半直積
概要
半直積（semidirect product）とは、群 $N$、$H$ と準同型 $\varphi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)$ から、集合 $N\times H$ に積 $(n_1,h_1)(n_2,h_2)=(n_1\varphi_{h_1}(n_2),h_1h_2)$ を入れた群 $N\rtimes_\varphi H$ のことで、$N$ は正規部分群、$H$ はその補群になる。逆に群 $G$ が正規部分群 $N$ と部分群 $H$ で $G=NH$、$N\cap H=\{e\}$ を満たせば $G\cong N\rtimes H$ であり、全射準同型 $G\to Q$ が準同型の切断をもつことと $G$ が核と $Q$ の半直積になることは同値である。作用が自明な場合が直積で、二面体群やアフィン変換の群などがこの形で組み立てられる。
正 $m$ 角形の対称性の群（二面体群）は、$m$ 個の回転からなる巡回群 $\langle r\rangle$ と、1 つの裏返し $s$ が生成する位数 $2$ の群 $\langle s\rangle$ から組み立てられる。どの元も $r^is^{\epsilon}$（$0\le i< m$、$\epsilon\in\{0,1\}$）とただ 1 通りに書け、積は $s r s^{-1}=r^{-1}$ という規則だけで計算できる。回転の群は正規部分群だが、裏返しの群は正規部分群でない。2 つの群を「片方がもう片方に作用する」というねじれを入れて貼り合わせるこの構成を一般にしたものが 半直積 である。
この記事では、群 $N$、$H$ と準同型 $\varphi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)$ から半直積 $N\rtimes_\varphi H$ を作り、それが群になることを示す。次に、群 $G$ が正規部分群 $N$ と部分群 $H$ で $G=NH$、$N\cap H=\{e\}$ を満たすなら $G\cong N\rtimes H$ であること（内部半直積の判定）、全射準同型 $G\to Q$ が準同型の切断をもつことと $G$ が核と $Q$ の半直積になることが同値であること（分裂する拡大）を証明する。直積は作用が自明な場合にあたる。
定義
群 $N$ の自己同型（全単射な準同型 $N\to N$）の全体 $\operatorname{Aut}(N)$ は、写像の合成について群をなす（自己同型）。準同型 $\varphi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)$ が与えられることは、$H$ が $N$ に $h\cdot n:=\varphi_h(n)$ で作用し（群の作用）、しかも各 $h$ の作用が $N$ の群構造を保つことと同じである。ここで $\varphi_h:=\varphi(h)$ と書いた。
$N$、$H$ を群、$\varphi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)$ を準同型とする。直積集合 $N\times H$ に積
$$
(n_1,h_1)(n_2,h_2):=\bigl(n_1\,\varphi_{h_1}(n_2),\ h_1h_2\bigr)
$$
を入れたものを $N$ と $H$ の $\varphi$ に関する 半直積（semidirect product）といい、$N\rtimes_\varphi H$ と書く。$\varphi$ が文脈から明らかなら $N\rtimes H$ と書く。
記号 $\rtimes$ は、開いた側にある $N$ が正規部分群になることを表す（thm-sdp-group の 3）。同じ群を $H\ltimes N$ と書く文献もある。$\varphi$ がすべての $h$ を恒等写像に送る自明な準同型なら、積は $(n_1n_2,h_1h_2)$ となり、直積 $N\times H$ そのものである。
$G:=N\rtimes_\varphi H$ とする。
- $G$ は群であり、単位元は $(e,e)$、$(n,h)$ の逆元は $\bigl(\varphi_{h^{-1}}(n^{-1}),\,h^{-1}\bigr)$ である。
- $\hat N:=\{(n,e)\mid n\in N\}$ と $\hat H:=\{(e,h)\mid h\in H\}$ は $G$ の部分群で、$n\mapsto(n,e)$、$h\mapsto(e,h)$ はそれぞれ $N\cong\hat N$、$H\cong\hat H$ の同型である。
