複素射影空間

1．$w\in\mathbb{C}^n$、$|w|\le1$ について $\Phi(w):=[w_0:\dots:w_{n-1}:\sqrt{1-|w|^2}\,]$ とおく。$\Phi$ は閉球体 $D^{2n}$ から $\mathbb{CP}^n$ への連続写像で、境界 $|w|=1$ の上では $q(w)\in\mathbb{CP}^{n-1}$ に等しい。$z_n\ne0$ の点 $[z]$ については、$z$ を $|z|=1$ に正規化し、さらに絶対値 $1$ の複素数 $\bar z_n/|z_n|$ を掛けると第 $n$ 成分が正の実数になる。このような代表はただ $1$ つである（二つの代表が $\mu\in S^1$ で移り合い、どちらの第 $n$ 成分も正の実数なら $\mu=1$）。よって $\Phi$ は開球体を $\mathbb{CP}^n\setminus\mathbb{CP}^{n-1}$ の上へ全単射に写す。$\Phi$ と包含からなる写像 $D^{2n}\sqcup\mathbb{CP}^{n-1}\to\mathbb{CP}^n$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全射なので商写像であり、同一視されるのはちょうど $w\in\partial D^{2n}$ と $q(w)$ である。これが前半であり、$\mathbb{CP}^0$ が $1$ 点であることから帰納法で CW 複体の構造が得られる。さらに $\mathbb{CP}^n/\mathbb{CP}^{n-1}$ は $D^{2n}/\partial D^{2n}\cong S^{2n}$ と同相である。
2．$[z]\ne p$ なら $(z_0,\dots,z_{n-1})\ne0$ である。$H([z],t):=[z_0:\dots:z_{n-1}:(1-t)z_n]$（$0\le t\le1$）とおくと、右辺は代表の取り替えで変わらず、$q$ が開写像なので $q\times\mathrm{id}_{[0,1]}$ は商写像であり、$H$ は連続である。$H(\cdot,0)$ は恒等写像、$H(\cdot,1)$ の像は $\mathbb{CP}^{n-1}$ に入り、$\mathbb{CP}^{n-1}$ の点は $H(\cdot,t)$ で動かない。$\square$

係数 $\mathbb{Z}$ を省く。cps-prop-cw の 2 により $\mathbb{CP}^{n-1}$ は $\mathbb{CP}^n$ の開集合 $\mathbb{CP}^n\setminus\{p\}$ の変形レトラクトなので、$(\mathbb{CP}^n,\mathbb{CP}^{n-1})$ は良い対であり、商写像は同型 $\tilde H^k(\mathbb{CP}^n/\mathbb{CP}^{n-1})\cong H^k(\mathbb{CP}^n,\mathbb{CP}^{n-1})$ を与える（Hat02 Proposition 2.22（p. 124）のコホモロジー版）。cps-prop-cw の 1 により左辺は $\tilde H^k(S^{2n})$ で、$k=2n$ のとき $\mathbb{Z}$、それ以外で $0$ である。対の長完全列
$$ H^k(\mathbb{CP}^n,\mathbb{CP}^{n-1})\to H^k(\mathbb{CP}^n)\xrightarrow{\ i^*\ }H^k(\mathbb{CP}^{n-1})\to H^{k+1}(\mathbb{CP}^n,\mathbb{CP}^{n-1}) $$
の両端は $k\le2n-2$ で $0$ なので、$i^*$ は同型である。これが 2 である。1 は $n$ の帰納法で示す。$n=0$ は $1$ 点である。$n\ge1$ のとき、$k\le2n-2$ では 2 と帰納法の仮定による。$k=2n-1$ では左端が $0$、$H^{2n-1}(\mathbb{CP}^{n-1})=0$ なので $H^{2n-1}(\mathbb{CP}^n)=0$ である。$k=2n$ では $0=H^{2n-1}(\mathbb{CP}^{n-1})\to\mathbb{Z}\to H^{2n}(\mathbb{CP}^n)\to H^{2n}(\mathbb{CP}^{n-1})=0$ から $H^{2n}(\mathbb{CP}^n)\cong\mathbb{Z}$、$k>2n$ では $0$ である。ホモロジーも同じ議論で求まる。Euler 標数は $0$ でない偶数次の個数 $n+1$ である。
3．単連結であることは 射影空間 の定理「被覆写像と基本群」の 2 による。連結な閉多様体で $H_{2n}(\mathbb{CP}^n)\cong\mathbb{Z}\ne0$ なので、向き付け可能である（向き付け可能でない連結閉多様体の最上次の整係数ホモロジーは $0$。Hat02 Theorem 3.26（p. 236））。$\square$

1 と 2 は 第1Chern類 の例「射影空間の超平面束」で証明されている（$\langle h,[\ell]\rangle=1$ となる生成元が $c_1(\mathcal{O}(1))$ であり、$\operatorname{Pic}(\mathbb{CP}^n)$ は $\mathcal{O}(1)$ で生成される無限巡回群である）。$c_1(\mathcal{O}(-1))=-h$ は同記事の系「双対束と冪の第1Chern類」による。3：$i^*\mathcal{O}(-1)=\{([z],v)\mid z_n=0,\ v\in\mathbb{C}z\}$ は $\mathbb{CP}^{n-1}$ のトートロジー直線束そのものであり、双対をとっても同じである。第 1 Chern 類は引き戻しと可換なので（同記事の命題「引き戻しとの両立」）、$i^*h$ は $\mathbb{CP}^{n-1}$ の超平面類である。4：$|v|=1$、$v\in\mathbb{C}z$ なら $[z]=[v]$ なので、$([z],v)\mapsto v$ は単位円周束から $S^{2n+1}$ への同相で、逆は $v\mapsto([v],v)$ である。射影はこの同相で $q$ に対応する。$\square$

