Quotスキーム

同義語：Quot scheme

概要

前提知識: Hilbertスキーム, 連接層, 平坦射, 表現可能関手, Hilbert多項式

Quot スキーム（Quot scheme）は、固定した連接層 $\mathcal{E}$ の商層の平坦な族を分類するスキームである。Hilbertスキームが閉部分スキーム $Z\subset X$、すなわち構造層の商 $\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_Z$ を分類するのに対し、Quot スキームは $\mathcal{O}_X$ を任意の連接層 $\mathcal{E}$ に取り替えて、全射 $\mathcal{E}\to\mathcal{F}$ を分類する。Grothendieck が Hilbert スキームと同時に構成したもので、射影空間・Grassmann多様体・Hilbert スキームはどれもその特別な場合である。層のモジュライ空間の構成では、層を固定した $\mathcal{E}$ の商として表し、Quot スキームの中で群の作用による商をとるのが基本の手順になる。
この記事では、Quot 関手と Quot スキームを定義し、Grothendieck の存在定理を述べる。そのうえで、構造層の Quot スキームが Hilbert スキームであること、底のスキームの上の階数 $1$ の商の Quot スキームが射影空間であることを証明する。さらに、Quot スキームの点 $[q\colon\mathcal{E}\to\mathcal{F}]$ での接空間が $\operatorname{Hom}(\mathcal{K},\mathcal{F})$（$\mathcal{K}=\ker q$）であることを、1 次の変形の分類として証明する。

定義

以下、$S$ を Noether スキームとし、$S$ 上の局所 Noether スキームのなす圏を $\mathrm{Sch}_S$ と書く。$X\to S$ を有限型の射、$\mathcal{E}$ を $X$ 上の連接層とする。$T\in\mathrm{Sch}_S$ について $X_T:=X\times_ST$ とおき、射影 $X_T\to X$ による $\mathcal{E}$ の引き戻しを $\mathcal{E}_T$ と書く。

商の族

$T\in\mathrm{Sch}_S$ に対し、$T$ で径数づけられた $\mathcal{E}$ の 商の族 とは、組 $(\mathcal{F},q)$ であって次をみたすものをいう。

$\mathcal{F}$ は $X_T$ 上の連接層で、$T$ 上平坦であり、その台（零化イデアル層 $\operatorname{Ann}\mathcal{F}$ の定める閉部分スキーム）は $T$ 上固有（固有射）である。
$q\colon\mathcal{E}_T\to\mathcal{F}$ は $\mathcal{O}_{X_T}$ 線形な全射である。
2 つの族 $(\mathcal{F},q)$、$(\mathcal{F}',q')$ は $\ker q=\ker q'$ のとき同値であるといい、同値類を $\langle\mathcal{F},q\rangle$ と書く。

$\ker q=\ker q'$ であることは、同型 $f\colon\mathcal{F}\to\mathcal{F}'$ で $f\circ q=q'$ となるものがあることと同値である。実際、核が等しければ $\mathcal{F}\cong\mathcal{E}_T/\ker q=\mathcal{E}_T/\ker q'\cong\mathcal{F}'$ がそのような $f$ を与え、逆に $f$ があれば $\ker q'=\ker(f\circ q)=\ker q$ である。したがって商の族の同値類は、商層 $\mathcal{F}$ ではなく部分層 $\ker q\subset\mathcal{E}_T$ で決まる。
$S$ 射 $h\colon T'\to T$ について、$\mathrm{id}_X\times h\colon X_{T'}\to X_T$ による引き戻し $h^*q\colon\mathcal{E}_{T'}\to h^*\mathcal{F}$ は、テンソル積の右完全性により全射であり、$h^*\mathcal{F}$ は平坦性の底変換により $T'$ 上平坦で、その台は固有性の底変換により $T'$ 上固有である。引き戻しは同値と両立するので、次の関手が定まる（Nit05 §1、pp. 3–4）。

Quot 関手

$T\in\mathrm{Sch}_S$ に $T$ で径数づけられた $\mathcal{E}$ の商の族の同値類全体の集合を対応させ、$S$ 射 $T'\to T$ に引き戻しを対応させる反変関手
$$ \mathcal{Q}uot_{\mathcal{E}/X/S}\colon\mathrm{Sch}_S^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set} $$
を Quot 関手 という。

