CW近似

延長 $\Phi\colon D^k\to W$ があるとき、$H(s,u):=\Phi\bigl((1-u)s+us_0\bigr)$（$s\in S^{k-1}$、$u\in I$）は $D^k$ の凸性により定義でき、$H(\cdot,0)=\varphi$、$H(\cdot,1)$ は定値写像 $\Phi(s_0)=w_0$、$H(s_0,u)=w_0$ である。
逆に、$H\colon S^{k-1}\times I\to W$ を $H(\cdot,0)=\varphi$、$H(\cdot,1)\equiv w_0$ となるホモトピーとする。写像 $c\colon S^{k-1}\times I\to D^k$、$c(s,u):=(1-u)s$ は連続な全射で、コンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので閉写像であり、商写像である。$c$ が同一視するのは $S^{k-1}\times\{1\}$ の点どうしだけで、そこでは $H$ の値は $w_0$ で一定である。よって $\Phi(c(s,u)):=H(s,u)$ は well-defined な連続写像 $D^k\to W$ を定め、$\Phi|_{S^{k-1}}=H(\cdot,0)=\varphi$ である。$\square$

弧状連結な場合。 点 $x_0\in X$ を固定する。$k\ge1$ について、次の性質 $(\mathrm{P}_k)$ をもつ CW 複体 $Z_k$ と連続写像 $f_k\colon Z_k\to X$ を、$Z_{k-1}\subset Z_k$ が部分複体で $f_k|_{Z_{k-1}}=f_{k-1}$ となるように順に作る。

$(\mathrm{P}_k)$：$Z_k$ は次元 $k$ 以下で、$0$ 胞体はただ一つ $z_0$、$f_k(z_0)=x_0$ であり、正の次元の胞体の接着写像はどれも $z_0$ を基点とする基点付き写像である。$Z_k$ は弧状連結で、$f_{k*}\colon\pi_i(Z_k,z_0)\to\pi_i(X,x_0)$ は $1\le i< k$ で同型、$i=k$ で全射である。
$Z_k$ の各閉胞体は $D^m$ の連続像で、$m\ge1$ なら境界が $z_0$ を通る道で結べるので、弧状連結性は構成から明らかである。
第 1 段：$\pi_1(X,x_0)$ の元 $\beta$ ごとに、代表のループ $g_\beta\colon(S^1,s_0)\to(X,x_0)$ を選ぶ。一点 $z_0$ に $1$ 胞体 $e_\beta$ を両端とも $z_0$ に貼り付け、$D^1\to D^1/S^0\cong S^1$ と $g_\beta$ の合成で $f_1$ を $e_\beta$ の上に定める。$Z_1$ は円周の一点和で、$e_\beta$ を一周するループ $\iota_\beta$ について $f_{1*}[\iota_\beta]=[g_\beta]=\beta$ なので、$(\mathrm{P}_1)$ が成り立つ。
第 $k$ 段（$k\ge2$）：$(\mathrm{P}_{k-1})$ を仮定する。
(i) 核を殺す胞体：$f_{k-1*}\colon\pi_{k-1}(Z_{k-1},z_0)\to\pi_{k-1}(X,x_0)$ の核の元 $\alpha$ ごとに代表 $\varphi_\alpha\colon(S^{k-1},s_0)\to(Z_{k-1},z_0)$ を選び、これを接着写像として $k$ 胞体 $e_\alpha$ を貼り付ける。$Z_{k-1}$ は次元 $k-1$ 以下なので、その全体が $(k-1)$ 骨格であり、貼り付けた空間は CW 複体である。$[f_{k-1}\circ\varphi_\alpha]=0$ なので、lem-cwa-extension により $f_{k-1}\circ\varphi_\alpha$ は $F_\alpha\colon D^k\to X$ に延長でき、これで $f$ を $e_\alpha$ の上に延ばす。
(ii) 元を作る胞体：$\pi_k(X,x_0)$ の元 $\beta$ ごとに代表 $g_\beta\colon(S^k,s_0)\to(X,x_0)$ を選び、定値写像 $S^{k-1}\to\{z_0\}$ を接着写像として $k$ 胞体 $e_\beta$ を貼り付ける。その閉包は球面 $S^k\cong D^k/S^{k-1}$ で、包含 $\iota_\beta\colon(S^k,s_0)\to(Z_k,z_0)$ を定める。$f$ を $e_\beta$ の上では $D^k\to D^k/S^{k-1}\cong S^k\xrightarrow{g_\beta}X$ で定める。
こうしてできた CW 複体を $Z_k$、写像を $f_k$ とする。$f_k$ は各特性写像との合成が連続なので連続である（CW複体の記事の定理「胞体ごとの判定」）。$(\mathrm{P}_k)$ を確かめる。$Z_k\setminus Z_{k-1}$ の胞体は $k$ 次元なので、lem-cwa-high-cells により、包含 $\iota\colon Z_{k-1}\hookrightarrow Z_k$ は $1\le i< k-1$ で $\pi_i$ の同型、$i=k-1$ で全射を誘導する。$f_k\circ\iota=f_{k-1}$ である。

