組紐モノイダル圏
概要
組紐モノイダル圏（braided monoidal category）とは、モノイダル圏に自然同型 $\beta_{X,Y}\colon X\otimes Y\to Y\otimes X$（組紐）を備え、結合同型との 2 つの六角形公理を課したものであり、$\beta_{Y,X}\circ\beta_{X,Y}$ が恒等射になる場合が対称モノイダル圏である。組紐は単位対象と自動的に両立し、Yang–Baxter 方程式を満たすので、厳格な場合には対象 $X$ の $n$ 個のテンソル積に組紐群 $B_n$ が作用する。次数付きベクトル空間の組紐は双指標に対応し、対称でない例を与える。準三角 Hopf 代数の表現の圏やモノイダル圏の中心も組紐モノイダル圏である。
組紐モノイダル圏（braided monoidal category）は、テンソル積の順序の入れ替え $X\otimes Y\cong Y\otimes X$ を、自然な同型 $\beta_{X,Y}$ として指定し、それが結合同型と整合するように 2 つの六角形公理を課したモノイダル圏である。$\beta_{Y,X}\circ\beta_{X,Y}$ が恒等射になるとき対称モノイダル圏というが、組紐モノイダル圏ではこれを要求しない。$\beta_{X,Y}$ を「$X$ の紐が $Y$ の紐の上を越えて交差する」図で表すと、$\beta_{Y,X}^{-1}$ は「下をくぐる」交差になり、両者は一般に異なる。このため対象 $X$ の $n$ 個のテンソル積には、対称群ではなく組紐群 $B_n$ が作用する。
この記事では、組紐モノイダル圏を定義し、逆向きの組紐・単位対象との両立・Yang–Baxter 方程式・組紐群の作用を証明する。例として次数付きベクトル空間の組紐を双指標で分類し、対称でない組紐の例を与え、準三角 Hopf 代数の表現の圏と、モノイダル圏の中心が組紐モノイダル圏になることを示す。
定義
モノイダル圏の記号は モノイダル圏 の定義「モノイダル圏」に従う。結合同型は $\alpha_{X,Y,Z}\colon(X\otimes Y)\otimes Z\to X\otimes(Y\otimes Z)$、左右の単位同型は $\lambda_X\colon I\otimes X\to X$、$\rho_X\colon X\otimes I\to X$ である。
モノイダル圏 $\mathcal C$ の組紐（braiding）とは、自然同型の族
$$
\beta_{X,Y}\colon X\otimes Y\xrightarrow{\ \sim\ }Y\otimes X
$$
で、すべての対象 $X,Y,Z$ について次の 2 つの六角形公理を満たすものである。
$$
\alpha_{Y,Z,X}\circ\beta_{X,Y\otimes Z}\circ\alpha_{X,Y,Z}=(1_Y\otimes\beta_{X,Z})\circ\alpha_{Y,X,Z}\circ(\beta_{X,Y}\otimes1_Z)\colon(X\otimes Y)\otimes Z\to Y\otimes(Z\otimes X),
$$
$$
\alpha^{-1}_{Z,X,Y}\circ\beta_{X\otimes Y,Z}\circ\alpha^{-1}_{X,Y,Z}=(\beta_{X,Z}\otimes1_Y)\circ\alpha^{-1}_{X,Z,Y}\circ(1_X\otimes\beta_{Y,Z})\colon X\otimes(Y\otimes Z)\to(Z\otimes X)\otimes Y.
