Whitney層別

$C:=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=z^2\}$ を $X:=C\setminus\{0\}$ と $O:=\{0\}$ に分ける。$\nabla F=(2x,2y,-2z)$ は $X$ 上で $0$ でないので $X$ は 2 次元の部分多様体で、$\overline{X}\setminus X=O$ である。対 $(X,O)$ は条件 (b) を満たす。実際、$p\in X$ なら $t\mapsto tp$（$t>0$）は $X$ の中の曲線なので $p\in T_pX$ であり、$0$ と $x_i$ を結ぶ割線の単位ベクトル $x_i/|x_i|$ は $T_{x_i}X$ に入る。極限をとれば割線の極限 $\ell$ は $\tau$ に含まれる。同じ議論で、原点を除いて滑らかな錐（正の定数倍で閉じた集合）はどれも、原点と残りに分けた層別が Whitney 層別になる。

Whitney の傘 $W:=\{(x,y,z)\mid y^2=zx^2\}$ を考える。$F=y^2-zx^2$ とすると $\nabla F=(-2zx,\ 2y,\ -x^2)$ で、$W$ の上では $x=0$ なら $y=0$ なので、$\nabla F=0$ となる $W$ の点は $z$ 軸 $Z:=\{x=y=0\}$ の点である。$X:=W\setminus Z$ は
$$ (x,w)\longmapsto(x,\ wx,\ w^2)\qquad(x\neq0,\ w\in\mathbb{R}) $$
で単射に助変数表示され（$w=y/x$）、2 次元の部分多様体である。$z< 0$ では $y^2+|z|x^2=0$ から $x=y=0$ なので、$X$ は $z\ge0$ の側にあり、$\overline{X}\setminus X=\{(0,0,z)\mid z\ge0\}$ である。$z< 0$ の半直線（「柄」）は $W$ に含まれるが、$X$ の閉包に入らない。
(1) $(X,Z)$ は原点で条件 (a) を満たさない。点 $p_s:=(s,s^3,s^4)$（$w=s^2$）は $X$ の点で、$\nabla F(p_s)=(-2s^5,\ 2s^3,\ -s^2)$ だから単位法線は $(0,0,-1)$ に収束する。$T_{p_s}X$ は $xy$ 平面に収束し、$T_0Z$（$z$ 軸）を含まない。
(2) 細かく分けると Whitney 層別になる。$Z_+:=\{(0,0,z)\mid z>0\}$、$Z_-:=\{(0,0,z)\mid z< 0\}$、$O:=\{0\}$ とし、$W=X\sqcup Z_+\sqcup Z_-\sqcup O$ とする。境界条件は上の閉包の計算から成り立つ。$(Z_\pm,O)$ は直線の一部と原点なので (b) を満たし、$(X,Z_-)$ は $Z_-\cap\overline{X}=\emptyset$ なので条件が空である。残りは $(X,Z_+)$ と $(X,O)$ である。$X$ の点 $p=(x,wx,w^2)$ での法線は $\partial_x\times\partial_w=(1,w,0)\times(0,x,2w)=(2w^2,\ -2w,\ x)$ で、その長さを $N$ とすると $N\ge\max(2|w|,|x|)$ である。
$(X,Z_+)$：$p_i\to(0,0,c)$（$c>0$）、$q_i=(0,0,z_i)\in Z_+$ とする。$p_i-q_i=(x,\ wx,\ w^2-z_i)$ と法線の内積は $x(w^2-z_i)$ で、$|p_i-q_i|\ge|w^2-z_i|$ だから、単位ベクトルどうしの内積の絶対値は $|x|/N\le|x|/(2|w|)$ 以下である。$w^2\to c>0$、$x\to0$ なのでこれは $0$ に収束し、割線の極限は接平面の極限に含まれる。
$(X,O)$：$p_i\to0$ とする。$p_i=(x,wx,w^2)$ と法線の内積は $2w^2x-2w^2x+xw^2=xw^2$ で、$|p_i|\ge|x|$ だから、単位ベクトルどうしの内積の絶対値は $|x|w^2/(N|x|)\le w^2/(2|w|)=|w|/2$ 以下であり、$w\to0$ で $0$ に収束する。
よって $\{X,Z_+,Z_-,O\}$ は Whitney 層別である。複素の場合の同じ現象（$zx^2-y^2=0$）は Mat12 Example 1.2（p. 476）に Whitney の例として挙がっている。