係数 $\mathbb{Z}$ を省く。$n$ の帰納法で「$0\le k\le n$ について $h^k$ は $H^{2k}(\mathbb{CP}^n)$ を生成する」を示す。$n=0$ は $h^0=1$ なので成り立ち、$n=1$ は cps-prop-hyperplane の 1 である。$n\ge2$ とする。
$k\le n-1$ の場合：$2k\le2n-2$ なので、cps-prop-groups の 2 により $i^*\colon H^{2k}(\mathbb{CP}^n)\to H^{2k}(\mathbb{CP}^{n-1})$ は同型である。$i^*$ はカップ積を保ち、cps-prop-hyperplane の 3 により $i^*h$ は $\mathbb{CP}^{n-1}$ の超平面類なので、$i^*(h^k)=(i^*h)^k$ は帰納法の仮定により $H^{2k}(\mathbb{CP}^{n-1})$ を生成する。よって $h^k$ は $H^{2k}(\mathbb{CP}^n)$ を生成する。
$k=n$ の場合：cps-prop-groups の 3 により $\mathbb{CP}^n$ は向き付け可能な連結閉多様体なので、基本類 $[\mathbb{CP}^n]\in H_{2n}(\mathbb{CP}^n)$ を一つ選ぶ。コホモロジーは捩れをもたないので、Poincaré双対 の命題「整係数のカップ積の対」により、$\langle a,b\rangle:=(a\smile b)([\mathbb{CP}^n])$ が定める対
$$ H^2(\mathbb{CP}^n)\times H^{2n-2}(\mathbb{CP}^n)\to\mathbb{Z} $$
はユニモジュラーである。両側は階数 $1$ の自由アーベル群で、それぞれ $h$ と $h^{n-1}$ で生成される（前段）。$1\times1$ のユニモジュラー行列は $\pm1$ なので、$h^n([\mathbb{CP}^n])=\langle h,h^{n-1}\rangle=\pm1$ である。$H_{2n}(\mathbb{CP}^n)=\mathbb{Z}[\mathbb{CP}^n]$ でホモロジーは自由なので、普遍係数定理により $\theta\mapsto\theta([\mathbb{CP}^n])$ は同型 $H^{2n}(\mathbb{CP}^n)\to\mathbb{Z}$ である。したがって $h^n$ は $H^{2n}(\mathbb{CP}^n)$ を生成する。
最後に $h^{n+1}\in H^{2n+2}(\mathbb{CP}^n)=0$ である。$h\mapsto h$ で定まる環準同型 $\mathbb{Z}[h]/(h^{n+1})\to H^*(\mathbb{CP}^n)$ は、各次数 $2k$（$0\le k\le n$）で $\mathbb{Z}h^k$ を $H^{2k}$ の上へ同型に写し、その他の次数では両辺が $0$ なので、同型である。$\square$

cps-thm-ring により、$H^2(\mathbb{CP}^2;\mathbb{Z})$ の生成元 $h$ の平方は $H^4(\mathbb{CP}^2;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ の生成元である。一方 $X=S^2\vee S^4$ では、カップ積 の命題「一点和のカップ積」により、$a\in H^2(X;\mathbb{Z})$ の平方は $S^2$ と $S^4$ への制限の平方の組に対応し、$H^4(S^2)=0$、$H^2(S^4)=0$ なので $0$ である。次数付き環の同型は $H^2$ の生成元を $H^2$ の生成元に写して平方を保つので、二つのコホモロジー環は同型でなく、空間はホモトピー同値でない。
cps-prop-cw により $\mathbb{CP}^2=\mathbb{CP}^1\cup_\eta e^4$ である。$\eta$ が定値写像とホモトピックなら、貼り付け写像をホモトピーで取り替えてもホモトピー型は変わらないので（Hat02 Proposition 0.18（p. 16））、$\mathbb{CP}^2$ は定値写像で $4$ 胞体を貼った $S^2\vee S^4$ とホモトピー同値になり、前半に反する。$\square$

1：$f^*$ はカップ積を保つので $f^*(h^k)=(f^*h)^k=d^kh^k$ である。$h^n$ は $H^{2n}$ の生成元なので（cps-thm-ring）、$f^*$ は $H^{2n}\cong\mathbb{Z}$ の上で $d^n$ 倍である。
2：$z\ne0$ なら $(z_0^d,\dots,z_n^d)\ne0$ で、$z$ を $\lambda z$ に替えると右辺は $\lambda^d$ 倍になるので、$f_d$ は矛盾なく定まり、アフィン座標では多項式の比で書けるので正則である。$\mathcal{O}(1)$ の切断 $z_0$ を引き戻すと $z_0^d$ になる。その零点の因子は超平面 $H=\{z_0=0\}$ の $d$ 倍なので、$f_d^*\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{O}(dH)\cong\mathcal{O}(d)$ である（第1Chern類 の例「射影空間の超平面束」の最後の主張）。第 1 Chern 類は引き戻しと可換なので、$f_d^*h=c_1(f_d^*\mathcal{O}(1))=c_1(\mathcal{O}(d))=dh$ である（cps-prop-hyperplane の 2）。あとは 1 による。$\square$