- $\hat N$ は $G$ の正規部分群であり、$\hat N\cap\hat H=\{(e,e)\}$、$G=\hat N\hat H$ である。
- $(e,h)(n,e)(e,h)^{-1}=(\varphi_h(n),e)$ である。すなわち、$H$ の元による $N$ の元の共役は $\varphi$ による作用に一致する。
1：結合律を確かめる。$\varphi$ は準同型なので $\varphi_{h_1h_2}=\varphi_{h_1}\circ\varphi_{h_2}$ であり、各 $\varphi_h$ は $N$ の準同型である。よって
$$
\bigl((n_1,h_1)(n_2,h_2)\bigr)(n_3,h_3)=\bigl(n_1\varphi_{h_1}(n_2)\,\varphi_{h_1h_2}(n_3),\ h_1h_2h_3\bigr),
$$
$$
(n_1,h_1)\bigl((n_2,h_2)(n_3,h_3)\bigr)=\bigl(n_1\,\varphi_{h_1}\bigl(n_2\varphi_{h_2}(n_3)\bigr),\ h_1h_2h_3\bigr)=\bigl(n_1\varphi_{h_1}(n_2)\,\varphi_{h_1}(\varphi_{h_2}(n_3)),\ h_1h_2h_3\bigr)
$$
であり、両者は等しい。$\varphi_h(e)=e$、$\varphi_e=\mathrm{id}_N$ から $(e,e)(n,h)=(n,h)=(n,h)(e,e)$ である。逆元については $(n,h)\bigl(\varphi_{h^{-1}}(n^{-1}),h^{-1}\bigr)=\bigl(n\,\varphi_h\varphi_{h^{-1}}(n^{-1}),e\bigr)=(e,e)$ であり、もう一方の順序も $\bigl(\varphi_{h^{-1}}(n^{-1})\varphi_{h^{-1}}(n),e\bigr)=(e,e)$ となる。
2：$(n_1,e)(n_2,e)=(n_1\varphi_e(n_2),e)=(n_1n_2,e)$、$(e,h_1)(e,h_2)=(\varphi_{h_1}(e),h_1h_2)=(e,h_1h_2)$ なので、2 つの写像は単射な準同型であり、像 $\hat N$、$\hat H$ は部分群である。
3：射影 $\pi\colon G\to H$、$(n,h)\mapsto h$ は積の第 2 成分が $h_1h_2$ であることから準同型で、核は $\hat N$ である。準同型の核は正規部分群である（群準同型 の命題「核は正規部分群で像は部分群」）。$\hat N\cap\hat H=\{(e,e)\}$ は明らかであり、$(n,e)(e,h)=(n,h)$ から $G=\hat N\hat H$ である。
4：$(e,h)(n,e)=(\varphi_h(n),h)$ であり、これに $(e,h)^{-1}=(e,h^{-1})$ を掛けると $(\varphi_h(n)\varphi_h(e),e)=(\varphi_h(n),e)$ となる。$\square$
以下、$\hat N$ と $N$、$\hat H$ と $H$ を同一視し、$(n,h)$ を $nh$ と書く。積の規則は $hn=\varphi_h(n)h$、すなわち「$H$ の元を右へ通すと、通過した $N$ の元が作用で変わる」である。
群の中で半直積の形を見つけるのが、次の内部的な定義である。
群 $G$ の部分群 $N$ に対し、部分群 $H$ が $G=NH$ と $N\cap H=\{e\}$ を満たすとき、$H$ を $N$ の $G$ における 補群（complement）という。$N$ が正規部分群で補群 $H$ をもつとき、$G$ は $N$ と $H$ の 内部半直積 であるという。
直感
半直積は「下の階 $N$ の上に、$N$ を並べ替える階 $H$ を載せた」群である。$G=N\rtimes H$ の元 $nh$ は、まず $H$ の成分で $N$ を動かす方法を指定し、次に $N$ の成分でずらす、という 2 段の操作と考えられる。アフィン変換 $x\mapsto Ax+b$ はその典型で、$N$ は平行移動 $x\mapsto x+b$、$H$ は線形変換 $x\mapsto Ax$ であり、平行移動を線形変換で挟むと $A(A^{-1}x+b)=x+Ab$ のように平行移動のベクトルが $A$ で変わる（ex-sdp-affine）。これが作用 $\varphi_A(b)=Ab$ である。
