幾何学的実現と有限極限

要点：1 は $k$ 化の普遍性、2 は試験写像と商位相による。

要点：$D$ への試験写像を $W$ への試験写像の制限として扱う。

$j\in[p]$ に対し $a_j:=\max\alpha^{-1}(j)$ とおく。$\alpha$ は順序を保つ全射なので $\alpha^{-1}(\{0,\dots,j\})=\{0,1,\dots,a_j\}$ であり、$a_0< a_1<\dots< a_p=n$、さらに $\alpha(i)=\min\{j\mid i\le a_j\}$ である。$\lvert\alpha\rvert$ の定義（幾何学的実現 の定義「位相的単体」）から
$$ \sum_{r=0}^{j}\lvert\alpha\rvert(t)_r=\sum_{i:\,\alpha(i)\le j}t_i=t_0+t_1+\dots+t_{a_j} $$
である。$\beta$ についても $b_j:=\max\beta^{-1}(j)$ とおけば同じ式が成り立つ。$t$ は内部の点なのですべての $t_i>0$ であり、$m\mapsto t_0+\dots+t_m$ は狭義単調増加である。よって左辺が等しいことから $a_j=b_j$（$0\le j\le p$）が従い、$\alpha$ と $\beta$ は同じ式で決まるので $\alpha=\beta$ である。$\square$

1：幾何学的実現 の補題「部分単体的集合の実現」の (R3) により、$\lvert A\rvert\to\lvert X\rvert$ は閉集合 $\lvert X\rvert_A$ への同相写像である。よって $\lvert X\rvert_A=Z$ を示せばよい。
$a\in A$ なら $\lvert f\rvert[a,t]=[f(a),t]=[g(a),t]=\lvert g\rvert[a,t]$ なので、$\lvert X\rvert_A\subset Z$ である。
逆に $z\in Z$ をとり、標準の代表を $z=[x,t]$（$x\in X_n$ は非退化、$t$ は内部の点）とする。幾何学的実現 の補題「Eilenberg–Zilber の補題」により、$f(x)=\alpha^*y$、$g(x)=\beta^*y'$（$\alpha\colon[n]\to[p]$、$\beta\colon[n]\to[p']$ は全射、$y,y'$ は非退化）と書ける。同値関係の定義から
$$ \lvert f\rvert(z)=[\alpha^*y,t]=[y,\lvert\alpha\rvert(t)],\qquad\lvert g\rvert(z)=[y',\lvert\beta\rvert(t)] $$
であり、$\alpha,\beta$ は全射なので $\lvert\alpha\rvert(t)$、$\lvert\beta\rvert(t)$ は内部の点である（幾何学的実現 の節「位相的単体と特異単体的集合」）。つまりこれらは $\lvert f\rvert(z)$、$\lvert g\rvert(z)$ の標準の代表である。$\lvert f\rvert(z)=\lvert g\rvert(z)$ と標準の代表の一意性から $y=y'$（とくに $p=p'$）かつ $\lvert\alpha\rvert(t)=\lvert\beta\rvert(t)$ であり、lem-grfl-cut により $\alpha=\beta$ である。したがって $f(x)=\alpha^*y=g(x)$、すなわち $x\in A$ で、$z=[x,t]\in\lvert X\rvert_A$ である。
2：$Z$ は $k$-空間 $\lvert X\rvert$ の閉集合なので、lem-grfl-closed-subspace により $k$-空間であり、Hausdorff 空間の部分空間として Hausdorff である。$\mathbf{Top}$ での等化子は部分空間 $Z$ とその包含であり、$Z$ は $k$-空間なので $kZ=Z$、よって lem-grfl-k-limits の 1 により $Z$ は $\mathbf K$ での等化子でもある。$\mathbf{CGHaus}$ は $\mathbf K$ の充満部分圏で $Z$ を含むので、そこでも等化子である。1 の同相写像で $Z$ を $\lvert A\rvert$ に移せば主張を得る。$\square$

