続であり、直積位相 の定理「直積位相の普遍性」により $\tau_a$ は連続である。$\tau_a\circ\tau_a$ は恒等写像なので、$\tau_a$ は自分自身を逆写像にもつ同相写像である。点 $a,b$ について $\tau_{a+b}$ が $a$ を $b$ に移す。
4：$D^S$ は $S$ から 2 点集合への写像全体である。$\square$

添字の集合を $S$（$\lvert S\rvert=\kappa$）とする。筒集合 $[\varphi]$ は、$S$ の有限部分集合 $F$ と写像 $\varphi\colon F\to D$ の組で決まる。$S$ の有限部分集合は $\kappa$ 個、各 $F$ 上の写像は有限個なので、筒集合は $\kappa$ 個である。prop-ccube-basic の 1 により $w(D^\kappa)\le\kappa$ である。また、開基のうち $x$ を含むものは $x$ の基本近傍系なので、$\chi(x,D^\kappa)\le w(D^\kappa)$ である。
$\chi(x,D^\kappa)\ge\kappa$ を示す。$\mathcal V$ を $x$ の開近傍の基本系とし、$\lvert\mathcal V\rvert<\kappa$ と仮定して矛盾を導く。各 $V\in\mathcal V$ は開基の元で $x$ を含むものを含むので、$x\in[\varphi_V]\subset V$ となる筒集合を選び、$\varphi_V$ の定義域を $F_V$ とおく。$F_V$ は有限で、$\mathcal V$ の濃度は $\kappa$ 未満なので、$\bigcup_{V\in\mathcal V}F_V$ の濃度は $\kappa$ 未満である（$\mathcal V$ が無限なら濃度は $\lvert\mathcal V\rvert\cdot\aleph_0=\lvert\mathcal V\rvert$ 以下、有限なら有限）。よって、どの $F_V$ にも属さない座標 $t\in S$ がある。開近傍 $W:=\pi_t^{-1}(x_t)$ は基本系の定義から、ある $V\in\mathcal V$ を含む。ところが $x$ の座標 $t$ だけを取り替えた点 $x'$ は $[\varphi_V]$ に属し（$t\notin F_V$）、$W$ に属さない。これは $[\varphi_V]\subset V\subset W$ に矛盾する。$\square$

距離化可能な空間の各点は、半径 $1/n$ の開球の全体という可算な基本近傍系をもつ。$D^\kappa$ が距離化可能なら $\chi(x,D^\kappa)=\aleph_0$ であり、thm-ccube-weight により $\kappa=\aleph_0$ である。
逆に $D^{\mathbb N}$ を考える。$x\ne y$ で $x_n\ne y_n$ となる最小の $n$ を $n(x,y)$ と書くと、$n(x,z)\ge\min\{n(x,y),n(y,z)\}$ なので $d(x,z)\le\max\{d(x,y),d(y,z)\}$ となり、$d$ は距離である。$d(x,y)<2^{-n}$ と、$x$ と $y$ が座標 $0,1,\dots,n$ で一致することは同値である。よって $x$ を中心とする半径 $2^{-n}$ の開球は、座標 $0,\dots,n$ を $x$ と同じ値に指定した筒集合である。どの筒集合 $[\varphi]\ni x$ も、$\varphi$ の定義域が $\{0,\dots,n\}$ に含まれるような $n$ をとれば、この開球を含む。したがって $d$ の開球の全体と筒集合の全体は同じ位相を生成し、$d$ は直積位相を与える。Cantor 集合との同相は Cantor集合 の命題「直積空間との同相」である。$\square$

$\mathcal B$ を濃度 $\kappa$ 以下の開基とする（$w(X)\le\kappa$ による）。組 $(U,V)\in\mathcal B\times\mathcal B$ のうち、$U\subset C\subset V$ となる開閉集合 $C$ が存在するものについて、そのような $C$ を 1 つ選んで $C_{U,V}$ とおく。$\mathcal C:=\{C_{U,V}\}$ の濃度は $\lvert\mathcal B\times\mathcal B\rvert\le\kappa$ 以下である。
$\mathcal C$ が開基であることを示す。$x\in W$、$W$ を開集合とする。$x\in V\subset W$ となる $V\in\mathcal B$ をとり、0 次元性から $x\in C\subset V$ となる開閉集合 $C$ をとり、さらに $x\in U\subset C$ となる $U\in\mathcal B$ をとる。この $(U,V)$ について $C_{U,V}$ は定義されていて、$x\in U\subset C_{U,V}\subset V\subset W$ である。$\square$