直積との違いは、$H$ が正規部分群とは限らないことにある。半直積から $H$ への射影 $nh\mapsto h$ は準同型だが、$N$ への射影 $nh\mapsto n$ は一般に準同型でない。片側にしか「射影」がない非対称な構成である。
例と反例
以下の例で内部半直積であることは、thm-sdp-internal の条件（$N$ が正規、$N\cap H=\{e\}$、$G=NH$）を確かめることで分かる。
- 二面体群 $\operatorname{Dih}_m=\langle r,s\mid r^m=s^2=e,\ srs=r^{-1}\rangle$ では、各元が $r^i$ か $r^is$（$0\le i< m$）のどれか 1 つに一意に書ける（二面体群 の命題「正規形と位数」）。$\langle r\rangle$ は指数 $2$ なので正規であり（正規部分群 の命題「指数 2 の部分群の正規性」）、$\langle r\rangle\cap\langle s\rangle=\{e\}$ なので、$\operatorname{Dih}_m\cong C_m\rtimes_\varphi C_2$ である。作用は $\varphi_s(r^i)=r^{-i}$（反転）である。同じく、整数の加法群 $\mathbb{Z}$ に $C_2$ が $n\mapsto-n$ で作用する半直積 $\mathbb{Z}\rtimes C_2$ を無限二面体群という。
- $n\ge2$ のとき、対称群 $S_n$ は交代群 $A_n$ と互換 $(1\ 2)$ の生成する位数 $2$ の群の半直積 $A_n\rtimes\langle(1\ 2)\rangle$ である。$A_n$ は符号準同型の核なので正規で指数 $2$（交代群 の命題「符号準同型」）、$(1\ 2)\notin A_n$ である。$n=3$ では $S_3\cong C_3\rtimes C_2\cong\operatorname{Dih}_3$ となる。
- $A$ を可換群とし、$C_2$ を逆元をとる自己同型 $a\mapsto a^{-1}$ で作用させた $A\rtimes C_2$ は、$A=C_m$ のとき 1 の $\operatorname{Dih}_m$ である。
$R$ を可換環、$D(u):=\operatorname{diag}(1,\dots,1,u)$（$u\in R^\times$）とする。
- $\mathrm{GL}_n(R)=\mathrm{SL}_n(R)\rtimes\{D(u)\mid u\in R^\times\}$ である。$\mathrm{SL}_n(R)$ は行列式の核なので正規であり、$A\in\mathrm{GL}_n(R)$ は $A=\bigl(AD(\det A)^{-1}\bigr)D(\det A)$ と書け、$D(u)$ が $\mathrm{SL}_n(R)$ に入るのは $u=1$ のときだけである（特殊線形群）。作用は $D(u)$ による共役である。
- 直交群は $\mathrm{O}(n)=\mathrm{SO}(n)\rtimes\{I,r\}$（$r$ は鏡映）と分かれる（直交群 の命題「特殊直交群による分解」）。
- 体 $k$ 上の可逆な上三角行列の群 $B$ において、対角成分がすべて $1$ の上三角行列の群 $U$ は、$B$ の元にその対角部分を対応させる写像 $B\to T$（$T$ は可逆な対角行列の群）の核である。上三角行列の積の対角部分は対角部分の積なので、この写像は準同型であり、$U$ は正規部分群である。$T\subset B$ で $U\cap T=\{I\}$、$A=(AD^{-1})D$（$D$ は $A$ の対角部分）なので、$B=U\rtimes T$ である（三角行列）。
$V=\mathbb{R}^n$ とし、$\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ を $V$ の加法群に $\varphi_A(b)=Ab$ で作用させる。半直積 $V\rtimes\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ の積は
$$
(b,A)(c,B)=(b+Ac,\ AB)
$$