段 1（有限積）：単体的集合 $X_1,\dots,X_m$ について、成分が $\lvert\mathrm{pr}_i\rvert$ である写像
$$ \theta\colon\Bigl\lvert\prod_{i=1}^mX_i\Bigr\rvert\longrightarrow\prod^{\mathbf K}_{i=1}^m\lvert X_i\rvert $$
が同相写像であることを $m$ についての帰納法で示す。$m=0$ では両辺とも 1 点、$m=1$ では恒等写像である。$m\ge2$ では $\prod_{i\le m}X_i=\bigl(\prod_{i< m}X_i\bigr)\times X_m$ であり、幾何学的実現と積(Milnorの定理) の定理「幾何学的実現と積」により、成分が $\lvert\mathrm{pr}\rvert$ である
$$ \Bigl\lvert\bigl(\textstyle\prod_{i< m}X_i\bigr)\times X_m\Bigr\rvert\longrightarrow\Bigl\lvert\textstyle\prod_{i< m}X_i\Bigr\rvert\times_k\lvert X_m\rvert $$
は同相写像である。帰納法の仮定と $\times_k$ の関手性により、右辺は $\bigl(\prod^{\mathbf K}_{i< m}\lvert X_i\rvert\bigr)\times_k\lvert X_m\rvert$ と同相であり、これは $\mathbf K$ の積の普遍性により $\prod^{\mathbf K}_{i\le m}\lvert X_i\rvert$ である。合成の各成分は $\lvert\mathrm{pr}_i\rvert$ なので、合成は $\theta$ に一致する。
段 2（極限を等化子で書く）：極限(圏論) の命題「積と等化子による構成」の証明のとおり、
$$ P=\prod_{j\in\operatorname{Ob}J}D(j),\qquad Q=\prod_{u\colon j\to j'}D(j') $$
（$Q$ は $J$ のすべての射 $u$ にわたる積）とおき、$s,t\colon P\rightrightarrows Q$ を $u$ 成分が $s_u=D(u)\circ p_j$、$t_u=p_{j'}$ である写像とする（$p_j$ は $P$ の射影）。$s,t$ の等化子 $e\colon L\to P$ と $\pi_j:=p_j\circ e$ の組は $D$ の極限である。$J$ は有限圏なので $P,Q$ は有限個の積である。
段 3（実現する）：prop-grfl-equalizer により、$\lvert e\rvert\colon\lvert L\rvert\to\lvert P\rvert$ は $\lvert s\rvert,\lvert t\rvert$ の $\mathbf K$ での等化子である。段 1 の同相写像を $\theta_P\colon\lvert P\rvert\to P':=\prod^{\mathbf K}_j\lvert D(j)\rvert$、$\theta_Q\colon\lvert Q\rvert\to Q':=\prod^{\mathbf K}_u\lvert D(j')\rvert$ とし、$s',t'\colon P'\rightrightarrows Q'$ を $u$ 成分が $s'_u=\lvert D(u)\rvert\circ\mathrm{pr}_j$、$t'_u=\mathrm{pr}_{j'}$ の写像とする。$u$ 成分を比べると
$$ \mathrm{pr}_u\circ\theta_Q\circ\lvert s\rvert=\lvert p^Q_u\circ s\rvert=\lvert D(u)\rvert\circ\lvert p_j\rvert=\lvert D(u)\rvert\circ\mathrm{pr}_j\circ\theta_P $$
（$p^Q_u$ は $Q$ の射影）なので $\theta_Q\circ\lvert s\rvert=s'\circ\theta_P$ であり、同様に $\theta_Q\circ\lvert t\rvert=t'\circ\theta_P$ である。$\theta_P,\theta_Q$ は同相写像なので、$\theta_P\circ\lvert e\rvert\colon\lvert L\rvert\to P'$ は $s',t'$ の $\mathbf K$ での等化子である。
段 4（結論）：$s',t'$ は段 2 と同じ形の、図式 $\lvert D\rvert$ についての写像である。極限(圏論) の命題「積と等化子による構成」の証明を $\mathbf K$ で $\lvert D\rvert$ に当てはめると、$\theta_P\circ\lvert e\rvert$ と成分 $\mathrm{pr}_j\circ\theta_P\circ\lvert e\rvert=\lvert p_j\circ e\rvert=\lvert\pi_j\rvert$ の組は $\lvert D\rvert$ の $\mathbf K$ での極限である。これは比較写像 $\varphi_D$ が同相写像であることにほかならない。$\square$

要点：$k$ 化は台集合を変えない。

要点：$\lvert Z\rvert$ が Hausdorff なので、一致する点の集合は閉集合で $k$ 化が要らない。

要点：Hausdorff 性は有限個の積・部分空間・$k$ 化で保たれる。