• $1\le i< k-1$：$f_{k-1*}=f_{k*}\circ\iota_*$ で $f_{k-1*}$ と $\iota_*$ が同型なので、$f_{k*}$ は同型である。
• $i=k-1$ の全射性：$f_{k-1*}=f_{k*}\circ\iota_*$ が全射なので $f_{k*}$ も全射である。
• $i=k-1$ の単射性：$f_{k*}(\gamma)=0$ となる $\gamma\in\pi_{k-1}(Z_k,z_0)$ をとる。$\iota_*$ は全射なので $\gamma=\iota_*(\alpha)$ と書け、$f_{k-1*}(\alpha)=f_{k*}(\gamma)=0$ である。よって $\alpha$ は (i) で胞体 $e_\alpha$ を貼った元であり、$\varphi_\alpha$ は $e_\alpha$ の特性写像 $D^k\to Z_k$ に延長されるので、lem-cwa-extension により $\gamma=\iota_*[\varphi_\alpha]=0$ である。$\pi_{k-1}$ は群なので（$k-1\ge1$）、核が自明なことから単射である。
• $i=k$ の全射性：$\beta\in\pi_k(X,x_0)$ について $f_{k*}[\iota_\beta]=[g_\beta]=\beta$ である。

極限。 $Z:=\bigcup_kZ_k$ に、各 $Z_k$ を $k$ 骨格とする弱位相を入れると CW 複体であり、$f|_{Z_k}:=f_k$ で定まる $f\colon Z\to X$ は「胞体ごとの判定」により連続である。$i\ge1$ をとり $k:=i+1$ とする。$Z\setminus Z_k$ の胞体の次元は $k$ より大きいので、lem-cwa-high-cells により $\pi_i(Z_k,z_0)\to\pi_i(Z,z_0)$ は同型であり、$(\mathrm{P}_k)$ により $f_{k*}\colon\pi_i(Z_k,z_0)\to\pi_i(X,x_0)$ も同型である。$f_k$ は $f$ と包含 $Z_k\hookrightarrow Z$ の合成なので、$f_{k*}$ は $f_*\colon\pi_i(Z,z_0)\to\pi_i(X,x_0)$ と同型 $\pi_i(Z_k,z_0)\to\pi_i(Z,z_0)$ の合成であり、$f_*$ は同型である。$Z$ と $X$ は弧状連結なので $\pi_0$ は一点どうしであり、弱ホモトピー同値の記事の補題「一つの基点で足りる」により、$f$ は弱ホモトピー同値である。
一般の場合。 $X$ の弧状連結成分を $X_\lambda$（$\lambda\in\Lambda$）とし、それぞれの CW 近似 $f_\lambda\colon Z_\lambda\to X_\lambda$ をとる。非交和 $Z:=\bigsqcup_\lambda Z_\lambda$ は CW 複体であり、$f:=\bigsqcup_\lambda f_\lambda\colon Z\to X$ は連続である。$Z_\lambda$ は $Z$ の弧状連結成分なので $f_*\colon\pi_0(Z)\to\pi_0(X)$ は全単射である。球面 $S^n$ と $S^n\times I$ は弧状連結なので、点 $z\in Z_\lambda$ を基点とする球面からの写像とそのホモトピーは $Z_\lambda$ に収まり、$\pi_n(Z_\lambda,z)=\pi_n(Z,z)$ であり、$X$ についても同様である。よって $f$ は各点で $\pi_n$ に同型を誘導する。$X=\emptyset$ なら $Z=\emptyset$ とすればよい。$\square$

$f'$ は弱ホモトピー同値で $Z$ は CW 複体なので、$f'_*\colon[Z,Z']\to[Z,X]$ は全単射である。よって $f'_*[h]=[f]$ となる類 $[h]$ がただ一つあり、これが存在と一意性を与える。$f'\circ h$ は弱ホモトピー同値 $f$ とホモトピックなので弱ホモトピー同値である（弱ホモトピー同値の記事の命題「ホモトピックな写像」）。$f'\circ h$ と $f'$ が弱ホモトピー同値なので、同記事の定理「2 つのうち 2 つの性質」により $h$ は弱ホモトピー同値である。$Z,Z'$ は CW 複体なので、Whiteheadの定理の記事の定理「Whitehead の定理」の 1 により $h$ はホモトピー同値である。$\square$

1：$f'_*\colon[Z,Z']\to[Z,X']$ が全単射なので、$[g\circ f]$ の逆像がただ一つある。
2：$g\simeq\tilde g$ なら $g\circ f\simeq\tilde g\circ f$ なので、1 の一意性による。$g=\operatorname{id}_X$ のとき、$h=\operatorname{id}_Z$ は $f\circ\operatorname{id}_Z=\operatorname{id}_X\circ f$ を満たすので、一意性により $h_g\simeq\operatorname{id}_Z$ である。
3：$f''\circ h_{g'}\circ h_g\simeq g'\circ f'\circ h_g\simeq g'\circ g\circ f$ なので、$h_{g'}\circ h_g$ は $g'\circ g$ について 1 の条件を満たし、一意性により $h_{g'\circ g}$ とホモトピックである。
4：$f'\circ h_g$ は $g\circ f$ とホモトピックで、$g\circ f$ は弱ホモトピー同値の合成なので弱ホモトピー同値である。thm-cwa-uniqueness の証明と同じく、「ホモトピックな写像」と「2 つのうち 2 つの性質」により $h_g$ は弱ホモトピー同値であり、Whitehead の定理によりホモトピー同値である。$\square$

連続写像 $u\colon K\to Z$ をとる。$K$ はコンパクトなので $u(K)$ は $Z$ のコンパクト部分集合であり、CW複体の記事の定理「コンパクト集合は有限部分複体に含まれる」により有限個の胞体としか交わらない。各胞体 $e$ は弧状連結な閉胞体 $\overline{e}$（$D^m$ の連続像）に含まれるので、$u(K)$ は $Z$ の有限個の弧状連結成分にしか含まれない。よって $u_*\colon\pi_0(K)\to\pi_0(Z)$ の像は有限集合である。$K$ の弧状連結成分は一点ずつで無限個あるので、$u_*$ は単射でなく、$u$ は弱ホモトピー同値でない。$\square$