であり、$(b,A)$ をアフィン変換 $f_{b,A}(x)=Ax+b$ に対応させると、$f_{b,A}\circ f_{c,B}(x)=A(Bx+c)+b=ABx+(b+Ac)$ なので、この対応は半直積から $V$ のアフィン変換の群への同型である（アフィン変換）。$\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ を $\mathrm{O}(n)$ に替えると、$\mathbb{R}^n$ の距離を保つ変換の群（Euclid 群）$E(n)=\mathbb{R}^n\rtimes\mathrm{O}(n)$ が得られる（Jud25 §12.1、p. 216 の $E(n)$ と同じ積である）。平行移動の群は正規部分群だが、$\mathrm{O}(n)$（原点を動かさない変換）は $n\ge1$ で正規でない。
- 任意の群 $N$ に対し、$\varphi=\mathrm{id}\colon\operatorname{Aut}(N)\to\operatorname{Aut}(N)$ による半直積 $N\rtimes\operatorname{Aut}(N)$ を $N$ の ホロモルフ（holomorph）という（DF04 §5.5、p. 179）。$N=C_n$ なら $\operatorname{Aut}(C_n)\cong(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$（自己同型 の命題「有限巡回群の自己同型群」）なので、位数は $n\cdot\lvert(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\rvert$ である。$n=3$ では位数 $6$ の $C_3\rtimes C_2\cong S_3$ になる。
- 素数 $r< s$ で $r\mid s-1$ なら、$\operatorname{Aut}(C_s)\cong(\mathbb{Z}/s\mathbb{Z})^\times$（自己同型 の命題「有限巡回群の自己同型群」）は位数 $s-1$ の巡回群であり（原始根 の定理「素数を法とする原始根の存在」）、位数 $r$ の元をもつ。それによる非自明な作用から可換でない半直積 $C_s\rtimes C_r$ ができる。位数 $rs$ の群は、巡回群 $C_{rs}$ とこの半直積のどちらかに同型である（有限群の分類(位数1から100) の命題「相異なる二素数の積を位数にもつ群」）。$r=3$、$s=7$ なら位数 $21$ の可換でない群が得られる。
位数 $4$ の巡回群 $C_4=\{0,1,2,3\}$（加法）の部分群 $N=\{0,2\}$ は正規である（可換群の部分群）。$C_4$ の位数 $2$ の部分群は $N$ だけなので（位数 $2$ の元は $2$ だけ）、$N\cap H=\{0\}$ かつ $N+H=C_4$ となる部分群 $H$ は存在しない。したがって、$C_4$ は正規部分群 $N\cong C_2$ と剰余群 $C_4/N\cong C_2$ をもつのに、$N$ と $C_2$ の半直積ではない。実際、$C_2$ と $C_2$ の半直積は、$\operatorname{Aut}(C_2)$ が自明なので直積 $C_2\times C_2$ だけであり、$C_4$ と同型でない。この例は「$G$ に正規部分群 $N$ がある」ことから「$G\cong N\rtimes(G/N)$」が従わないことを示す。
性質
内部半直積の判定
$G$ を群、$N$ を正規部分群、$H$ を部分群とし、$N\cap H=\{e\}$ とする。$h\in H$ に対し $\varphi_h(n):=hnh^{-1}$（$n\in N$）とおく。
- $\varphi_h\in\operatorname{Aut}(N)$ であり、$\varphi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)$ は準同型である。
- $NH$ は $G$ の部分群であり、$NH$ の各元は $nh$（$n\in N$、$h\in H$）とただ 1 通りに書ける。
- $\Psi\colon N\rtimes_\varphi H\to NH$、$(n,h)\mapsto nh$ は群の同型である。とくに $G=NH$ なら $G\cong N\rtimes_\varphi H$ である。
1：$N$ は正規なので $hNh^{-1}\subset N$ であり、$\varphi_h$ は $N$ から $N$ への準同型である（$hn_1n_2h^{-1}=hn_1h^{-1}\,hn_2h^{-1}$）。$\varphi_{h^{-1}}$ が逆写像なので自己同型であり、$\varphi_{h_1h_2}(n)=h_1h_2nh_2^{-1}h_1^{-1}=\varphi_{h_1}(\varphi_{h_2}(n))$ なので $\varphi$ は準同型である。