$$
組紐を備えたモノイダル圏を組紐モノイダル圏という。さらにすべての $X,Y$ で $\beta_{Y,X}\circ\beta_{X,Y}=1_{X\otimes Y}$ が成り立つとき、$\beta$ は対称であるといい、$\mathcal C$ を対称モノイダル圏という。
これは モノイダル圏 の定義「組紐付きモノイダル圏と対称モノイダル圏」の六角形公理を式で書いたものであり、EGNO15 Definition 8.1.1・8.1.12（pp. 195, 197）と同じである。厳格モノイダル圏では、六角形公理は
$$
\beta_{X,Y\otimes Z}=(1_Y\otimes\beta_{X,Z})\circ(\beta_{X,Y}\otimes1_Z),\qquad
\beta_{X\otimes Y,Z}=(\beta_{X,Z}\otimes1_Y)\circ(1_X\otimes\beta_{Y,Z})
$$
となる。$X$ を $Y\otimes Z$ の向こうへ移すことは、$X$ を $Y$、$Z$ の順に 1 つずつ移すことと同じだ、という要請である。Mac98 §XI.1（pp. 252–253）は、これに単位対象との両立 $\lambda_X\circ\beta_{X,I}=\rho_X$ を加えて組紐を定義しているが、これは六角形公理から従う（prop-braided-unit）。
直感
$X_1\otimes\cdots\otimes X_n$ の各因子を、下から上へ伸びる紐と考える。$\beta_{X,Y}$ は左の紐 $X$ が右の紐 $Y$ の上を越えて右へ移る交差、$\beta_{Y,X}^{-1}$ は $X$ が $Y$ の下をくぐって右へ移る交差である。六角形公理は「1 本の紐が 2 本の束を越えることは、1 本ずつ越えることと同じ」という図の等式であり、自然性は「紐の途中についた射は交差の前後へ滑らせてよい」という等式である。平面の図では上と下の交差は区別されるので、$\beta_{Y,X}\circ\beta_{X,Y}$（2 回越える）は一般に恒等射ではない。対称モノイダル圏は、上下の区別がない（紐の端点が平面ではなく 3 次元以上の空間を動き、交差がほどける）場合にあたる。
基本性質
$\beta$ が $\mathcal C$ の組紐なら、$\bar\beta_{X,Y}:=\beta_{Y,X}^{-1}\colon X\otimes Y\to Y\otimes X$ も $\mathcal C$ の組紐である。$\beta$ が対称であることと $\bar\beta=\beta$ は同値である。
$\bar\beta$ は自然同型である。$\beta$ の第 2 の六角形公理の両辺の逆をとると
$$
\alpha_{X,Y,Z}\circ\beta^{-1}_{X\otimes Y,Z}\circ\alpha_{Z,X,Y}=(1_X\otimes\beta^{-1}_{Y,Z})\circ\alpha_{X,Z,Y}\circ(\beta^{-1}_{X,Z}\otimes1_Y)\colon(Z\otimes X)\otimes Y\to X\otimes(Y\otimes Z)
$$
である。$\beta^{-1}_{X\otimes Y,Z}=\bar\beta_{Z,X\otimes Y}$、$\beta^{-1}_{Y,Z}=\bar\beta_{Z,Y}$、$\beta^{-1}_{X,Z}=\bar\beta_{Z,X}$ と書き直し、文字を $(Z,X,Y)\mapsto(X,Y,Z)$ と付け替えると、これは $\bar\beta$ の第 1 の六角形公理である。同様に、$\beta$ の第 1 の六角形公理の逆は $\bar\beta$ の第 2 の六角形公理になる。最後の主張は定義から明らかである。$\square$
$\bar\beta$ を備えた圏を $\mathcal C$ の逆（reverse）といい、$\mathcal C^{\mathrm{rev}}$ と書く（EGNO15 Definition 8.1.4・Exercise 8.1.5、pp. 195–196）。
組紐モノイダル圏では、すべての $X$ について
$$
\lambda_X\circ\beta_{X,I}=\rho_X,\qquad\rho_X\circ\beta_{I,X}=\lambda_X
$$
が成り立つ。とくに $\beta_{I,X}=\beta_{X,I}^{-1}$ である。
