サイクルの固有押し出しと平坦引き戻し

$T$ の $B$ 加群としての組成列の商は単純 $B$ 加群で、ある極大イデアル $\mathfrak{q}_j$ について $B/\mathfrak{q}_j$ に同型である。体 $B/\mathfrak{q}_j$ は有限生成 $A$ 加群なので $A/(\mathfrak{q}_j\cap A)$ 上整であり、整な拡大の上側が体なら下側も体なので（整拡大 の命題「体であることの判定」）$\mathfrak{q}_j\cap A=\mathfrak{m}$ である。よって $B/\mathfrak{q}_j$ は $A/\mathfrak{m}$ 上の有限次元ベクトル空間で、その $A$ 部分加群は部分空間と同じなので $\ell_A(B/\mathfrak{q}_j)=[B/\mathfrak{q}_j:A/\mathfrak{m}]$ である。長さの加法性から $\ell_A(T)=\sum_j[B/\mathfrak{q}_j:A/\mathfrak{m}]$ となる。他方、局所化は完全で、$(B/\mathfrak{q}_j)_{\mathfrak{q}}$ は $\mathfrak{q}_j=\mathfrak{q}$ なら単純 $B_{\mathfrak{q}}$ 加群、$\mathfrak{q}_j\ne\mathfrak{q}$ なら $\mathfrak{q}_j\setminus\mathfrak{q}$ の元が零化しかつ可逆なので $0$ である。よって $\ell_{B_{\mathfrak{q}}}(T_{\mathfrak{q}})$ は $\mathfrak{q}_j=\mathfrak{q}$ となる $j$ の個数であり、和を $\mathfrak{q}$ ごとにまとめればよい。$\square$

$A$ 上有限生成で $K$ 上で消える加群は、$0$ でない元で零化され、$0$ 次元の Noether 環 $A/aA$ 上の有限生成加群なので有限の長さをもつ。$B\otimes_AK$ は体 $K$ 上有限次元の整域なので体で、$L$ に等しい。$n:=[L:K]$ とおく。

格子 $M,M'$ について、$M\cap M'$ も格子である（Noether 性から有限生成で、$cM'\subset M$ となる $c\in A\setminus\{0\}$ をとれば $cM'\subset M\cap M'$ が $L$ を張る）。格子 $M_0\subset M\cap M'$ をとり $[M:M']:=\ell_A(M/M_0)-\ell_A(M'/M_0)$ とおくと、より小さい格子 $M_1\subset M_0$ に替えても両項に $\ell_A(M_0/M_1)$ が加わるだけなので、$M_0$ によらない。3 つの格子に共通の $M_0$ をとれば $[M:M'']+[M'':M']=[M:M']$ である。

$K$ 線型同型 $\varphi\colon L\to L$ について $e(\varphi):=[M:\varphi M]$ は $M$ によらない：$[M:\varphi M]-[M':\varphi M']=[M:M']+[\varphi M':\varphi M]$ で、$\varphi$ は $A$ 加群の同型なので $[\varphi M':\varphi M]=[M':M]=-[M:M']$ である。$e(\varphi\psi)=[M:\varphi M]+[\varphi M:\varphi\psi M]=e(\varphi)+e(\psi)$ なので、$e$ は $GL_n(K)$ から $\mathbb{Z}$ への準同型である（$L\cong K^n$、$M=A^n$ ととる）。$GL_n(K)$ は対角行列と基本行列 $I+aE_{ij}$（$i\ne j$、$a\in K$）で生成される（行と列の基本変形による掃き出し）。$a_i\in A\setminus\{0\}$ の対角行列では $A^n/\bigoplus_ia_iA\cong\bigoplus_iA/a_iA$ から $e=\sum_i\operatorname{ord}_A(a_i)=\operatorname{ord}_A(\det)$ で、乗法性から一般の対角行列でも $e=\operatorname{ord}_A(\det)$ である。$a=b/c$（$b,c\in A$）なら、第 $i$ 成分が $c$ でほかが $1$ の対角行列 $D$ について $I+aE_{ij}=D^{-1}(I+bE_{ij})D$ で、$I+bE_{ij}$ は $A^n$ を $A^n$ に写すので $e=0=\operatorname{ord}_A(1)$ である。よって $e=\operatorname{ord}_A\circ\det$ である。最後に $\varphi$ を $r$ 倍写像、$M=B$ とすれば $\ell_A(B/rB)=[B:rB]=\operatorname{ord}_A(N_{L/K}(r))$ である。$\square$