2：$NH$ が部分群であることは 正規部分群 の命題「正規部分群との積」による。$n_1h_1=n_2h_2$ なら $n_2^{-1}n_1=h_2h_1^{-1}\in N\cap H=\{e\}$ なので、$n_1=n_2$、$h_1=h_2$ である。
3：$\Psi$ は 2 により全単射である。準同型であることは
$$
\Psi(n_1,h_1)\Psi(n_2,h_2)=n_1h_1n_2h_2=n_1(h_1n_2h_1^{-1})h_1h_2=n_1\varphi_{h_1}(n_2)\,h_1h_2=\Psi\bigl((n_1,h_1)(n_2,h_2)\bigr)
$$
による。$\square$
この定理と thm-sdp-group を合わせると、「$G$ が $N$ と $H$ の半直積と同型であること」と「$G$ が正規部分群 $N'\cong N$ と補群 $H'\cong H$ をもつこと」が同じ意味になる。ただし同型 $N'\cong N$、$H'\cong H$ のもとで作用が $\varphi$ に一致していなければならない。
分裂する拡大
正規部分群 $N$ と剰余群 $Q=G/N$ が分かっていても、$G$ は決まらない（ex-sdp-z4）。$G$ が $N$ と $Q$ の半直積になるのは、次の条件が成り立つときである。
$\pi\colon G\to Q$ を全射な群準同型とし、$N:=\ker\pi$ とする。次は同値である。
- 準同型 $s\colon Q\to G$ で $\pi\circ s=\mathrm{id}_Q$ を満たすもの（$\pi$ の 切断）が存在する。
- $N$ は $G$ において補群をもつ。
- 準同型 $\varphi\colon Q\to\operatorname{Aut}(N)$ と群の同型 $\Theta\colon N\rtimes_\varphi Q\to G$ で、$\Theta(n,e)=n$、$\pi(\Theta(n,q))=q$ を満たすものが存在する。
1 ⇒ 2：$H:=s(Q)$ は準同型の像なので部分群である。$s(q)\in N$ なら $q=\pi(s(q))=e$ なので $s(q)=e$ であり、$N\cap H=\{e\}$ である。$g\in G$ に対し $h:=s(\pi(g))$ とおくと $\pi(gh^{-1})=\pi(g)\pi(g)^{-1}=e$ なので $gh^{-1}\in N$ であり、$g=(gh^{-1})h\in NH$ である。
2 ⇒ 1：補群 $H$ をとる。$\pi|_H\colon H\to Q$ の核は $N\cap H=\{e\}$ なので単射であり、$\pi(G)=\pi(NH)=\pi(H)$ なので全射である。$s:=(\pi|_H)^{-1}$ は準同型で $\pi\circ s=\mathrm{id}_Q$ を満たす。
1 ⇒ 3：$\varphi_q(n):=s(q)\,n\,s(q)^{-1}$ とおく。$N$ は正規なので、thm-sdp-internal の 1 と同じ理由で $\varphi\colon Q\to\operatorname{Aut}(N)$ は準同型である。$\Theta(n,q):=n\,s(q)$ とおくと
$$
\Theta(n_1,q_1)\Theta(n_2,q_2)=n_1s(q_1)n_2s(q_2)=n_1\varphi_{q_1}(n_2)\,s(q_1q_2)=\Theta\bigl((n_1,q_1)(n_2,q_2)\bigr)
$$
なので準同型である。1 ⇒ 2 で示したとおり $H=s(Q)$ は補群なので、thm-sdp-internal の 2 により $\Theta$ は全単射であり（$s$ は単射）、$\Theta(n,e)=n$、$\pi(\Theta(n,q))=\pi(n)\pi(s(q))=q$ である。
3 ⇒ 1：$s(q):=\Theta(e,q)$ とおく。$(e,q_1)(e,q_2)=(e,q_1q_2)$ なので $s$ は準同型であり、$\pi(s(q))=q$ である。$\square$
1〜3 を満たすとき、$\pi$（あるいは $N$ の $Q$ による拡大 $G$）は 分裂する（split）という。切断 $s$ が単なる写像でよければ、全射 $\pi$ にはいつも切断がある（各 $q$ の逆像から 1 つ選ぶ）。1 の要点は $s$ が準同型であることにある。ex-sdp-z4 で、$\pi\colon C_4\to C_2$ の写像としての切断 $0\mapsto0$、$1\mapsto1$ は準同型でない（$1+1=2\ne0$）。加群やアーベル群の圏での分裂（短完全列 の定義「短完全列の分裂」）との違いは、prop-sdp-retraction のあとで述べる。