$X$ 上の可逆層 $L$ を固定する。$t\in T$ でのファイバー $X_t$ 上の連接層 $\mathcal{F}_t:=\mathcal{F}|_{X_t}$ の台は $\kappa(t)$ 上固有なので、$L_t:=L|_{X_t}$ に関する Hilbert 多項式
$$ \Phi_t(m)=\chi(\mathcal{F}_t\otimes L_t^{\otimes m})=\sum_{i\ge0}(-1)^i\dim_{\kappa(t)}H^i(X_t,\mathcal{F}_t\otimes L_t^{\otimes m}) $$
が定まる（Hilbert多項式）。$\mathcal{F}$ が $T$ 上平坦なら $t\mapsto\Phi_t$ は $T$ 上局所定数である。そこで多項式 $\Phi\in\mathbb{Q}[\lambda]$ ごとに、すべての $t\in T$ で $\Phi_t=\Phi$ となる族だけからなる部分関手 $\mathcal{Q}uot^{\Phi,L}_{\mathcal{E}/X/S}$ をとると、Quot 関手はその余積
$$ \mathcal{Q}uot_{\mathcal{E}/X/S}=\coprod_{\Phi\in\mathbb{Q}[\lambda]}\mathcal{Q}uot^{\Phi,L}_{\mathcal{E}/X/S} $$
に分かれる（Nit05 節「Stratification by Hilbert Polynomials」、p. 4）。

Quot スキーム

$S$ スキーム $Q$ が $\mathcal{Q}uot^{\Phi,L}_{\mathcal{E}/X/S}$ を表現する（表現可能関手）とき、すなわち関手の同型 $\operatorname{Hom}_S(-,Q)\cong\mathcal{Q}uot^{\Phi,L}_{\mathcal{E}/X/S}$ があるとき、$Q$ を $\operatorname{Quot}^{\Phi,L}_{\mathcal{E}/X/S}$ と書き、Quot スキーム という。恒等射 $\mathrm{id}_Q$ に対応する族 $\langle\mathcal{F}_{\mathrm{univ}},q_{\mathrm{univ}}\rangle$ を 普遍商 という。任意の族は、ただ 1 つの $S$ 射 $\varphi\colon T\to Q$ による普遍商の引き戻しである。

体 $\kappa$ に値をとる $Q$ の点は、$X_\kappa$ 上の全射 $q\colon\mathcal{E}_\kappa\to\mathcal{F}$（$\mathcal{F}$ の台は固有で、Hilbert 多項式は $\Phi$）の同値類と 1 対 1 に対応する。これを点 $[q]$ と書く。

存在定理

Grothendieck の存在定理

$S$ を Noether スキーム、$X\to S$ を射影射、$L$ を $X$ 上の $S$ 上非常に豊富な可逆層とする。任意の連接層 $\mathcal{E}$ と任意の $\Phi\in\mathbb{Q}[\lambda]$ について、$\mathcal{Q}uot^{\Phi,L}_{\mathcal{E}/X/S}$ は $S$ 上射影的なスキーム $\operatorname{Quot}^{\Phi,L}_{\mathcal{E}/X/S}$ で表現される。

存在定理の出典と証明の筋

この記事では証明しない。言明は Nit05 定理 5.1（p. 24）にある。$X$ が $\mathbb{P}^n_S$ の閉部分スキームで $\mathcal{E}$ が $\mathcal{O}_X(\nu)^{\oplus p}$ の商である場合（定理 5.3）を含む Altman–Kleiman の形（定理 5.2）が §5 で証明され、一般の形への導き方が §5 の末尾（p. 27）にある。$X\to S$ が準射影的なら、$\operatorname{Quot}^{\Phi,L}_{\mathcal{E}/X/S}$ は $S$ 上準射影的なスキームとして存在する（同定理 6.3、p. 29）。
証明の筋は次のとおりである。Castelnuovo–Mumford正則性の一様な評価（Nit05 定理 2.3、p. 11）により、$\Phi$ と $\mathcal{E}$ で決まる整数 $r$ があって、Hilbert 多項式 $\Phi$ の商 $q\colon\mathcal{E}\to\mathcal{F}$ はどれも、$H^0(\mathcal{E}(r))$ の $\Phi(r)$ 次元の商 $H^0(\mathcal{F}(r))$ で決まる（$S$ が体の場合。一般には $S$ の各点のファイバーで同じことが成り立つ）。こうして Quot 関手をGrassmann多様体の部分関手として埋め込み、平坦化の層別（同定理 4.3、p. 19）で像を局所閉部分スキームとして切り出す。像が閉であることは付値判定法で確かめる。

