Chowの定理

すべての斉次成分 $f_{j,(k)}$（$1\le j\le r$、$k\ge0$）の共通零点を $W\subset\mathbb{C}^{n+1}$ とする。
$V\cap\Delta=W\cap\Delta$． $z\in\Delta$ とする。$\Delta$ は開多重円板なので、ある $\rho>1$ について、$|t|<\rho$ なら $tz\in\Delta$ である。$f_j$ の冪級数は $tz$ で絶対収束するので、同じ次数の項をまとめて
$$ f_j(tz)=\sum_{k\ge0}f_{j,(k)}(z)\,t^k\qquad(|t|<\rho) $$
を得る。右辺は $t$ の冪級数である。$z\in V$ なら、条件 1 により $|t|<1$ のすべての $t$ について $tz\in V\cap\Delta$ なので（$t=0$ では $0\in V$ による）、左辺は $|t|<1$ で恒等的に $0$ であり、冪級数の係数の一意性からすべての $f_{j,(k)}(z)$ が $0$ になる。よって $z\in W$ である。逆に $z\in W\cap\Delta$ なら、$t=1$ として $f_j(z)=\sum_kf_{j,(k)}(z)=0$ なので $z\in V$ である。
$V=W$． $W$ も斉次多項式の共通零点なので $\mathbb{C}^\times$ 倍で不変である。任意の $z\in\mathbb{C}^{n+1}$ について、十分小さい $t\ne0$ で $tz\in\Delta$ となるから、$z\in V\iff tz\in V\iff tz\in W\iff z\in W$ である。
有限個にする． Hilbertの基底定理 により $\mathbb{C}[z_0,\dots,z_n]$ は Noether環 なので、すべての $f_{j,(k)}$ が生成するイデアルは、その中の有限個 $g_1,\dots,g_s$ で生成される。各 $f_{j,(k)}$ は $g_1,\dots,g_s$ の多項式係数の一次結合なので、$W$ は $g_1,\dots,g_s$ の共通零点に等しい。$\square$

$A=\emptyset$ なら $A=V(1)$ である。$A\ne\emptyset$ とし、$Z:=\pi^{-1}(A)$ とおく。
次の定理はこの記事では証明しない。Remmert–Stein の延長定理：複素空間 $M$ の解析的部分集合 $B$ と、$M\setminus B$ の解析的部分集合 $Z$ について、ある整数 $p\ge0$ で $\dim B\le p$ かつ $Z$ の各点 $x$ で $\dim(Z,x)>p$ ならば、$Z$ の $M$ での閉包は $M$ の解析的部分集合である（Dem12 第 II 章 (8.7)、p. 118）。
これを $M=\mathbb{C}^{n+1}$、$B=\{0\}$、$p=0$ に使う。$Z$ が $\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$ の解析的部分集合であることは、$A\cap U=\{f_1=\cdots=f_r=0\}$ のとき $Z\cap\pi^{-1}(U)=\{f_1\circ\pi=\cdots=f_r\circ\pi=0\}$ で、$f_i\circ\pi$ が正則であることによる。$z\in Z$ について、$\{\lambda z\mid\lambda\in\mathbb{C}^\times\}$ は $z$ を通る 1 次元の複素部分多様体で $Z$ に含まれるので、$z$ での $Z$ の芽はこの曲線の芽を含み、$\dim(Z,z)\ge1>0$ である（次元の単調性、Dem12 第 II 章 (4.25)・(4.26)、p. 98）。よって $Z$ の閉包は $\mathbb{C}^{n+1}$ の解析的部分集合である。$Z$ は $\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$ の閉集合で、$z\in Z$ について $tz\to0$（$t\to0$）なので、閉包は $V:=Z\cup\{0\}=C(A)$ である。
$V$ は原点の近傍で有限個の正則関数の共通零点なので、原点を中心とする十分小さい開多重円板 $\Delta$ をとれば lem-chow-cone の条件 2 が成り立ち、条件 1 は $C(A)$ の定義から成り立つ。よって $V=\{g_1=\cdots=g_s=0\}$ となる斉次多項式 $g_1,\dots,g_s$ があり、$[z]\in A\iff z\in V\iff g_j(z)=0\ (\forall j)$ なので $A=V(g_1,\dots,g_s)$ である。$\square$

$Z$ を定めるイデアル層 $\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_{X^{an}}$ は局所有限生成であり、岡の連接定理 により $\mathcal{O}_{X^{an}}$ は連接なので、$\mathcal{I}$ は連接解析層である。GAGA の (3) により $\mathcal{I}\cong\mathcal{J}^{an}$ となる連接層 $\mathcal{J}$ があり、(2) により合成 $\mathcal{J}^{an}\cong\mathcal{I}\hookrightarrow\mathcal{O}_{X^{an}}=\mathcal{O}_X^{an}$ はある射 $u\colon\mathcal{J}\to\mathcal{O}_X$ の解析化である。解析化は完全なので $(\ker u)^{an}=\ker(u^{an})=0$ であり、忠実性から $\ker u=0$ である。$u$ の像を改めて $\mathcal{J}$ とおくと、$\mathcal{J}$ は $\mathcal{O}_X$ のイデアル層で $\mathcal{J}^{an}=\mathcal{I}$ である。$Y$ を $\mathcal{J}$ の定める閉部分スキームとすれば、完全性から $(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})^{an}=\mathcal{O}_{X^{an}}/\mathcal{I}$ なので $Y^{an}=Z$ である。
一意性：イデアル層 $\mathcal{J}_1,\mathcal{J}_2$ がともに $\mathcal{J}_i^{an}=\mathcal{I}$ を満たすとする。和 $\mathcal{J}'=\mathcal{J}_1+\mathcal{J}_2$ は $\mathcal{J}_1\oplus\mathcal{J}_2\to\mathcal{O}_X$ の像なので、完全性から $\mathcal{J}'^{an}=\mathcal{J}_1^{an}+\mathcal{J}_2^{an}=\mathcal{I}$ である。よって $(\mathcal{J}'/\mathcal{J}_1)^{an}=\mathcal{I}/\mathcal{I}=0$ で、忠実性から $\mathcal{J}'=\mathcal{J}_1$ である。同様に $\mathcal{J}'=\mathcal{J}_2$ なので $\mathcal{J}_1=\mathcal{J}_2$ である。$\square$

要点：射影空間への射を直線束とそれを生成する切断の組で表し、GAGA で組ごと代数化する。一般の $Y$ へは cor-chow-subspace の一意性で降ろす。

cor-chow-morphisms により $h=g^{an}$、$h^{-1}=g'^{an}$ となる射 $g\colon X\to Y$、$g'\colon Y\to X$ がある。$(g'\circ g)^{an}=\mathrm{id}=\mathrm{id}_X^{an}$ なので、同系の単射性から $g'\circ g=\mathrm{id}_X$ であり、同様に $g\circ g'=\mathrm{id}_Y$ である。$\square$