任意のモノイダル圏で成り立つ等式 $\lambda_{A\otimes B}\circ\alpha_{I,A,B}=\lambda_A\otimes1_B$（Kelly による。EGNO15 Proposition 2.2.4、p. 24）を使う。第 1 の六角形公理で $Y=I$ とおき、左から $\lambda_{Z\otimes X}$ を合成する。
左辺は、上の等式、$\beta$ の第 2 変数についての自然性 $(\lambda_Z\otimes1_X)\circ\beta_{X,I\otimes Z}=\beta_{X,Z}\circ(1_X\otimes\lambda_Z)$、三角形公理 $(1_X\otimes\lambda_Z)\circ\alpha_{X,I,Z}=\rho_X\otimes1_Z$ を順に使って
$$
\lambda_{Z\otimes X}\circ\alpha_{I,Z,X}\circ\beta_{X,I\otimes Z}\circ\alpha_{X,I,Z}=\beta_{X,Z}\circ(\rho_X\otimes1_Z)
$$
となる。右辺は、$\lambda$ の自然性と上の等式から
$$
\lambda_{Z\otimes X}\circ(1_I\otimes\beta_{X,Z})\circ\alpha_{I,X,Z}\circ(\beta_{X,I}\otimes1_Z)=\beta_{X,Z}\circ\bigl((\lambda_X\circ\beta_{X,I})\otimes1_Z\bigr)
$$
となる。$\beta_{X,Z}$ は同型なので $\rho_X\otimes1_Z=(\lambda_X\circ\beta_{X,I})\otimes1_Z$ である。$Z=I$ とおくと、$\rho$ の自然性により射 $g\colon X\to Y$ について $g\otimes1_I=\rho_Y^{-1}\circ g\circ\rho_X$ だから、$g\otimes1_I$ は $g$ を決める。よって $\lambda_X\circ\beta_{X,I}=\rho_X$ である。
この等式を逆向きの組紐 $\bar\beta$（prop-braided-reverse）に当てると $\lambda_X\circ\beta_{I,X}^{-1}=\rho_X$、すなわち $\rho_X\circ\beta_{I,X}=\lambda_X$ を得る。2 つの等式から $\beta_{I,X}=\rho_X^{-1}\circ\lambda_X=\beta_{X,I}^{-1}$ である。$\square$
この命題は EGNO15 Exercise 8.1.6（p. 196）の主張である。
Yang–Baxter 方程式と組紐群の作用
以下、記号を簡単にするため $\mathcal C$ を厳格モノイダル圏とし、$\otimes$ を省いて $XYZ$ などと書く。一般の組紐モノイダル圏は、組紐ごと厳格なものと同値にでき（Mac Lane の厳格化定理による。Mac98 §XI.3 Theorem 1、p. 257 と、組紐の移し方は §XI.5 Theorem 1 の証明の冒頭、p. 264。この記事では証明しない）、以下の主張は結合同型を補った形でも成り立つ。この記事では厳格な場合だけを証明する。
厳格な組紐モノイダル圏の任意の対象 $X,Y,Z$ について、$XYZ\to ZYX$ の射として
$$
(\beta_{Y,Z}\otimes1_X)\circ(1_Y\otimes\beta_{X,Z})\circ(\beta_{X,Y}\otimes1_Z)=(1_Z\otimes\beta_{X,Y})\circ(\beta_{X,Z}\otimes1_Y)\circ(1_X\otimes\beta_{Y,Z})
$$
が成り立つ。
第 1 の六角形公理により、左辺の右側の 2 つの因子の合成は $\beta_{X,YZ}$ なので、左辺は $(\beta_{Y,Z}\otimes1_X)\circ\beta_{X,YZ}$ である。$\beta_{X,-}$ の自然性を射 $\beta_{Y,Z}\colon YZ\to ZY$ に当てると
$$
(\beta_{Y,Z}\otimes1_X)\circ\beta_{X,YZ}=\beta_{X,ZY}\circ(1_X\otimes\beta_{Y,Z})
$$
である。再び第 1 の六角形公理により $\beta_{X,ZY}=(1_Z\otimes\beta_{X,Y})\circ(\beta_{X,Z}\otimes1_Y)$ なので、右辺が得られる。$\square$