$\mathcal{E}\to\mathcal{G}$ が連接層の全射なら、$\mathcal{G}$ の商は $\mathcal{E}$ の商とみなせ、$\mathcal{Q}uot^{\Phi,L}_{\mathcal{G}/X/S}\to\mathcal{Q}uot^{\Phi,L}_{\mathcal{E}/X/S}$ は閉埋め込みである（Nit05 補題 5.4 (ii)、p. 25）。

基本の例

構造層の商と Hilbert スキーム

構造層の Quot スキームは Hilbert スキーム

$X\to S$ を有限型の射とする。$T\in\mathrm{Sch}_S$ について、閉部分スキーム $Z\subset X_T$ に商 $\langle\mathcal{O}_Z,\ \mathcal{O}_{X_T}\to\mathcal{O}_Z\rangle$ を対応させると、$T$ について自然な全単射
$$ \{\,Z\subset X_T\text{ 閉部分スキーム}\mid Z\to T\text{ は平坦かつ固有}\,\}\ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \mathcal{Q}uot_{\mathcal{O}_X/X/S}(T) $$
が得られる。とくに $X\to S$ が射影的なら $\operatorname{Quot}^{\Phi,L}_{\mathcal{O}_X/X/S}=\operatorname{Hilb}^{\Phi}_{X/S}$ である。

$\langle\mathcal{F},q\rangle\in\mathcal{Q}uot_{\mathcal{O}_X/X/S}(T)$ について、$\mathcal{I}:=\ker q$ は $\mathcal{O}_{X_T}$ の準連接なイデアル層であり、閉部分スキーム $Z:=V(\mathcal{I})$ を定める。$q$ は同型 $\mathcal{O}_Z=\mathcal{O}_{X_T}/\mathcal{I}\cong\mathcal{F}$ を誘導するので、$\mathcal{F}$ の $T$ 上の平坦性は $Z\to T$ の平坦性と同じであり、$\mathcal{F}\cong\mathcal{O}_Z$ の零化イデアル層は $\mathcal{I}$ なので、$\mathcal{F}$ の台は $Z$ そのものであり、台が $T$ 上固有であることは $Z\to T$ が固有であることと同じである。同値類は核 $\mathcal{I}$ で決まり、$\mathcal{I}$ は $Z$ で決まるので、$\langle\mathcal{F},q\rangle\mapsto Z$ は well-defined な単射で、冒頭の対応の逆である。引き戻しについては、$X_{T'}\to X_T$ による $\mathcal{O}_{X_T}\to\mathcal{O}_Z$ の引き戻しが $\mathcal{O}_{X_{T'}}\to\mathcal{O}_{Z\times_TT'}$ であることから自然性が従う。$X\to S$ が射影的なら閉部分スキームは自動的に $T$ 上固有であり、右辺の Hilbert 多項式 $\Phi$ の部分は Hilbertスキームの Hilbert 関手 $\mathcal{H}ilb^\Phi_{X/S}$ と一致する。$\square$

底の上の商：射影空間

$X=S$（恒等射）の場合、$\mathcal{E}$ の商の族は $T$ 上の連接層 $\mathcal{F}$ で $T$ 上平坦なものへの全射 $\mathcal{E}_T\to\mathcal{F}$ である（台は閉なので自動的に $T$ 上固有）。このとき Hilbert 多項式は定数 $\dim_{\kappa(t)}\mathcal{F}\otimes\kappa(t)$ である。

底の上の平坦な商は局所自由

$T$ を局所 Noether スキーム、$\mathcal{F}$ を $T$ 上平坦な連接層とし、すべての $t\in T$ で $\dim_{\kappa(t)}\mathcal{F}\otimes\kappa(t)=d$ とする。このとき $\mathcal{F}$ は階数 $d$ の局所自由層である。逆に階数 $d$ の局所自由層は平坦で、各点のファイバーの次元は $d$ である。

