実射影空間

この命題は CW複体 の命題「射影空間の CW 構造」の $K=\mathbb{R}$ の場合を、円板の言葉で言い直したものである。同命題の証明は、上の $h$ が全射で、開円板の上で単射で $\mathbb{RP}^n\setminus\mathbb{RP}^{n-1}$ の上へ写り、境界の点 $w$ を $[w:0]=q(w)$ に写すことを示している。境界の 2 点 $w,w'$ が同じ点に写るのは $w'=\pm w$ のときに限るから、$h$ で同じ点に写る 2 点の組は $D^n/{\pm}$ で同一視される組にちょうど一致する。$D^n$ はコンパクト、$\mathbb{RP}^n$ は Hausdorff なので、商写像 の系「コンパクト空間からHausdorff空間への連続全射」により $h$ は商写像であり、同記事の系「商空間からの連続写像と同相の判定」により $D^n/{\pm}\to\mathbb{RP}^n$ は同相写像である。開円板では同一視が起こらないので、開円板は $D^n/{\pm}$ の開集合として自身と同相に埋め込まれ、この同相写像で $\mathbb{RP}^n\setminus\mathbb{RP}^{n-1}$ に写る。CW 構造は同命題がそのまま与えている。$\square$

rp-prop-disk の CW 構造を使う。$X=\mathbb{RP}^n$ の $k$ 骨格は $\mathbb{RP}^k$ である。$C_k:=H_k(\mathbb{RP}^k,\mathbb{RP}^{k-1})$ は $k$ 胞体 $e^k$ で生成される無限巡回群であり（$0\le k\le n$）、胞体の境界写像 $d_k\colon C_k\to C_{k-1}$ のなす鎖複体のホモロジーは $X$ のホモロジーと同型である（Hat02 §2.2 Lemma 2.34・Theorem 2.35、pp. 137–139）。さらに $k\ge2$ のとき、$d_k(e^k)=d\,e^{k-1}$ の係数 $d$ は、接着写像 $q\colon S^{k-1}\to\mathbb{RP}^{k-1}$ と、$\mathbb{RP}^{k-2}$ を 1 点に潰す写像 $c\colon\mathbb{RP}^{k-1}\to\mathbb{RP}^{k-1}/\mathbb{RP}^{k-2}\cong S^{k-1}$ の合成
$$ g:=c\circ q\colon S^{k-1}\to S^{k-1} $$
の写像度である（同書 Cellular Boundary Formula、p. 140）。同一視 $\mathbb{RP}^{k-1}/\mathbb{RP}^{k-2}\cong S^{k-1}$ の取り方は $d$ の符号しか変えないので、以下では符号を気にしない。$k=1$ のときは、0 胞体が 1 つしかないので $d_1=0$ である（同書 p. 140）。
$d_k$ の計算（$k\ge2$）。 $S^{k-1}$ の赤道 $\{x_{k-1}=0\}$ を $E$、開半球 $\{x_{k-1}>0\}$ と $\{x_{k-1}<0\}$ を $H_+$、$H_-$ とする。$q^{-1}(\mathbb{RP}^{k-2})=E$ であり、rp-prop-disk により $q$ は $H_+$ を $\mathbb{RP}^{k-1}\setminus\mathbb{RP}^{k-2}$ の上へ同相に写す（$H_+$ は $w\mapsto(w,\sqrt{1-|w|^2})$ で開円板と同相であり、その合成が $h$ である）。$c$ は $\mathbb{RP}^{k-1}\setminus\mathbb{RP}^{k-2}$ を $S^{k-1}$ から 1 点 $*$ を除いた集合の上へ同相に写し、$\mathbb{RP}^{k-2}$ を $*$ に写す。したがって $g$ は $H_+$ を $S^{k-1}\setminus\{*\}$ の上へ同相に写し、$E$ を $*$ に写す。さらに $q(-x)=q(x)$ だから、$H_-$ の上では $g=g|_{H_+}\circ A$（$A(x)=-x$ は対蹠写像）である。
$y\ne*$ を 1 つとると、$g^{-1}(y)$ は $H_+$ の点 $x$ と $H_-$ の点 $-x$ のちょうど 2 点である。局所写像度の和の公式（Hat02 Proposition 2.30、p. 136）により
$$ \deg g=\deg g|_x+\deg g|_{-x} $$
である。$g$ は $x$ の近傍 $H_+$ を $y$ の近傍へ同相に写すので、$\deg g|_x=\varepsilon\in\{\pm1\}$ である（同書 p. 136）。局所写像度は局所ホモロジー群の間の写像として定まるので合成について積になり、$-x$ の近くでは $g=g|_{H_+}\circ A$ だから $\deg g|_{-x}=\varepsilon\cdot\deg A|_{-x}$ である（同じ計算は Hat02 Example 2.42、p. 144 にもある）。$A$ は同相写像なので、その局所写像度はどの点でも $\deg A$ に等しい（同書 p. 136）。写像度 の命題「直交変換の写像度」により $S^{k-1}$ の対蹠写像の写像度は $(-1)^k$ である。以上より
$$ d_k=\pm\deg g=\pm\varepsilon\bigl(1+(-1)^k\bigr)=\begin{cases}0&(k\text{ が奇数})\\ \pm2&(k\text{ が偶数})\end{cases} $$
となる。
以上の写像度から、ホモロジー群は鎖複体の計算で求まる。