$X:=\{p(t)=e^{-t}(\cos t,\sin t)\mid t\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^2$ と $O:=\{0\}$ をとる。$X$ は $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ の閉集合である 1 次元の部分多様体（$p$ は単射なはめ込みで、$|p(t)|=e^{-t}$ が狭義単調）で、$\overline{X}\setminus X=O$ である。$O$ は 1 点なので $(X,O)$ は条件 (a) を満たす。一方、
$$ p'(t)=e^{-t}(-\cos t-\sin t,\ -\sin t+\cos t),\qquad \frac{p(t)\cdot p'(t)}{|p(t)|\,|p'(t)|}=\frac{-e^{-2t}}{e^{-t}\cdot\sqrt2\,e^{-t}}=-\frac{1}{\sqrt2} $$
なので、接線 $T_{p(t)}X$ と、原点と $p(t)$ を結ぶ割線はつねに角 $\pi/4$ をなす。$t_i\to\infty$ で接線と割線がそれぞれ $\tau$、$\ell$ に収束するとき（部分列をとればそうなる）、$\ell$ と $\tau$ も角 $\pi/4$ をなすので $\ell\not\subset\tau$ である。よって $(X,O)$ は原点で条件 (b) を満たさない。Mat12 Example 2.5（p. 477）も接線と動径が一定の角をなす螺旋を挙げている。

$F:=y^2-x^3-z^2x^2$、$S:=\{F=0\}\subset\mathbb{R}^3$、$Z:=\{x=y=0\}$、$X:=S\setminus Z$ とする。$\nabla F=(-3x^2-2z^2x,\ 2y,\ -2zx^2)$ が $0$ になるのは、$y=0$、$x(3x+2z^2)=0$、$zx^2=0$ のときで、$x\neq0$ なら $z=0$ から $x=0$ となって矛盾するので $x=y=0$ に限る。よって $X$ は 2 次元の部分多様体で、$Z\subset\overline{X}$ である（$z$ を固定した切り口 $y^2=x^2(x+z^2)$ は原点を通る曲線）。
(1) $(X,Z)$ は $Z$ のすべての点で条件 (a) を満たす。$X$ の点列が $(0,0,c)$ に収束するとき、単位法線の第 3 成分 $R:=2|z|x^2/|\nabla F|$ が $0$ に収束することを示せばよい。$u:=x+z^2$ とおくと $S$ の上で $y^2=x^2u$、$u\ge0$ であり、$|\nabla F|\ge\max(|x|\,|3u-z^2|,\ 2|x|\sqrt u)$ だから、
$$ R\le\frac{2|z|\,|x|}{\max(|3u-z^2|,\ 2\sqrt u)} $$
である。$u\ge z^2/6$ なら $2\sqrt u\ge2|z|/\sqrt6$ なので $R\le\sqrt6\,|x|$ である。$u< z^2/6$ なら $|3u-z^2|>z^2/2$ で、$x=u-z^2$ から $5z^2/6< |x|\le z^2$ なので $R\le4|x|/|z|\le4|z|$ である。$c\neq0$ のときは $x\to0$ により後者は起こらなくなり、$R\le\sqrt6|x|\to0$ である。$c=0$ のときは $R\le\max(\sqrt6|x|,4|z|)\to0$ である。
(2) $(X,Z)$ は原点で条件 (b) を満たさない。$p_s:=(-s^2,0,s)$（$s\neq0$）は $F(p_s)=s^6-s^6=0$ より $X$ の点で、$q_s:=(0,0,s)\in Z$ である。割線 $\overline{p_sq_s}$ は $x$ 軸の方向 $(1,0,0)$ である。一方 $\nabla F(p_s)=(-s^4,\ 0,\ -2s^5)$ なので単位法線は $(-1,0,0)$ に収束し、$T_{p_s}X$ は $yz$ 平面に収束する。$s\to0$ で割線の極限（$x$ 軸）は接平面の極限に含まれない。
複素の場合の同じ例（$y^2+x^3-z^2x^2=0$。$x$ を $-x$ に替えると上の形）は Mat12 Example 2.6（p. 477）に Whitney の例として挙がっており、(b) は原点以外の $Z$ の点では成り立つと述べられている。この曲面の $z$ を固定した切り口は、$z\neq0$ では原点に結節点をもつ曲線（小さな輪を含む）、$z=0$ では尖点 $y^2=x^3$ であり、原点の近くの位相が $z=0$ で変わる。このことは Thom–Matherの同位定理 で (b) を外せないことを示す例になる。