局所自由層の定理「局所自由層の特徴づけ」により、局所 Noether スキーム上の連接層が平坦であることと有限階数の局所自由層であることは同値である。その証明が示すとおり、点 $t$ の近傍での階数は茎 $\mathcal{F}_t$ の階数、すなわち中山の補題により $\dim_{\kappa(t)}\mathcal{F}_t\otimes\kappa(t)=d$ である。逆は自由加群が平坦であることと、$\mathcal{O}_T^{\oplus d}\otimes\kappa(t)=\kappa(t)^{\oplus d}$ による。$\square$

階数 $1$ の商と射影空間

$A$ を Noether 環、$S=\operatorname{Spec}A$、$n\ge0$ とする。$T\in\mathrm{Sch}_S$ と $S$ 射 $\varphi\colon T\to\mathbb{P}^n_A$ に、全射 $\mathcal{O}_T^{\oplus n+1}\to\varphi^*\mathcal{O}(1)$、$e_i\mapsto\varphi^*x_i$ の同値類を対応させると、$T$ について自然な全単射
$$ \operatorname{Hom}_S(T,\mathbb{P}^n_A)\ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \mathcal{Q}uot^{1}_{\mathcal{O}_S^{\oplus n+1}/S/S}(T) $$
が得られる（$\Phi=1$ は定数多項式）。すなわち $\operatorname{Quot}^1_{\mathcal{O}_S^{\oplus n+1}/S/S}=\mathbb{P}^n_A$ であり、普遍商は $\mathcal{O}^{\oplus n+1}_{\mathbb{P}^n}\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)$、$e_i\mapsto x_i$ である。

生成する切断による射の記述

lem-quot-locally-free により、右辺の族 $\langle\mathcal{L},q\rangle$ の $\mathcal{L}$ は可逆層であり、全射 $q$ は $\mathcal{L}$ を生成する $n+1$ 個の大域切断 $s_i:=q(e_i)$ と同じものである。$\langle\mathcal{L},q\rangle=\langle\mathcal{L}',q'\rangle$ は、同型 $f\colon\mathcal{L}\to\mathcal{L}'$ で $f(s_i)=s'_i$ となるものがあることと同値である（def-quot-family の後の注意）。一方、Har77 II, Theorem 7.1（p. 150）によれば、$A$ 射 $T\to\mathbb{P}^n_A$ は、可逆層 $\mathcal{L}$ とそれを生成する大域切断 $s_0,\dots,s_n$ の組を、$s_i$ を $s'_i$ に写す同型で同一視したものとちょうど 1 対 1 に対応し、$\varphi$ には $(\varphi^*\mathcal{O}(1),\varphi^*x_i)$ が対応する。この 2 つを合わせると全単射が得られる。引き戻しとの両立は $(\varphi\circ h)^*x_i=h^*\varphi^*x_i$ による。$\mathrm{id}_{\mathbb{P}^n_A}$ に対応する族が普遍商である。$\square$

同じ形で、階数 $r$ の局所自由層 $\mathcal{E}$ の、階数 $d$ の局所自由層への商の Quot スキームは、$\mathcal{E}$ の相対 Grassmann 多様体 $\operatorname{Grass}(\mathcal{E},d)$ になる（Nit05 例 (2)、p. 5）。$\mathcal{E}=\mathcal{O}_S^{\oplus r}$ なら、各点 $s$ の上のファイバーは $\kappa(s)^r$ の $d$ 次元の商空間、すなわち $(r-d)$ 次元の部分空間の全体であり、Grassmann多様体 $\mathrm{Gr}(r-d,r)$ と同じものである。prop-quot-projective-space は $d=1$ の場合である。

接空間

体 $k$ 上のスキーム $Q$ の $k$ 有理点 $p$ での Zariski 接空間は、$\operatorname{Spec}k[\epsilon]$（$k[\epsilon]:=k[t]/(t^2)$）から $Q$ への $k$ 射で閉点を $p$ に写すものの全体と同一視できる（Zariski接空間の定理「接ベクトルと双対数に値をとる点」）。したがって Quot スキームの点 $[q]$ での接空間は、$k[\epsilon]$ 上の商の族で閉ファイバーが $q$ になるものの全体である。以下、$k$ を体、$X$ を局所 Noether な $k$ スキーム、$X[\epsilon]:=X\times_k\operatorname{Spec}k[\epsilon]$ とし、$X$ 上の層 $\mathcal{G}$ の $X[\epsilon]$ への引き戻しを $\mathcal{G}[\epsilon]=\mathcal{G}\oplus\epsilon\mathcal{G}$ と書く（$X[\epsilon]$ と $X$ は位相空間として同じである）。