$\mathbb{RP}^n$ は $n$ 次元の位相多様体であり（射影空間 の命題「アフィン座標近傍と多様体構造」）、連結な $S^n$ の連続像なので連結、さらにコンパクトである。連結な $n$ 次元閉多様体 $M$ について、$M$ が向き付け可能なら $H_n(M;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$、向き付け不可能なら $H_n(M;\mathbb{Z})=0$ である（Hat02 Theorem 3.26、p. 236）。rp-thm-homology の 1 により $H_n(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z})$ は $n$ が奇数のとき $\mathbb{Z}$、偶数のとき $0$ なので、主張が従う。$\square$

1：$\tilde\ell(1)\in q^{-1}(q(x_0))=\{x_0,-x_0\}$ なので値は $0$ か $1$ である。端点を止めてホモトピックなループの持ち上げは同じ終点をもつので（被覆空間 の系「道のホモトピー類と持ち上げの終点」）、$\rho_n$ は $\pi_1$ の上で矛盾なく定まる。準同型であること：$\ell$ の持ち上げが $x_0$ から $\epsilon x_0$（$\epsilon=\pm1$）へ、$\ell'$ の持ち上げが $x_0$ から $\epsilon'x_0$ へ向かうとする。$q(-x)=q(x)$ なので $\epsilon\tilde\ell'$ も $\ell'$ の持ち上げで、始点は $\epsilon x_0$ である。持ち上げの一意性により、つないだループ $\ell\cdot\ell'$ の $x_0$ からの持ち上げは $\tilde\ell$ のあとに $\epsilon\tilde\ell'$ を続けた道で、終点は $\epsilon\epsilon'x_0$ である。符号の積が $\mathbb{Z}/2$ の和に対応するので、$\rho_n([\ell][\ell'])=\rho_n([\ell])+\rho_n([\ell'])$ である。$0$ でないこと：$n\ge1$ なので $S^n$ は弧状連結であり、$x_0$ から $-x_0$ への道 $\gamma$ がある。$\ell:=q\circ\gamma$ はループで、その持ち上げは $\gamma$ 自身なので $\rho_n([\ell])=1$ である。
2：rp-thm-cohomology-ring（あるいは rp-thm-homology の 2 と普遍係数定理）により $H^1(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2$ なので、$\operatorname{Hom}(\pi_1(\mathbb{RP}^n,q(x_0)),\mathbb{Z}/2)$ の $0$ でない元はちょうど 1 つである。1 により $\rho_n$ はその元であり、$a$ に対応する。$\square$