$G=N\rtimes_\varphi H$ とする。次は同値である。
- $\varphi$ は自明な準同型である（すべての $h$ で $\varphi_h=\mathrm{id}_N$）。
- $H$ は $G$ の正規部分群である。
- 恒等写像 $N\times H\to N\rtimes_\varphi H$ は群の同型である。
1 ⇒ 3：積の定義が直積の積と同じになる。3 ⇒ 2：直積 $N\times H$ では $\{e\}\times H$ は正規部分群である。2 ⇒ 1：$H$ が正規なら、$h\in H$、$n\in N$ について交換子 $nhn^{-1}h^{-1}=n(hn^{-1}h^{-1})=(nhn^{-1})h^{-1}$ は $N$ と $H$ の両方に属し、$N\cap H=\{e\}$ なので $e$ である。よって $hnh^{-1}=n$ であり、thm-sdp-group の 4 から $\varphi_h(n)=n$ である。$\square$
thm-sdp-split の 1 は、$N\to G\to Q$ の右側の $\pi$ が準同型の右逆をもつという条件である。左側の包含 $N\to G$ が準同型の左逆をもつという条件は、より強く、直積を与える。
$N$ を群 $G$ の正規部分群とする。準同型 $\rho\colon G\to N$ で $N$ の上では恒等写像になるものが存在することと、$N$ が $G$ において正規な補群 $K$ をもつことは同値である。このとき $G\cong N\times K$ である。
$\rho$ があるとし、$K:=\ker\rho$ とおく。$K$ は正規部分群である。$n\in N\cap K$ なら $n=\rho(n)=e$ である。$g\in G$ について $\rho\bigl(\rho(g)^{-1}g\bigr)=\rho(g)^{-1}\rho(g)=e$ なので $g=\rho(g)\cdot\rho(g)^{-1}g\in NK$ である。よって $K$ は正規な補群である。
逆に正規な補群 $K$ があるとする。$n\in N$、$k\in K$ の交換子 $nkn^{-1}k^{-1}$ は、$N$ と $K$ がともに正規なので $N\cap K=\{e\}$ に属し、$nk=kn$ である。よって thm-sdp-internal の作用は自明で、prop-sdp-direct により $G\cong N\rtimes K=N\times K$ である。この同型で $N$ への射影にあたる $\rho(nk):=n$ は準同型で、$N$ の上で恒等写像である。$\square$
加群（とくにアーベル群）では部分群はすべて正規なので、補群があれば正規な補群でもあり、右逆の存在と左逆の存在は同値になる（短完全列 の命題「分裂補題」）。群ではこれが成り立たない。$S_3$ の $A_3$ は補群 $\langle(1\ 2)\rangle$ をもつが、準同型 $S_3\to A_3$ は可換群 $A_3$ への準同型なので交換子部分群 $A_3$ を $e$ に送り（交換子部分群 の命題「アーベル商と交換子部分群」）、$A_3$ の上で恒等写像にはならない。
作用を取り替えたときの同型
半直積の同型類は $\varphi$ によって変わる。$C_3$ と $C_2$ の半直積は、自明な作用なら可換な $C_6$、反転の作用なら可換でない $S_3$ である。一方、作用を「座標変換」しただけなら同型な群が得られる。
$\varphi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)$ を準同型とする。
- $\beta\in\operatorname{Aut}(N)$ に対し $\varphi'_h:=\beta\circ\varphi_h\circ\beta^{-1}$ とおくと、$(n,h)\mapsto(\beta(n),h)$ は同型 $N\rtimes_\varphi H\to N\rtimes_{\varphi'}H$ である。
- $\alpha\in\operatorname{Aut}(H)$ に対し $N\rtimes_\varphi H\cong N\rtimes_{\varphi\circ\alpha}H$ である。
1：$\varphi'$ は準同型の合成なので準同型である。写像 $\Phi(n,h):=(\beta(n),h)$ は全単射で、
$$