lem-ccube-clopen-base により、開閉集合からなる開基 $\mathcal C$ で $\lvert\mathcal C\rvert\le\kappa$ のものがある。$\mathcal C$ を添字の集合として
$$ f\colon X\to D^{\mathcal C},\qquad f(x)_C:=\chi_C(x)\quad(C\in\mathcal C) $$
と定める。$\lvert\mathcal C\rvert\le\kappa$ なので、$D^{\mathcal C}$ は $D^\kappa$ の部分空間 $\{y\in D^\kappa\mid y_s=0\ (s\notin\mathcal C)\}$ と同相である（$\mathcal C\subset S$、$\lvert S\rvert=\kappa$ と見なす）。よって $f$ が $X$ から像 $f(X)$ への同相写像であることを示せばよい。
連続性：各座標 $\pi_C\circ f=\chi_C$ が連続なので、直積位相 の定理「直積位相の普遍性」により $f$ は連続である。
単射性：$x\ne y$ とする。$X$ は Hausdorff なので $X\setminus\{y\}$ は $x$ を含む開集合であり、$x\in C\subset X\setminus\{y\}$ となる $C\in\mathcal C$ がある。$f(x)_C=1\ne0=f(y)_C$ である。
像への開写像であること：$C\in\mathcal C$ について
$$ f(C)=f(X)\cap\pi_C^{-1}(1) $$
である。$\subset$ は定義から明らかである。$\supset$ は、$f(x)\in\pi_C^{-1}(1)$ なら $\chi_C(x)=1$、すなわち $x\in C$ だからである。右辺は $f(X)$ の開集合である。$X$ の開集合は $\mathcal C$ の元の和集合であり、$f$ は単射なので和集合を保つ。よって $f$ は $X$ の開集合を $f(X)$ の開集合に移す。
以上で $f\colon X\to f(X)$ は連続な開全単射、すなわち同相写像である。
逆の主張：$Y\subset D^\kappa$ とする。$Y$ は Hausdorff 空間の部分空間なので Hausdorff である。筒集合と $Y$ の共通部分は $Y$ の開閉集合で、その全体は $Y$ の開基である。筒集合は $\kappa$ 個なので（thm-ccube-weight の証明）、$w(Y)\le\kappa$ である。$\square$

1 ならば、thm-ccube-universal の埋め込み $f$ の像 $f(X)$ はコンパクトなので、Hausdorff 空間 $D^\kappa$ の中で閉である。2 ならば、コンパクト空間 $D^\kappa$ の閉部分集合はコンパクトであり、残りは thm-ccube-universal の逆の主張による。$\square$

$x,y$ が座標 $0,\dots,n-1$ で一致すれば $\lvert c(x)-c(y)\rvert\le\sum_{k\ge n}2^{-(k+1)}=2^{-n}$ である。座標 $0,\dots,n-1$ を $x$ に合わせた筒集合は $x$ の近傍なので、$c$ は連続である。$t\in[0,1]$ は 2 進展開 $t=\sum_n x_n2^{-(n+1)}$（$x_n\in\{0,1\}$）をもつので（$t=1$ では $x_n=1$ がすべての $n$）、$c$ は全射である。$\square$

$\lvert\kappa\times\mathbb N\rvert=\kappa$ なので、$D^\kappa$ は $D^{\kappa\times\mathbb N}$ と同相である（def-ccube の後の注意）。$D^{\kappa\times\mathbb N}$ の点 $x$ を、$\alpha<\kappa$ ごとの列 $x^{(\alpha)}:=(x_{(\alpha,n)})_{n\in\mathbb N}\in D^{\mathbb N}$ の族と見て、
$$ g\colon D^{\kappa\times\mathbb N}\to[0,1]^\kappa,\qquad g(x)_\alpha:=c\bigl(x^{(\alpha)}\bigr) $$
と定める。各座標 $g(\cdot)_\alpha$ は、座標 $\{\alpha\}\times\mathbb N$ への射影と $c$ の合成なので連続であり（lem-ccube-binary）、$g$ は連続である。$t\in[0,1]^\kappa$ が与えられたら、各 $\alpha$ で $c(x^{(\alpha)})=t_\alpha$ となる $x^{(\alpha)}$ を選べば $g(x)=t$ となるので、$g$ は全射である。
コンパクト Hausdorff 空間は Tychonoff 空間なので（Tychonoff空間 の命題「コンパクト Hausdorff 空間は Tychonoff 空間」）、位相空間の埋め込み定理 の定理「Tychonoffの埋め込み定理」により、$Y$ は $[0,1]^\kappa$ の部分空間 $Y'$ と同相である。$Y'$ はコンパクトなので閉であり、$F:=g^{-1}(Y')$ は $D^{\kappa\times\mathbb N}$ の閉集合である。$g$ は全射なので、$g$ の制限 $F\to Y'$ は連続な全射である。これに $Y'\cong Y$ を合成すればよい。$\square$