余次元 $1$ の部分多様体 $Z\subset W$ をとり、両辺の $[Z]$ の係数を比べる。左辺の係数は、$V$ の余次元 $1$ の部分多様体 $V_i$ で $f(V_i)=Z$ となるものにわたる $\sum_i[k(V_i):k(Z)]\operatorname{ord}_{V_i}(r)$ である。右辺の係数は $\operatorname{ord}_A(N(r))$、$A:=\mathcal{O}_{W,Z}$ である。

$A$ は $1$ 次元の Noether 局所整域で、商体は $k(W)$ である。$Z$ の生成点のある開近傍 $U$ の上で $f^{-1}(U)\to U$ は有限射である（Sta26 Chow Homology, Lemma 16.2（Tag 02RM、p. 26））。$U$ をアフィンにとり $U=\operatorname{Spec}R$、$f^{-1}(U)=\operatorname{Spec}S$（$S$ は有限 $R$ 代数の整域）とし、$Z$ に対応する素イデアルで局所化した $B:=S\otimes_RA$ を考える。$B$ は有限生成 $A$ 加群の整域で、商体は $k(V)$ である。$B$ の極大イデアル $\mathfrak{q}_i$ は、$V$ の点で $Z$ の生成点の上にあるもの、すなわち上の $V_i$ の生成点に一対一に対応し、$B_{\mathfrak{q}_i}=\mathcal{O}_{V,V_i}$、$B/\mathfrak{q}_i=k(V_i)$、$A/\mathfrak{m}_A=k(Z)$ である。

$r\in B\setminus\{0\}$ のとき、$B$ は $A$ 上有限なので $1$ 次元の Noether 整域で、$B/rB$ は有限の長さをもつ。lem-ppfp-length と lem-ppfp-lattice により $$\sum_i[k(V_i):k(Z)]\operatorname{ord}_{V_i}(r)=\sum_i[B/\mathfrak{q}_i:A/\mathfrak{m}_A]\,\ell_{B_{\mathfrak{q}_i}}(B_{\mathfrak{q}_i}/rB_{\mathfrak{q}_i})=\ell_A(B/rB)=\operatorname{ord}_A(N(r)) $$である。一般の $r$ は $B$ の元の商であり、両辺とも $r$ について準同型なので、主張が従う。$\square$

$F$ 上固有な整曲線の間の全射 $h\colon C'\to C$ と $\gamma\in Z_0(C')$ について $\deg_F(h_*\gamma)=\deg_F\gamma$ である：閉点 $x'$ の像 $x$ は閉点で $\kappa(x)\subset\kappa(x')$ なので $\deg_Fh_*[x']=[\kappa(x'):\kappa(x)][\kappa(x):F]=[\kappa(x'):F]$。

$r$ が $F$ 上超越的なとき：$r$ が正則な稠密開集合 $U\subset C$ 上の射 $U\to\mathbb{P}^1_F$ のグラフの閉包を $\Gamma\subset C\times_F\mathbb{P}^1_F$ とする。$\Gamma$ は $F$ 上固有な整曲線で、第 1 射影 $\pi\colon\Gamma\to C$ は $U$ の上で同型な固有全射（$F(\Gamma)=F(C)$）、第 2 射影 $g\colon\Gamma\to\mathbb{P}^1_F$ は固有である。$g(\Gamma)$ が 1 点なら $r$ はその点の剰余体（$F$ 上有限次）に属して $F$ 上代数的になるので、$g$ は全射である。座標 $t$ について $g^*t=r$ で、$d:=[F(\Gamma):F(t)]$ とすると $N(t)=t^d$ である。lem-ppfp-norm を $\pi$ と $g$ に当てると $\pi_*\operatorname{div}_\Gamma(r)=\operatorname{div}_C(r)$、$g_*\operatorname{div}_\Gamma(r)=d\operatorname{div}(t)=d([0]-[\infty])$ であり、$0,\infty$ の剰余体は $F$ なので次数は $0$ である。最初の注意から $\deg_F\operatorname{div}_C(r)=\deg_F\operatorname{div}_\Gamma(r)=0$ である。

