森田同値

1 から 2：$I=\operatorname{Hom}_R(G,M)$ とし、成分が $x\in I$ である写像 $c\colon\bigoplus_IG\to M$ を考える。像を $N$ とし、$N\ne M$ と仮定する。商写像 $q\colon M\to M/N$ と零写像は異なるので、$qx\ne0$ となる $x\colon G\to M$ がある。しかし $x$ の像は $N$ に含まれるので $qx=0$ であり、矛盾する。よって $c$ は全射である。
2 から 1：$u\ne v\colon X\to Y$ とし、全射 $c\colon\bigoplus_IG\to X$ をとる。$uc\ne vc$ なので、ある成分の包含 $\iota_i\colon G\to\bigoplus_IG$ で $uc\iota_i\ne vc\iota_i$ となり、$x=c\iota_i$ が求めるものである。
最後の主張：$M$ への全射 $\bigoplus_IG\to M$ の核 $K$ に 2 を当て、全射 $\bigoplus_JG\to K$ と包含を合成すればよい。$\square$

標準写像は、$\varphi_i\colon P\to M_i$ の有限個以外が $0$ である族を、和 $\sum_i\iota_i\varphi_i$ に送る。これは射影 $\bigoplus_iM_i\to M_i$ を考えれば単射である。
$P$ が有限生成のとき：生成元 $p_1,\dots,p_k$ をとる。$\varphi\colon P\to\bigoplus_iM_i$ について、$\varphi(p_1),\dots,\varphi(p_k)$ の成分が零でない添字は有限個で、それを $F\subset I$ とすると $\varphi$ の像は $\bigoplus_{i\in F}M_i$ に入る。よって $\varphi$ は有限個の $\iota_i\varphi_i$ の和であり、標準写像は全射である。
逆に、標準写像がいつも全射だとする。$P$ は射影的なので、自由加群 $R^{(I)}=\bigoplus_IR$ への単射 $s$ と全射 $\pi\colon R^{(I)}\to P$ で $\pi s=\mathrm{id}_P$ となるものがある（射影加群 の定理「射影加群の特徴づけ」）。仮定から $s$ は有限個の成分の和なので、有限集合 $F\subset I$ について $s(P)\subset R^{(F)}$ である。$\pi$ の $R^{(F)}$ への制限は $\pi s=\mathrm{id}_P$ から全射なので、$P$ は有限生成である。$\square$