\Phi(n_1,h_1)\Phi(n_2,h_2)=\bigl(\beta(n_1)\,\beta\varphi_{h_1}\beta^{-1}(\beta(n_2)),\ h_1h_2\bigr)=\bigl(\beta(n_1\varphi_{h_1}(n_2)),\ h_1h_2\bigr)=\Phi\bigl((n_1,h_1)(n_2,h_2)\bigr)
$$
である。2 は 有限群の分類(位数1から100) の補題「作用を自己同型でねじった半直積」である（同型は $(n,h)\mapsto(n,\alpha^{-1}(h))$）。$\square$
たとえば素数 $s$ と $r\mid s-1$ について、位数 $r$ の元を像にもつ 2 つの単射 $C_r\to\operatorname{Aut}(C_s)$ は、$\operatorname{Aut}(C_s)$ が巡回群であり（ex-sdp-holomorph の 2 で引いた原始根の存在）、巡回群は位数 $r$ の部分群をただ 1 つもつので像が一致し、$C_r$ の自己同型の差しかない。よって 2 により、非自明な作用による $C_s\rtimes C_r$ は同型を除いてただ 1 つである（ex-sdp-holomorph の 2）。
条件を外した反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $N$ が正規（thm-sdp-internal） | $S_3$ の $\langle(1\ 2)\rangle$ と $\langle(1\ 3)\rangle$ | $NH$ が部分群であること |
| $N\cap H=\{e\}$（thm-sdp-internal） | $C_4$ の $N=C_4$、$H=\{0,2\}$ | $\Psi$ の単射性（表し方の一意性） |
| 補群が存在する（thm-sdp-split の 2） | $C_4$ の $N=\{0,2\}$ | $G\cong N\rtimes G/N$ |
| 切断 $s$ が準同型（thm-sdp-split の 1） | $C_4\to C_2$ の写像 $0\mapsto0$、$1\mapsto1$ | 像 $s(Q)$ が補群であること |
| $\varphi$ が自明（prop-sdp-direct） | $S_3=A_3\rtimes\langle(1\ 2)\rangle$ | 直積に一致すること |
1 行目：$\langle(1\ 2)\rangle\cap\langle(1\ 3)\rangle=\{e\}$ だが、積集合 $\{e,(1\ 2),(1\ 3),(1\ 2)(1\ 3)\}$ は 4 元で、$4$ は $\lvert S_3\rvert=6$ を割らないので部分群でない（Lagrangeの定理）。$\langle(1\ 2)\rangle$ は正規でない。2 行目：$NH=C_4$、$N$ は正規だが $N\cap H=H\ne\{0\}$ で、$\lvert N\rtimes H\rvert=8\ne4$ なので $\Psi$ は単射でない。3 行目は ex-sdp-z4 で確かめた。4 行目：像 $\{0,1\}$ は $1+1=2$ を含まず部分群でない。5 行目：$S_3$ は可換でないが、$A_3\times C_2\cong C_6$ は可換である。
補足
$N\rtimes H$ を「$H$ による $N$ の半直積」と読むか「$N$ による $H$ の半直積」と読むかは文献によって異なる。DF04 §5.5（Theorem 10、p. 176）は正規部分群を左に書いて $H\rtimes K$ とし、Jud25 §12.4 の Exercise 15（pp. 224–225）は内部半直積を「$N$ の $H$ による半直積」と呼んでいる。どの流儀でも、記号 $\rtimes$ の開いた側（縦線のない側）が正規部分群である。半直積の作用を右作用で書く流儀では、積の式が $(n_1,h_1)(n_2,h_2)=(\varphi_{h_2}(n_1)n_2,h_1h_2)$ のように変わる。
半直積の構成と群になることは DF04 §5.5 Theorem 10（p. 176）、作用が自明であることと直積との同値は Proposition 11（p. 177）、内部半直積の判定は Theorem 12（p. 180）にある。ホロモルフと位数 $pq$ の群の例は同節（pp. 179–181）、分裂する拡大と切断の言い換えは §10.5 Proposition 25（p. 384）、左逆と直積の関係は Proposition 26（p. 385）にある。この記事の定理は、引用した記事の補題を除いて記事の中で証明した。
関連項目
参考文献
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