商の 1 次の変形

$\mathcal{E}$ を $X$ 上の連接層、$q\colon\mathcal{E}\to\mathcal{F}$ を連接層への全射とする。$X[\epsilon]$ 上の全射 $q'\colon\mathcal{E}[\epsilon]\to\mathcal{F}'$ で、$\mathcal{F}'$ が $k[\epsilon]$ 上平坦であり、$k[\epsilon]\to k$ による引き戻し $q'\otimes_{k[\epsilon]}k$ が $q$ と同値であるものを、$q$ の 1 次の変形 という。2 つの 1 次の変形は核が等しいとき同じとみなす。

商の 1 次の変形と準同型

def-quot-first-order の記号のもとで、$\mathcal{K}:=\ker q$ とおく。$q$ の 1 次の変形の全体と $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{K},\mathcal{F})$ の間に自然な全単射があり、$0$ には自明な変形 $q[\epsilon]\colon\mathcal{E}[\epsilon]\to\mathcal{F}[\epsilon]$ が対応する。

平坦性を部分加群の言葉に直す

要点：変形を核 $\mathcal{K}'\subset\mathcal{E}[\epsilon]$ で表すと、平坦性は $\mathcal{K}'\cap\epsilon\mathcal{E}=\epsilon\mathcal{K}$ と同値になり、$\mathcal{K}'$ は「$f\in\mathcal{K}$ の $\epsilon$ 方向への動き」すなわち準同型 $\mathcal{K}\to\mathcal{F}$ のグラフになる。

詳しい証明を開く

$X=\operatorname{Spec}A$ がアフィンで、$\mathcal{E}$ が有限生成 $A$ 加群 $M$、$\mathcal{K}$ が部分加群 $N$、$\mathcal{F}$ が $M/N$ に対応する場合に、変形と $\operatorname{Hom}_A(N,M/N)$ の全単射で $A$ の局所化 $A\to A_a$ と両立するものを作ればよい。$A$ は Noether なので $N$ は有限表示であり、$\operatorname{Hom}_A(N,M/N)$ は局所化と交換する。変形は核の部分層で決まり、部分層も準同型も貼り合わさるので、アフィンの場合の全単射が貼り合わさって主張が得られる。

変形は $A[\epsilon]$ 部分加群 $N'\subset M[\epsilon]=M\oplus\epsilon M$ で表され、$q'\otimes_{k[\epsilon]}k$ は $M\to M/\pi(N')$（$\pi\colon M[\epsilon]\to M$ は $\epsilon\mapsto0$）なので、閉ファイバーが $q$ であるという条件は $\pi(N')=N$ である。$F':=M[\epsilon]/N'$ とおく。

段 1（平坦性の言い換え）：$\pi(N')=N$ のとき、$F'$ が $k[\epsilon]$ 上平坦であることと $N'\cap\epsilon M=\epsilon N$ は同値である。変形理論の補題「双対数の環上の平坦性」により、平坦性は $\ker(\epsilon\colon F'\to F')=\epsilon F'$ と同値である。$a+\epsilon b$ の類が $\epsilon F'$ に入ることは $a\in N$ と同値である（$a\in N$ なら $a+\epsilon b_0\in N'$ となる $b_0$ があって $[a+\epsilon b]=[\epsilon(b-b_0)]$。逆に $[a+\epsilon b]=[\epsilon c]$ なら $a+\epsilon(b-c)\in N'$ で $a=\pi(a+\epsilon(b-c))\in N$）。$\epsilon(a+\epsilon b)=\epsilon a$ なので、$\ker\epsilon=\epsilon F'$ は「$\epsilon a\in N'$ なら $a\in N$」、すなわち $N'\cap\epsilon M\subset\epsilon N$ と同値である。逆の包含 $\epsilon N\subset N'$ はつねに成り立つ（$f\in N$ について $f+\epsilon g\in N'$ をとり、$\epsilon$ を掛ける）。