これは EGNO15 Proposition 8.1.10（p. 196）である。紐の図では、3 本の紐の交差の順序を入れ替えても絡み方が変わらないこと（第 3 Reidemeister 移動）にあたる。
厳格な組紐モノイダル圏の対象 $X$ と $n\ge2$ について、
$$
\sigma_i\longmapsto s_i:=1_X^{\otimes(i-1)}\otimes\beta_{X,X}\otimes1_X^{\otimes(n-i-1)}\qquad(1\le i\le n-1)
$$
は、組紐群 $B_n$ から自己同型群 $\operatorname{Aut}(X^{\otimes n})$ への群準同型に一意に延びる。$\beta$ が対称なら、この準同型は対称群 $\mathfrak S_n$ を経由する。
$B_n$ は $\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1}$ を生成元とし、$\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i$（$|i-j|\ge2$）と $\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}$ を定義関係とする群である（Artin の表示。組紐群 の命題「標準生成元と関係式」、関係式が定義関係のすべてであることは Mac98 §XI.4、p. 261 による。この記事では証明しない）。したがって $s_i$ がこれらの関係式を満たすことを示せばよい。
$|i-j|\ge2$ なら、$s_i$ と $s_j$ は互いに重ならない位置の因子 $XX$ に $\beta_{X,X}$ を当て、ほかの位置に恒等射を当てる射である。$\otimes$ は双関手なので $(f\otimes1)\circ(1\otimes g)=f\otimes g=(1\otimes g)\circ(f\otimes1)$ が成り立ち（モノイダル圏 の命題「テンソル積の交換法則」）、$s_is_j=s_js_i$ となる。$s_is_{i+1}s_i=s_{i+1}s_is_{i+1}$ は、thm-braided-yang-baxter で $X=Y=Z$ とした等式の両側に $1_X^{\otimes(i-1)}$ と $1_X^{\otimes(n-i-2)}$ をテンソルしたものである。
$\beta$ が対称なら $s_i^2=1$ である。$\mathfrak S_n$ は互換 $\tau_i=(i\ i+1)$ を生成元とし、上の 2 種類の関係式と $\tau_i^2=1$ を定義関係とする群なので（Mac98 §XI.4 の (4)・(5)、pp. 261–262）、準同型は $\sigma_i\mapsto\tau_i$ を経由する。$\square$
この構成は Mac98 §XI.5 Theorem 1 の証明（p. 264）と EGNO15 Remark 8.2.5（p. 198）にある。逆に、組紐群 $B_n$ を $n\to n$ の射の全体とし、紐を横に並べることをテンソル積とする組紐の圏 $\mathbb B$ は、交差 $\gamma_{m,n}\colon m+n\to n+m$ を組紐とする厳格な組紐モノイダル圏で、$B_2\cong\mathbb Z$ により対称でない（Mac98 §XI.4、pp. 262–263）。Joyal と Street は、$\mathbb B$ が 1 つの対象で生成される自由な組紐モノイダル圏であること、すなわち組紐モノイダル圏 $\mathcal M$ への組紐を保つ強モノイダル関手 $\mathbb B\to\mathcal M$ の圏が、$1$ での値をとることで $\mathcal M$ と圏同値になることを示した（Mac98 §XI.5 Theorem 1、p. 263。この記事では証明しない）。
例
集合の圏の直積、可換環 $k$ 上の加群の圏のテンソル積は、因子の入れ替え $(x,y)\mapsto(y,x)$、$x\otimes y\mapsto y\otimes x$ を組紐として対称モノイダル圏になる（モノイダル圏 の例「集合の直積」「ベクトル空間のテンソル積」）。対称でない例は次のように作れる。