二つの自然変換。 右 $E$ 加群 $X$ と右 $R$ 加群 $M$ に対し、
$$ \eta_X\colon X\to H(X\otimes_EP),\quad\eta_X(x)(p):=x\otimes p;\qquad\varepsilon_M\colon H(M)\otimes_EP\to M,\quad\varepsilon_M(\varphi\otimes p):=\varphi(p) $$
とおく。$\eta_X(x)$ は $R$ 線形であり、$\eta_X(xe)(p)=xe\otimes p=x\otimes e(p)=(\eta_X(x)\cdot e)(p)$ なので $\eta_X$ は $E$ 線形である。$(\varphi\cdot e)\otimes p$ と $\varphi\otimes e(p)$ はどちらも $\varphi(e(p))$ に写るので、$\varepsilon_M$ はテンソル積の普遍性によって矛盾なく定まり、$R$ 線形である。どちらも $X$、$M$ について自然である。$\eta$ と $\varepsilon$ がすべての対象で同型であることを示せば、$HT\cong\mathrm{id}$、$TH\cong\mathrm{id}$ となり、定理が従う。
比較の原理。 加法関手 $\Phi,\Psi$ が右完全で、直和を保ち（標準写像 $\bigoplus\Phi(Y_i)\to\Phi(\bigoplus Y_i)$ が同型）、自然変換 $\alpha\colon\Phi\to\Psi$ がある対象 $C$ で同型だとする。$\alpha$ の自然性から、$\alpha_{\bigoplus C}$ は標準同型を通して $\bigoplus\alpha_C$ と一致するので同型である。完全列 $\bigoplus_JC\to\bigoplus_IC\to Y\to0$ があれば、$\Phi,\Psi$ の右完全性から
$$ \Phi\bigl(\textstyle\bigoplus_JC\bigr)\to\Phi\bigl(\textstyle\bigoplus_IC\bigr)\to\Phi(Y)\to0,\qquad\Psi\bigl(\textstyle\bigoplus_JC\bigr)\to\Psi\bigl(\textstyle\bigoplus_IC\bigr)\to\Psi(Y)\to0 $$
は完全で、$\alpha$ は左の 2 項で同型なので、余核の上の $\alpha_Y$ も同型である。
$\eta$ は同型。 $\Phi=\mathrm{id}$、$\Psi=HT$、$C=E$ とする。$T$ は右完全で直和を保ち、$H$ は $P$ が射影的なので完全で、lem-morita-small により直和を保つ。よって $HT$ は右完全で直和を保つ。同型 $E\otimes_EP\cong P$（$e\otimes p\mapsto e(p)$）を通すと $\eta_E(e)$ は $e\in\operatorname{Hom}_R(P,P)$ そのものになるので、$\eta_E$ は同型である。どの右 $E$ 加群も自由 $E$ 加群の間の写像の余核なので、比較の原理から $\eta$ は同型である。
$\varepsilon$ は同型。 $\Phi=TH$、$\Psi=\mathrm{id}$、$C=P$ とすると、$TH$ も同じ理由で右完全で直和を保つ。$H(P)=E$ なので $\varepsilon_P$ は同型 $E\otimes_EP\to P$ である。$P$ は生成子なので、lem-morita-generator により任意の $M$ は $P$ の直和の間の写像の余核である。比較の原理から $\varepsilon$ は同型である。$\square$

2 から 1：thm-morita-main により $\mathbf{Mod}\text{-}R\simeq\mathbf{Mod}\text{-}\operatorname{End}_R(P)$ であり、環の同型 $S\cong\operatorname{End}_R(P)$ は係数の付け替えによって加群の圏の同型を与える。
1 から 2：圏同値 $F\colon\mathbf{Mod}\text{-}S\to\mathbf{Mod}\text{-}R$ をとり、$P:=F(S_S)$ とする。$S_S$ は有限生成射影生成子である。これらの性質は圏の言葉で書ける：射影的であることは「エピ射に沿って射が持ち上がる」こと（加群の圏ではエピ射は全射）、生成子であることは定義そのもの、有限生成であることは lem-morita-small により「Hom が直和を保つ」ことである。圏同値はエピ射・直和・射の相等を保ち、充満忠実なので、$P$ も有限生成射影生成子である。さらに $F$ は充満忠実で合成を保つので、環の同型 $\operatorname{End}_S(S_S)\cong\operatorname{End}_R(P)$ を与える。$\operatorname{End}_S(S_S)$ は左からの掛け算 $x\mapsto sx$ の全体で、$s\mapsto(x\mapsto sx)$ は環の同型 $S\cong\operatorname{End}_S(S_S)$ である。$\square$

右 $R$ 加群は反対環 $R^{\mathrm{op}}$ 上の左加群と同じものなので、$\mathbf{Mod}\text{-}R\simeq\mathbf{Mod}\text{-}S$ は左加群の圏の同値 $R^{\mathrm{op}}\text{-}\mathbf{Mod}\simeq S^{\mathrm{op}}\text{-}\mathbf{Mod}$ である。これは加法的なので、中心(環論) の系「加群の圏が同値な環の中心」により $Z(R^{\mathrm{op}})\cong Z(S^{\mathrm{op}})$ である。中心の元はどの元とも可換なので、$Z(R^{\mathrm{op}})$ は $Z(R)$ と同じ環である。$R,S$ が可換なら $Z(R)=R$、$Z(S)=S$ である。$\square$