$r$ が $F$ 上代数的なとき：超越元 $s\in F(C)$ をとると $rs$ も超越的で、$\deg_F\operatorname{div}(r)=\deg_F\operatorname{div}(rs)-\deg_F\operatorname{div}(s)=0$ である。$\square$

1：$W'$ を $f^{-1}(Z)$ の $(p+d)$ 次元の既約成分とし、$W$ を $f(W')$ の閉包とする。$W'$ は $f^{-1}(W)$ のある既約成分に含まれ、その次元は $\dim W+d$ なので $\dim W\ge p$ である。$W\subset Z$ かつ $\dim Z\le p$ だから、$W$ は $Z$ の $p$ 次元の既約成分である。逆に、$Z$ の $p$ 次元の既約成分 $V$ について $f^{-1}(V)$ の成分で $W'$ を含むのは $V=W$ のときだけである。$A:=\mathcal{O}_{X,W}$、$B:=\mathcal{O}_{X',W'}$ とおくと $A\to B$ は平坦な局所準同型で、$\mathcal{O}_{f^{-1}(W),W'}=B/\mathfrak{m}_AB$、$\mathcal{O}_{f^{-1}(Z),W'}=B\otimes_A\mathcal{O}_{Z,W}$ である。$W'$ は $f^{-1}(W)$ の既約成分なので $B/\mathfrak{m}_AB$ は $0$ 次元で、長さは有限である。左辺の $[W']$ の係数は $\ell_A(\mathcal{O}_{Z,W})\,\ell_B(B/\mathfrak{m}_AB)$、右辺の係数は $\ell_B(B\otimes_A\mathcal{O}_{Z,W})$ で、lem-ppfp-flat-length によりこれらは等しい。

2：$p$ 次元の部分多様体 $V\subset X$ について、$(f\circ g)^{-1}(V)=g^{-1}(f^{-1}(V))$ であり、$f^{-1}(V)$ は次元が $p+d$ 以下の閉部分スキームなので、1 を $g$ に当てて $(f\circ g)^*[V]=[g^{-1}(f^{-1}(V))]_{p+d+e}=g^*[f^{-1}(V)]_{p+d}=g^*f^*[V]$ である。$\square$

$x$ 倍の核 $K(M)$ は $x$ で零化されるので、その台は $\operatorname{Supp}M\cap V(x)=\operatorname{Supp}(M/xM)$（中山の補題）に含まれ、極大イデアルだけなので有限の長さをもつ。$0\to M'\to M\to M''\to0$ が完全で $M/xM$ が有限の長さなら、$M'$、$M''$ も同じ条件を満たし（台が $\operatorname{Supp}M\cap V(x)$ に含まれる）、蛇の補題の完全列 $0\to K(M')\to K(M)\to K(M'')\to M'/xM'\to M/xM\to M''/xM''\to0$ の長さの交代和が $0$ であることから $e(M)=e(M')+e(M'')$ である。

$B$ は商が $B/\mathfrak{p}_i$（$\mathfrak{p}_i$ は素イデアル）のフィルトレーションをもつ。$\dim B=1$ なので素イデアルは極大イデアル $\mathfrak{m}$ と極小素イデアルだけである。$e(B/\mathfrak{m})=1-1=0$ である。極小素イデアル $\mathfrak{q}$ について $x\notin\mathfrak{q}$（$x\in\mathfrak{q}$ なら $V(x)\supset V(\mathfrak{q})$ が $1$ 次元となり、$B/xB$ が有限の長さであることに反する）なので、$x$ は整域 $B/\mathfrak{q}$ の上で単射で、$e(B/\mathfrak{q})=\ell(B/(\mathfrak{q}+xB))$ である。フィルトレーションを $\mathfrak{q}_j$ で局所化すると、$(B/\mathfrak{m})_{\mathfrak{q}_j}=0$、$\mathfrak{q}\ne\mathfrak{q}_j$ なら $(B/\mathfrak{q})_{\mathfrak{q}_j}=0$、$(B/\mathfrak{q}_j)_{\mathfrak{q}_j}$ は剰余体なので、商に $B/\mathfrak{q}_j$ が現れる回数は $\ell(B_{\mathfrak{q}_j})$ である。加法性から $e(B)=\sum_j\ell(B_{\mathfrak{q}_j})\ell(B/(\mathfrak{q}_j+xB))$ で、$x$ は非零因子なので $e(B)=\ell(B/xB)$ である。$\square$