$k$ を体、$\Gamma$ を可換群とし、$\Gamma$ 次数付きベクトル空間 $V=\bigoplus_{a\in\Gamma}V_a$ と次数を保つ線形写像の圏を $\mathrm{Vec}_\Gamma$ とする。テンソル積を $(V\otimes W)_c=\bigoplus_{a+b=c}V_a\otimes W_b$ とし、結合同型・単位同型は通常のベクトル空間のものとする。写像 $q\colon\Gamma\times\Gamma\to k^\times$ について、斉次元 $v\in V_a$、$w\in W_b$ に対し
$$
\beta^q_{V,W}(v\otimes w):=q(a,b)\,w\otimes v
$$
と定める。このとき次が成り立つ。
- $\beta^q$ が組紐であることと、$q$ が双指標であること、すなわち $q(a+a',b)=q(a,b)q(a',b)$ かつ $q(a,b+b')=q(a,b)q(a,b')$ がすべての $a,a',b,b'$ で成り立つことは同値である。
- 組紐 $\beta^q$ が対称であることと、すべての $a,b$ で $q(a,b)q(b,a)=1$ となることは同値である。
確かめ. $\beta^q_{V,W}$ は可逆で、次数を保つ写像 $f\colon V\to V'$、$g\colon W\to W'$ について $\beta^q\circ(f\otimes g)=(g\otimes f)\circ\beta^q$ である（$f(v)$ も次数 $a$ なので同じ係数 $q(a,b)$ がかかる）。斉次元 $u\in U_a$、$v\in V_b$、$w\in W_c$ について、第 1 の六角形公理の左辺は $u\otimes(v\otimes w)$ を $q(a,b+c)$ 倍して並べ替え、右辺は $q(a,b)q(a,c)$ 倍して同じ元に並べ替える。よって $q(a,b+c)=q(a,b)q(a,c)$ ならこの公理が成り立ち、逆に $U,V,W$ を次数 $a,b,c$ に置いた $1$ 次元の空間 $k$ とすれば、公理からこの等式が従う。第 2 の公理は同じ計算で $q(a+b,c)=q(a,c)q(b,c)$ と同値である。最後に $\beta^q_{W,V}\circ\beta^q_{V,W}$ は $v\otimes w$ を $q(a,b)q(b,a)$ 倍するので、2 が従う。
$\Gamma=\mathbb Z/2\mathbb Z$、$q(a,b)=(-1)^{ab}$（$k$ の標数は $2$ でない）とすると、対称モノイダル圏である超ベクトル空間の圏が得られる（EGNO15 Example 8.2.2、p. 197）。$\Gamma$ が有限のとき、結合同型を通常のものとした骨格的な圏で、組紐が双指標と対応することは EGNO15 Exercise 8.4.4（p. 204）の主張である。$\Gamma=\mathbb Z$、$t\in k^\times$ として $q(a,b)=t^{ab}$ とおくと $\beta^q$ は組紐で、2 から対称であることと $t^2=1$ は同値である。$t^2\ne1$ なら対称でない組紐モノイダル圏になる。
$(A,R)$ を体 $k$ 上の準三角 Hopf 代数とする（量子群 の定義「準三角 Hopf 代数」）。$A$ の表現 $V,W$ について $c_{V,W}(x):=P(Rx)$（$P$ は因子の入れ替え）は表現の同型 $V\otimes W\to W\otimes V$ であり（量子群 の命題「表現の入れ替え」）、$A$ の表現の圏の組紐になる。自然性は、表現の射が $R$ の作用と $P$ の両方と可換であることから従う。
六角形公理の確かめ（厳格な形で書く）：
計算を開く
$U\otimes V\otimes W$ の上で $P_{12}$ などを第 1・2 因子の入れ替えとすると、$U\otimes(V\otimes W)\to(V\otimes W)\otimes U$ の入れ替えは $P_{23}P_{12}$ で、$(\mathrm{id}\otimes\Delta)(R)=R_{13}R_{12}$ により $c_{U,V\otimes W}=P_{23}P_{12}R_{13}R_{12}$ である。一方 $(1\otimes c_{U,W})\circ(c_{U,V}\otimes1)=P_{23}R_{23}P_{12}R_{12}$ であり、$P_{12}^{-1}R_{23}P_{12}=R_{13}$ だから両者は等しい。同様に $(\Delta\otimes\mathrm{id})(R)=R_{13}R_{23}$ から $c_{U\otimes V,W}=P_{12}P_{23}R_{13}R_{23}=(c_{U,W}\otimes1)\circ(1\otimes c_{V,W})$ である。