1：$a_n$、$a_m$ をそれぞれ $H^1(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)$、$H^1(\mathbb{RP}^m;\mathbb{Z}/2)$ の $0$ でない元とする。$g^*a_n\ne0$ と仮定すると、$H^1(\mathbb{RP}^m;\mathbb{Z}/2)$ の $0$ でない元は $a_m$ だけなので $g^*a_n=a_m$ である。$g^*$ はカップ積を保つ環準同型なので、rp-thm-cohomology-ring により
$$ a_m^{\,n+1}=(g^*a_n)^{n+1}=g^*\bigl(a_n^{\,n+1}\bigr)=g^*(0)=0 $$
となる。一方 $n+1\le m$ なので、同じ定理により $a_m^{\,n+1}\ne0$ であり、矛盾する。よって $g^*a_n=0$ である。
2：基点 $p_0\in\mathbb{RP}^m$ をとる。$n\ge2$ なので $\pi_1(\mathbb{RP}^n,g(p_0))\cong\mathbb{Z}/2$ であり、rp-lem-monodromy の $\rho_n$（基点を $g(p_0)$ の上の点にとったもの）は $0$ でない準同型なので同型である。1 と上の自然な同型により $\rho_n\circ g_*=0$ であり、$\rho_n$ が単射なので $g_*$ は自明である。$\mathbb{RP}^m$ は弧状連結かつ局所弧状連結なので（局所的に $\mathbb{R}^m$ と同相）、持ち上げの判定条件（Hat02 Proposition 1.33、p. 61）により $g$ は $q$ に沿って持ち上がる。$\square$

$n=0$ のとき：$S^0=\{1,-1\}$ であり、$m\ge1$ なので $S^m$ は連結だから、連続写像 $f\colon S^m\to S^0$ は定数である。定数写像は $f(-x)=-f(x)$ を満たさない。
$n\ge1$ のとき：奇写像 $f$ があったとする。$q_m\colon S^m\to\mathbb{RP}^m$、$q_n\colon S^n\to\mathbb{RP}^n$ を商写像とする。$q_n(f(-x))=q_n(-f(x))=q_n(f(x))$ なので、連続写像 $q_n\circ f$ は $q_m$ のファイバー $\{x,-x\}$ の上で一定であり、商写像の普遍性により連続写像 $g\colon\mathbb{RP}^m\to\mathbb{RP}^n$ で $g\circ q_m=q_n\circ f$ となるものが定まる（商写像 の定理「商写像の普遍性」）。
$y_0\in S^m$ を固定し、$m\ge1$ なので $y_0$ から $-y_0$ への道 $\gamma$ をとる。$\ell:=q_m\circ\gamma$ は $q_m(y_0)$ を基点とするループである。$g\circ\ell=q_n\circ(f\circ\gamma)$ なので、$f\circ\gamma$ はループ $g\circ\ell$ の $f(y_0)$ を始点とする持ち上げであり、その終点は $f(-y_0)=-f(y_0)$ である。rp-lem-monodromy（$x_0=f(y_0)$ として）により $\rho_n(g_*[\ell])=1$ であり、とくに $\rho_n\circ g_*\ne0$ である。$\rho_n$ は $a_n\in H^1(\mathbb{RP}^n;\mathbb{Z}/2)$ に対応し、$\rho_n\circ g_*$ は $g^*a_n$ に対応するので、$g^*a_n\ne0$ となる。これは rp-prop-maps の 1 に反する。$\square$

すべての $x$ で $f(x)\ne f(-x)$ と仮定すると、
$$ \varphi(x):=\frac{f(x)-f(-x)}{|f(x)-f(-x)|} $$
は連続写像 $S^n\to S^{n-1}$ で、$\varphi(-x)=-\varphi(x)$ を満たす。これは rp-thm-odd-map（$m=n$、$n-1$ を $n$ の代わりに）に反する。$\square$