弧状連結空間

概要

定義

位相空間 $X$ が弧状連結（path-connected）であるとは、以下の条件を満たすことをいう。

弧状連結の定義

空でない位相空間 $X$ の任意の2点 $x, y \in X$ に対して、それらを結ぶ道（path）が存在する。
すなわち、ある連続写像 $\gamma: [0, 1] \to X$ が存在し、以下を満たす。
$$\gamma(0) = x \quad \text{かつ} \quad \gamma(1) = y$$

空集合の扱い

空集合 $\emptyset$ については、「連結ではない」とする流儀との整合性を取るため、弧状連結ではないと約束することが一般的である。
（ただし、文脈によっては空集合を連結かつ弧状連結とみなす場合もあるため、注意が必要である）

弧連結 (Arc-connectedness)

道を「単射（自分自身と交わらない）」に制限した概念も存在する。

定義: 異なる2点に対し、単射な道 $\gamma$ が取れるとき、その空間は弧連結（arc-connected / arcwise connected）であるという。
関係: 明らかに「弧連結 $\implies$ 弧状連結」が成り立つ。
同値性: 空間がHausdorff空間である場合、逆も成立し「弧連結 $\iff$ 弧状連結」となる。
反例: 二つの原点を持つ直線は、弧状連結だが弧連結ではない（Hausdorffではなく $T_1$ 空間であるため）。しかし、幾何学で扱う空間の多くはHausdorffであるため、実用上は両者を区別しないことが多い。

弧状連結成分

空間 $X$ の2点 $x, y$ に対して「$x$ と $y$ を結ぶ道が存在する」という関係 $x \sim y$ は、同値関係となる。

定義: この同値関係による同値類を弧状連結成分（path-connected component）と呼ぶ。
$\pi_0(X)$: $X$ の弧状連結成分の集合は $\pi_0(X)$ と表記される。その濃度は位相不変量であり、さらにホモトピー不変量でもある。
- $\pi_0(X)$ が一点集合であることと、$X$ が弧状連結であることは同値である。

直感との乖離：連結だが弧状連結ではない例

「連結（部分集合で分離できない）」と「弧状連結（道で結べる）」は、素性の良い空間（多様体やCW複体）では一致するが、一般の位相空間では乖離が生じる。

連結だが弧状連結ではない例

位相幾何学者の正弦曲線:
$y = \sin(1/x)$ のグラフと $y$ 軸上の区間を合わせた空間。原点付近での激しい振動により、グラフ上の点から $y$ 軸へ連続的に移動することができない。
原点を抜いたくし空間:
通常のくし空間から原点 $(0,0)$ を取り除いたもの。背骨と歯は連結しているが、右側の歯から左端の軸（極限の歯）へ渡るには、削除された原点を通るルートしか存在しないため、道を結べない。
長い直線のコンパクト化:
長い直線に最大元 $M$ と最小元 $m$ を加えてコンパクト化した空間。
直感的にはつながっているが、定義域である単位閉区間 $[0, 1]$（可算な性質を持つ）に対して、この空間は「長すぎる」（非可算な広がりを持つ）ため、端から端まで有限時間で到達する道が存在し得ない。

位相的性質

弧状連結性は、連結性と同様に「保存されやすい」性質と「されにくい」性質がある。

遺伝性と演算

部分空間: 一般に遺伝しない（全空間が弧状連結でも、一部を切り取るとバラバラになる）。
和集合: 弧状連結な部分空間同士の和集合は、共通部分が空でなければ弧状連結である。
共通部分: 弧状連結な部分空間同士の共通部分は、一般に弧状連結ではない。
連続像: 弧状連結空間の連続写像による像は、再び弧状連結である（中間値の定理の一般化）。
逆像: 連続写像による逆像は、一般に弧状連結ではない。

直和・直積

直積: 弧状連結空間の族の直積空間は、弧状連結である。
直和: 2つの（空でない）弧状連結空間の直和は、決して弧状連結にならない（成分が分かれるため）。

他の性質との関係

包含関係は以下の通りである。
$$\text{可縮空間} \implies \text{弧連結} \implies \text{弧状連結} \implies \text{連結空間}$$

局所弧状連結空間

大域的な性質とは別に、各点の「近傍」における性質も重要である。

局所弧状連結

位相空間 $X$ が局所弧状連結（locally path-connected）であるとは、任意の点 $x \in X$ が弧状連結な基本近傍系を持つことをいう。
すなわち、任意の開近傍 $U \ni x$ に対して、より小さな弧状連結な開近傍 $V$ ($x \in V \subseteq U$) が取れることである。

弧状連結性と局所弧状連結性の独立性

これら2つの性質に直接の包含関係はない。4つのパターンの代表例を挙げる。

	局所弧状連結である	局所弧状連結ではない
弧状連結である	単位閉区間 $[0, 1]$、$\mathbb{R}^n$	くし空間
弧状連結ではない	$\{0\} \cup [1, 2]$	有理数列の極限 $\left\{\frac{1}{n}\right\} \cup \{0\}$

くし空間: 全体としては背骨を通って移動できるため弧状連結だが、点 $(0, 1)$ の近傍は無数の歯によって分断されるため、局所弧状連結ではない。

重要な定理

局所的な性質が良い場合、連結性と弧状連結性は一致する。

連結性の回復

位相空間 $X$ が連結かつ局所弧状連結であるならば、$X$ は弧状連結である。

この対偶により、前述の「原点を抜いたくし空間」や「位相幾何学者の正弦曲線」は、連結だが弧状連結ではないため、局所弧状連結でもないことが直ちにわかる。