組紐が対称であることは $R_{21}R=1\otimes1$ と同値である（EGNO15 §8.3、pp. 198–199）。余可換な Hopf 代数（群環など）では $R=1\otimes1$ がとれ、組紐は単なる入れ替えで対称である（同 Example 8.3.4、p. 199）。
$\mathcal C$ を厳格モノイダル圏とする。中心 $\mathcal Z(\mathcal C)$ の対象は組 $(Z,\gamma)$ で、$\gamma_X\colon XZ\to ZX$ は $X$ について自然な同型の族であり、$\gamma_{XY}=(\gamma_X\otimes1_Y)\circ(1_X\otimes\gamma_Y)$ を満たすもの（半組紐）とする。射 $f\colon(Z,\gamma)\to(Z',\gamma')$ は $(f\otimes1_X)\circ\gamma_X=\gamma'_X\circ(1_X\otimes f)$ を満たす $f\colon Z\to Z'$ である。テンソル積を $(Z,\gamma)\otimes(Z',\gamma'):=(ZZ',\tilde\gamma)$、$\tilde\gamma_X:=(1_Z\otimes\gamma'_X)\circ(\gamma_X\otimes1_{Z'})$ とし、単位を $(I,1)$ とすると、$\mathcal Z(\mathcal C)$ は厳格モノイダル圏で、
$$
c_{(Z,\gamma),(Z',\gamma')}:=\gamma'_Z\colon ZZ'\to Z'Z
$$
は $\mathcal Z(\mathcal C)$ の組紐である（EGNO15 Definition 7.13.1、p. 162、Proposition 8.5.1、p. 207）。
確かめ：
計算を開く
$\tilde\gamma$ は半組紐. $\tilde\gamma_{XY}=(1\otimes\gamma'_X\otimes1)(1\otimes1\otimes\gamma'_Y)(\gamma_X\otimes1\otimes1)(1\otimes\gamma_Y\otimes1)$ で、中央の 2 つの因子は重ならない因子の組（$X,Z$ と $Y,Z'$）に作用するので交換でき、$(1\otimes\gamma'_X\otimes1)(\gamma_X\otimes1\otimes1)(1\otimes1\otimes\gamma'_Y)(1\otimes\gamma_Y\otimes1)=(\tilde\gamma_X\otimes1_Y)(1_X\otimes\tilde\gamma_Y)$ となる。テンソル積の結合性は、どちらの括弧でも $X(ZZ'Z'')\to(ZZ'Z'')X$ が $X$ を $Z,Z',Z''$ の順に越える同じ合成になることによる。射 $f\colon(Z,\gamma)\to(W,\delta)$、$g\colon(Z',\gamma')\to(W',\delta')$ について、$f$・$g$ の射の条件と交換法則から $((f\otimes g)\otimes1_X)\circ\tilde\gamma_X=(1_W\otimes\delta'_X)\circ(\delta_X\otimes1_{W'})\circ(1_X\otimes f\otimes g)$ となるので、$f\otimes g$ も $\mathcal Z(\mathcal C)$ の射である。
$c$ は $\mathcal Z(\mathcal C)$ の射. $(\gamma'_Z\otimes1_X)\circ\tilde\gamma_X=\tilde\gamma''_X\circ(1_X\otimes\gamma'_Z)$（$\tilde\gamma''$ は $(Z',\gamma')\otimes(Z,\gamma)$ の半組紐）を示す。左辺は $\gamma'$ の半組紐の条件により $\gamma'_{ZX}\circ(\gamma_X\otimes1_{Z'})$ で、$\gamma'$ の自然性を $\gamma_X\colon XZ\to ZX$ に当てると $(1_{Z'}\otimes\gamma_X)\circ\gamma'_{XZ}=(1_{Z'}\otimes\gamma_X)(\gamma'_X\otimes1_Z)(1_X\otimes\gamma'_Z)$ となり、これは右辺である。