段 2（変形から準同型）：$f\in N$ について $f+\epsilon g\in N'$ となる $g\in M$ を選び、$\varphi(f):=g\bmod N$ とおく。2 通りの選び方の差は $\epsilon(g-g')\in N'\cap\epsilon M=\epsilon N$ なので $\varphi(f)$ は選び方によらず、$N'$ は $A$ 加群なので $\varphi\in\operatorname{Hom}_A(N,M/N)$ である。

段 3（準同型から変形）：$\varphi\in\operatorname{Hom}_A(N,M/N)$ に対し $N'_\varphi:=\{\,f+\epsilon g\mid f\in N,\ g\bmod N=\varphi(f)\,\}$ とおく。$N'_\varphi$ は加法と $A$ 倍で閉じ、$\epsilon(f+\epsilon g)=\epsilon f=0+\epsilon f$ は $f\bmod N=0=\varphi(0)$ なので $N'_\varphi$ に属するから、$A[\epsilon]$ 部分加群である。$\pi(N'_\varphi)=N$ であり、$N'_\varphi\cap\epsilon M=\{\epsilon g\mid g\in N\}=\epsilon N$ なので、段 1 により $M[\epsilon]/N'_\varphi$ は平坦である。段 2・3 の対応は互いに逆であり、$\varphi=0$ には $N'_0=N\oplus\epsilon N$、すなわち自明な変形 $M[\epsilon]\to(M/N)[\epsilon]$ が対応する。どちらの構成も局所化と両立する。$\square$

$\mathcal{E}=\mathcal{O}_X$ なら $\mathcal{K}$ はイデアル層 $\mathcal{I}$、$\mathcal{F}=\mathcal{O}_Z$ であり、thm-quot-tangent は Hilbertスキームの定理「1 次の埋め込まれた変形と法層」の $\operatorname{Hom}(\mathcal{I},\mathcal{O}_Z)$ に一致する。

Quot スキームの接空間

$X$ を体 $k$ 上の射影スキーム、$L$ を非常に豊富な可逆層、$\mathcal{E}$ を連接層とし、$q\colon\mathcal{E}\to\mathcal{F}$ を Hilbert 多項式 $\Phi$ の商、$\mathcal{K}=\ker q$ とする。このとき $k$ 線形空間の同型
$$ T_{[q]}\operatorname{Quot}^{\Phi,L}_{\mathcal{E}/X/k}\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{K},\mathcal{F}) $$
がある。右辺は有限次元であり、$[q]$ での局所環の次元はこの次元以下である。

$\operatorname{Spec}k[\epsilon]$ の閉点を $[q]$ に写す $k$ 射は、表現可能性により $k[\epsilon]$ 上の商の族で閉ファイバーが $q$ のものに対応する（$\operatorname{Spec}k[\epsilon]$ は 1 点なので Hilbert 多項式は $\Phi$ だけであり、台は $X$ に含まれるので固有）。これは $q$ の 1 次の変形にほかならないので、thm-quot-tangent により全単射が得られる。