$X'$ の $(p+d)$ 次元の部分多様体 $W'$ をとり、$W$ を $f(W')$ の閉包とする。prop-ppfp-pullback-basic の証明と同じく $\dim W\ge p$ で、$W=V$ か、$W$ は $V$ の余次元 $1$ の部分多様体である。

$W=V$ のとき、左辺の $[W']$ の係数は $0$ である（左辺の成分はどれも余次元 $1$ の部分多様体の逆像に含まれる）。右辺でも、$W'$ の生成点は $V$ の生成点の上にあるので $r_j$ はそこで単元であり、係数は $0$ である。

$W$ が余次元 $1$ のとき、$A:=\mathcal{O}_{V,W}$（$1$ 次元の Noether 局所整域）、$B:=\mathcal{O}_{X',W'}$ とおく。$A\to B$ は平坦な局所準同型で、$W'$ は $f^{-1}(W)$ の既約成分なので $B/\mathfrak{m}_AB$ は有限の長さをもち、$B$ は $1$ 次元である。$B$ の極小素イデアル $\mathfrak{q}_j$ は $W'$ を含む $X'_j$ に対応し、$\ell(B_{\mathfrak{q}_j})=n_j$、$B/\mathfrak{q}_j=\mathcal{O}_{X'_j,W'}$ である。$r=a/b$（$a,b\in A\setminus\{0\}$）と書き、$a$ について示せば十分である。左辺の係数は $\operatorname{ord}_A(a)\,\ell_B(B/\mathfrak{m}_AB)$ で、lem-ppfp-flat-length により $\ell_B(B/aB)$ に等しい。$A$ の非零因子 $a$ は平坦性により $B$ の非零因子で、$B/aB=B\otimes_AA/aA$ は有限の長さをもつ。lem-ppfp-components により $$\ell_B(B/aB)=\sum_jn_j\,\ell\bigl(\mathcal{O}_{X'_j,W'}/a\mathcal{O}_{X'_j,W'}\bigr)=\sum_jn_j\operatorname{ord}_{W'}(a|_{X'_j}) $$であり、これは右辺の $[W']$ の係数である。$\square$

有限射は固有で（有限射）、ファイバーは有限集合なので空でなければ純 $0$ 次元であり、$f_*\mathcal{O}_{X'}$ が局所自由なので平坦である。$p$ 次元の部分多様体 $V\subset X$ について示す。$A:=\mathcal{O}_{X,V}$、$B:=(f_*\mathcal{O}_{X'})_V$ とおくと、$B$ は階数 $n$ の自由 $A$ 加群で、$f^{-1}(V)$ の $V$ の生成点の上の部分は $\operatorname{Spec}(B/\mathfrak{m}_AB)$ である。$B$ の極大イデアル $\mathfrak{q}$ は $f^{-1}(V)$ の $p$ 次元の既約成分 $V'$ に対応し、$\mathcal{O}_{f^{-1}(V),V'}=(B/\mathfrak{m}_AB)_{\mathfrak{q}}$、$k(V')=B/\mathfrak{q}$、$f(V')=V$ である。よって $f_*f^*[V]$ の $[V]$ の係数は $\sum_{\mathfrak{q}}[B/\mathfrak{q}:A/\mathfrak{m}_A]\,\ell\bigl((B/\mathfrak{m}_AB)_{\mathfrak{q}}\bigr)$ で、lem-ppfp-length により $\ell_A(B/\mathfrak{m}_AB)=\dim_{k(V)}(B/\mathfrak{m}_AB)=n$ に等しい。$\square$