自然性. $f\colon(Z,\gamma)\to(W,\delta)$ については $\gamma'$ の自然性から $\gamma'_W\circ(f\otimes1)=(1\otimes f)\circ\gamma'_Z$、$g\colon(Z',\gamma')\to(W',\delta')$ については射の条件から $\delta'_Z\circ(1\otimes g)=(g\otimes1)\circ\gamma'_Z$ である。
六角形公理. $c_{(Z,\gamma),(Z',\gamma')\otimes(Z'',\gamma'')}=\tilde\gamma'_Z=(1\otimes\gamma''_Z)(\gamma'_Z\otimes1)$ と、半組紐の条件 $c_{(Z,\gamma)\otimes(Z',\gamma'),(Z'',\gamma'')}=\gamma''_{ZZ'}=(\gamma''_Z\otimes1)(1\otimes\gamma''_{Z'})$ が、厳格な形の 2 つの六角形公理そのものである。
条件を外した反例
ex-braided-graded の記号で、$k=\mathbb Q$ とする。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 組紐が対称であること | $\Gamma=\mathbb Z$、$q(a,b)=2^{ab}$ | thm-braided-braid-group の作用が対称群を経由すること |
| $q$ が双指標であること | $\Gamma=\mathbb Z/2\mathbb Z$、$q(1,1)=2$、ほかの値は $1$ | 第 1 の六角形公理（$\beta^q$ が組紐であること） |
1 行目：$q$ は双指標で $\beta^q$ は組紐である。$X=\mathbb Q$ を次数 $1$ に置くと、$X\otimes X$ は次数 $2$ の $1$ 次元空間で、$\beta^q_{X,X}$ は $2^{1\cdot1}=2$ 倍写像である。$X^{\otimes n}$（$n\ge2$）も $1$ 次元で、各 $s_i$ は $2$ 倍写像なので、$\sigma_1^2$ は $4$ 倍写像に写る。$\mathfrak S_n$ では $\tau_1^2=1$ なので、作用は $\mathfrak S_n$ を経由しない。
2 行目：$\beta^q$ は自然な同型である。$U=V=W=\mathbb Q$ をすべて次数 $1$ に置くと、第 1 の六角形公理の左辺の係数は $q(1,1+1)=q(1,0)=1$、右辺の係数は $q(1,1)^2=4$ なので、公理は成り立たない。
補足
- コヒーレンス. 対称モノイダル圏では、結合同型・単位同型・組紐から作られる 2 つの射は、因子の並べ替えを表す置換（$\mathfrak S_n$ の元）が同じなら等しい（同じ対象を並べたときは、$\beta_{X,X}$ と $1_{X\otimes X}$ のように始点と終点が同じでも置換の違う射は一般に異なる）（Mac98 §XI.1 Theorem 1、p. 253）。組紐モノイダル圏では置換が同じでも等しいとは限らず、そうした射は対応する組紐（$B_n$ の元）が等しいときに限り、すべての組紐モノイダル圏で等しくなる（Mac98 §XI.5 Theorem 2、p. 266。この記事では証明しない）。$X\otimes Y$ の上の $(\beta_{Y,X}\circ\beta_{X,Y})^m$（$m\in\mathbb Z$）がすべて異なりうることは、ex-braided-counterexamples の 1 行目で $X=Y$ としたものに見られる。
- リボン圏. 剛体的な組紐モノイダル圏に、組紐と双対の両方と両立する「ひねり」の自然同型 $\theta_X\colon X\to X$（$\theta_{X\otimes Y}=(\theta_X\otimes\theta_Y)\circ\beta_{Y,X}\circ\beta_{X,Y}$ と $(\theta_X)^*=\theta_{X^*}$ を満たすもの）を加えたものをリボン圏という（EGNO15 Definition 8.10.1、p. 216）。
関連項目
参考文献
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