線形性と次元の確認

スカラー倍：$c\in k$ について $k[\epsilon]\to k[\epsilon]$、$\epsilon\mapsto c\epsilon$ による引き戻しは接ベクトルを $c$ 倍し、段 3 の $N'_\varphi$ を $N'_{c\varphi}$ に写す。和：$k[\epsilon_1,\epsilon_2]:=k[\epsilon_1,\epsilon_2]/(\epsilon_1,\epsilon_2)^2$ の上の族 $\{f+\epsilon_1g_1+\epsilon_2g_2\mid f\in N,\ g_1\equiv\varphi(f),\ g_2\equiv\psi(f)\}$ は平坦であり（局所平坦性判定の定理「局所平坦性判定の七条件」の 3 を冪零イデアル $\mathfrak{m}:=(\epsilon_1,\epsilon_2)$ に当てると、この族の商加群 $F''$ について乗法写像 $\mathfrak{m}\otimes F''\to F''$ が単射であることを示せばよい。$\mathfrak{m}^2=0$ かつ $F''/\mathfrak{m}F''=M/N$ なので $\mathfrak{m}\otimes F''\cong(M/N)^{\oplus2}$ であり、写像は $(a,b)\mapsto[\epsilon_1a+\epsilon_2b]$ である。$\epsilon_1a+\epsilon_2b$ が族に属すれば $f=0$ なので $a\equiv\varphi(0)=0$、$b\equiv\psi(0)=0$ となり、単射である）、$\epsilon_2\mapsto0$、$\epsilon_1\mapsto0$ でそれぞれ $\varphi$、$\psi$ の変形に、$\epsilon_1,\epsilon_2\mapsto\epsilon$ で $\varphi+\psi$ の変形 $N'_{\varphi+\psi}$ に写る。局所環の準同型 $\mathcal{O}\to k[\epsilon_1,\epsilon_2]$ は $a\mapsto\bar a+\epsilon_1D_1(a)+\epsilon_2D_2(a)$ の形で、2 つの射影から $D_1,D_2$ が決まり、$\epsilon_i\mapsto\epsilon$ との合成は $D_1+D_2$ を与える。よって全単射は和とスカラー倍を保つ。

$X$ は射影的なので $\mathcal{H}om(\mathcal{K},\mathcal{F})$ は連接層で、その大域切断 $\operatorname{Hom}(\mathcal{K},\mathcal{F})$ は有限次元である。Noether 局所環の次元は極大イデアルの余接空間の次元以下である（AM69 系 11.15）。$\square$

例

接空間の次元の計算

$k$ を体とする。

（Grassmann 多様体）$X=\operatorname{Spec}k$、$\mathcal{E}=k^r$、$q\colon k^r\to F$ を $d$ 次元の商とすると、$K=\ker q$ は $r-d$ 次元で、$\operatorname{Hom}_k(K,F)$ の次元は $d(r-d)$ である。これは $(r-d)$ 次元部分空間の Grassmann 多様体 $\mathrm{Gr}(r-d,r)$ の次元 $(r-d)d$ に等しい。$d=1$、$r=n+1$ なら prop-quot-projective-space の $\mathbb{P}^n$ の次元 $n$ である。
（1 点に台をもつ長さ $1$ の商）$X$ を $k$ 有理点 $x$ で非特異な $n$ 次元の多様体とし、$\mathcal{E}=\mathcal{O}_X^{\oplus r}$、$q\colon\mathcal{O}_X^{\oplus r}\to k(x)$ を $x$ の摩天楼層への全射とする。$q$ は $x$ でのファイバー $k^r$ 上の $0$ でない線形形式で決まるので、$\mathcal{O}_X^{\oplus r}$ の基底を $k$ 上の可逆行列で取り替えて $q(a_1,\dots,a_r)=a_1(x)$ としてよい。このとき $\mathcal{K}=\mathcal{I}_x\oplus\mathcal{O}_X^{\oplus r-1}$（$\mathcal{I}_x$ は $x$ のイデアル層）であり、
$$ \operatorname{Hom}(\mathcal{K},k(x))=\operatorname{Hom}(\mathcal{I}_x,k(x))\oplus k^{r-1}\cong(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^\vee\oplus k^{r-1} $$
の次元は $n+r-1$ である（$\operatorname{Hom}(\mathcal{I}_x,k(x))$ の計算は Hilbertスキームの例「接空間の次元の計算」の 1 と同じ）。これは点 $x$ を動かす $n$ 次元と、ファイバー $k^r$ の 1 次元の商（$\mathbb{P}^{r-1}$ の点）を動かす $r-1$ 次元を合わせた数である。
（Hilbert スキーム）$\mathcal{E}=\mathcal{O}_X$ なら $\operatorname{Hom}(\mathcal{I}_Z,\mathcal{O}_Z)$ であり、Hilbertスキームの系「Hilbert スキームの接空間」を再び得る。

条件を外した反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
商の平坦性	$T=\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[t]$、$X=S=T$、$\mathcal{E}=\mathcal{O}^{\oplus2}$ の 2 つの商 $\mathcal{O}$ と $\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}/(t)$	$t\ne0$ の上で一致する 2 つの商が $t=0$ で異なり、極限が 1 つに決まらない
$X$ の固有性	$X=\mathbb{A}^1_k$、$\mathcal{E}=\mathcal{O}_X$、長さ $1$ の商	点が無限遠へ逃げる族が極限をもたず、付値判定法の存在の部分が成り立たない
Hilbert 多項式を固定すること	$X=\mathbb{P}^1_k$、$\mathcal{E}=\mathcal{O}^{\oplus2}$ の商 $\mathcal{O}(m)$（$m\ge0$）	Hilbert 多項式 $\lambda+m+1$ の成分が無限個あり、全体は有限型でない

反例の確かめ

1 行目：商 $q_1\colon\mathcal{O}^{\oplus2}\to\mathcal{O}$ を第 1 成分への射影、$q_2\colon\mathcal{O}^{\oplus2}\to\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}/(t)$ を $(a,b)\mapsto(a,b\bmod t)$ とする。$q_1$ の商は自由なので平坦であり、$\mathcal{O}/(t)$ は $t$ 捩れをもつので $q_2$ の商は PID $k[t]$ 上平坦でない。$t$ を可逆にすると $\mathcal{O}/(t)=0$ となり、2 つの核はどちらも $0\oplus\mathcal{O}$ で一致する。$t=0$ でのファイバーは $1$ 次元と $2$ 次元で異なる。平坦でない族を許すと、このように $t\ne0$ の上の族から $t=0$ での極限が決まらない。

2 行目：$R:=k[t]_{(t)}$（離散付値環）、$K:=k(t)$ とし、$K$ 上の商 $\mathcal{O}\to\mathcal{O}/(tx-1)$（点 $x=1/t$）をとる。これが長さ $1$ の商の $R$ 上の族に延びたとすると、それは閉部分スキーム $V(J)\subset\mathbb{A}^1_R$（prop-quot-hilbert）で、$R$ 上平坦、生成ファイバーが $V(tx-1)$、閉ファイバーが長さ $1$ のものである。PID $R$ 上の平坦性は捩れのないことなので $J=(tx-1)K[x]\cap R[x]$ であり、$tx-1$ の係数 $-1$ は単元なので Gauss の補題により $J=(tx-1)R[x]$ である。その閉ファイバーは $V(0\cdot x-1)=\emptyset$ で長さ $0$ となり、矛盾する。よって $\mathcal{Q}uot^1_{\mathcal{O}_X/X/k}$ は付値判定法の存在の部分をみたさず、これを表現するスキームがあってもそれは $k$ 上固有でない。

3 行目：$m\ge0$ について $x_0^m,x_1^m$ は共通零点をもたないので $\mathcal{O}(m)$ を生成し、$(a,b)\mapsto ax_0^m+bx_1^m$ は全射 $\mathcal{O}^{\oplus2}\to\mathcal{O}(m)$ を与える。$\chi(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(m+\lambda))=m+\lambda+1$ なので、$m$ ごとに異なる Hilbert 多項式の空でない部分 $\operatorname{Quot}^{\lambda+m+1}$ がある。Quot 関手は Hilbert 多項式ごとの余積なので、全体は無限個の空でない開かつ閉な部分の非交和になり、準コンパクトでないので有限型でない。

補足

層のモジュライと Quot スキーム

体 $k$ 上の射影スキーム $X$ 上の連接層 $\mathcal{F}$ について、十分大きい $m$ で $\mathcal{F}(m)$ は大域切断で生成され（Har77 II, Theorem 5.17, p. 121）、$i>0$ で $H^i(X,\mathcal{F}(m))=0$ となる（同 III, Theorem 5.2, p. 228）。このとき $N:=\dim H^0(X,\mathcal{F}(m))$ は Hilbert 多項式の値 $\Phi(m)$ に等しく、$H^0(\mathcal{F}(m))$ の基底を選ぶと全射 $\mathcal{O}_X(-m)^{\oplus N}\to\mathcal{F}$、すなわち $\operatorname{Quot}^{\Phi}_{\mathcal{O}(-m)^{\oplus N}/X/k}$ の点が得られる。基底の選び方の違いは $\mathrm{GL}_N$ の作用で表されるので、同型類を分類するには Quot スキームの部分集合を群の作用で割ることになる。その商がよい性質をもつかどうかを調べるのが不変式論であり、Hilbert–Mumfordの判定法はそこでの安定性を判定する道具である。