冪零群

1：$i$ についての帰納法による。$Z_0(G)=\{e\}$ は正規部分群である。$Z_i(G)$ が正規部分群なら剰余群 $G/Z_i(G)$ が定まり、その中心は正規部分群である（群の中心 の記事の命題「中心は正規部分群である」）。$Z_{i+1}(G)$ は標準的な全射 $G\to G/Z_i(G)$ による中心の逆像なので、$G$ の正規部分群であり、核 $Z_i(G)$ を含む。最後の同値は、定義の直前に述べた言い換えを $N=Z_i(G)$ に使えばよい。
2：$g\in G$ について $g[h,k]g^{-1}=[ghg^{-1},gkg^{-1}]$ である（両辺とも $ghkh^{-1}k^{-1}g^{-1}$ に等しい）。$H,K$ が正規なら右辺はふたたび $[H,K]$ の生成元であり、生成元の積と逆元の共役はそれらの共役の積と逆元なので、$g[H,K]g^{-1}\subset[H,K]$ となる。$\gamma_1(G)=G$ は正規であり、$\gamma_i(G)$ が正規なら $\gamma_{i+1}(G)=[\gamma_i(G),G]$ も正規である。また $h\in\gamma_i(G)$、$g\in G$ について $[h,g]=h\cdot(gh^{-1}g^{-1})$ の二つの因子はともに正規部分群 $\gamma_i(G)$ に属するので、$\gamma_{i+1}(G)\subset\gamma_i(G)$ である。
3：前半は、$H$ の元どうしの交換子が $G$ の元どうしの交換子であることから、帰納法で $[\gamma_i(H),H]\subset[\gamma_i(G),G]$ を得る。後半について、$\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]$ であり、部分集合 $S$ が生成する部分群の像は $\varphi(S)$ が生成する部分群である。よって部分群 $A,B\subset G$ について $\varphi([A,B])=[\varphi(A),\varphi(B)]$ が成り立つ。$\varphi(\gamma_1(G))=\varphi(G)=K=\gamma_1(K)$ から始めて、$\varphi(\gamma_{i+1}(G))=[\varphi(\gamma_i(G)),\varphi(G)]=[\gamma_i(K),K]=\gamma_{i+1}(K)$ と帰納的に従う。$\square$

挟み込みの包含から示す。$G_i\subset Z_i(G)$ を $i$ についての帰納法で示す。$i=0$ では両辺が $\{e\}$ である。$G_i\subset Z_i(G)$ とし、$x\in G_{i+1}$ をとると、すべての $g\in G$ について $[x,g]\in[G_{i+1},G]\subset G_i\subset Z_i(G)$ なので、lem-nilpotent-series-basic の 1 により $x\in Z_{i+1}(G)$ である。
次に $\gamma_{c+1-i}(G)\subset G_i$ を $i=c,c-1,\dots,0$ の順に示す。$i=c$ では $\gamma_1(G)=G=G_c$ である。$1\le i\le c$ で $\gamma_{c+1-i}(G)\subset G_i$ とすると、
$$ \gamma_{c+2-i}(G)=[\gamma_{c+1-i}(G),G]\subset[G_i,G]\subset G_{i-1} $$
であり、これは $i-1$ の場合の主張である。
(1)⇒(2)、(1)⇒(3)：挟み込みで $i=c$ とすると $G=G_c\subset Z_c(G)$、$i=0$ とすると $\gamma_{c+1}(G)\subset G_0=\{e\}$ である。
(2)⇒(1)：$Z_c(G)=G$ なら、列 $Z_0(G)\subset Z_1(G)\subset\cdots\subset Z_c(G)=G$ は、lem-nilpotent-series-basic の 1 により各項が正規部分群で $[Z_{i+1}(G),G]\subset Z_i(G)$ を満たすので、長さ $c$ の中心列である。
(3)⇒(1)：$\gamma_{c+1}(G)=\{e\}$ なら $G_i:=\gamma_{c+1-i}(G)$（$0\le i\le c$）とおく。$G_0=\{e\}$、$G_c=G$ であり、lem-nilpotent-series-basic の 2 により各項は正規部分群で $G_i\subset G_{i+1}$ である。$[G_{i+1},G]=[\gamma_{c-i}(G),G]=\gamma_{c+1-i}(G)=G_i$ なので、これは長さ $c$ の中心列である。
最後の主張は (1)〜(3) の同値から従う。$\square$

$j-i< k$ のとき $(i,j)$ 成分が $0$ である行列の全体を $\mathfrak{n}_k$ とおく。$N\in\mathfrak{n}_k$、$M\in\mathfrak{n}_l$ なら $(NM)_{ij}=\sum_mN_{im}M_{mj}$ の各項は $m-i\ge k$ かつ $j-m\ge l$ のときだけ $0$ でありうるので、$NM\in\mathfrak{n}_{k+l}$ である。$j-i\le n-1$ なので $\mathfrak{n}_n=\{0\}$ である。
$U^{(k)}=I+\mathfrak{n}_k$ は部分群である。実際 $N,M\in\mathfrak{n}_k$ なら $(I+N)(I+M)=I+N+M+NM\in I+\mathfrak{n}_k$ であり、$N^n\in\mathfrak{n}_{kn}=\{0\}$ なので $(I+N)^{-1}=I-N+N^2-\cdots+(-N)^{n-1}\in I+\mathfrak{n}_k$ である。
$x=I+N\in U^{(k)}$、$g=I+M\in U_n(K)$（$M\in\mathfrak{n}_1$）とする。
$$ [x,g]-I=(xg-gx)\,x^{-1}g^{-1}=(NM-MN)\,x^{-1}g^{-1} $$
であり、$NM-MN\in\mathfrak{n}_{k+1}$、$x^{-1}g^{-1}\in I+\mathfrak{n}_1$ なので、右辺は $\mathfrak{n}_{k+1}$ に属する。よって $[U^{(k)},U_n(K)]\subset U^{(k+1)}$ である。とくに $gxg^{-1}=[g,x]\,x=[x,g]^{-1}x\in U^{(k)}$ なので $U^{(k)}$ は正規部分群である。$G_i:=U^{(n-i)}$（$0\le i\le n-1$）とおけば、これは長さ $n-1$ の中心列であり、$U_n(K)$ は冪零類 $n-1$ 以下の冪零群である。
交換子の式：$X:=aE_{ij}$、$Y:=bE_{jk}$ とおくと、$XY=abE_{ik}$ で、$X^2=Y^2=YX=0$ である（$i< j< k$ なので $E_{jk}E_{ij}=0$）。$(I+X)^{-1}=I-X$、$(I+Y)^{-1}=I-Y$ なので
$$ [I+X,I+Y]=(I+X+Y+XY)(I-X-Y+XY)=I+XY $$
である（展開して $X^2=Y^2=YX=0$ を使うと、残る項は $I-X-Y+XY+X-XY+Y+XY$）。
冪零類がちょうど $n-1$ であること：$n\ge2$ とし、$c_2:=[I+E_{12},I+E_{23}]=I+E_{13}$、$c_m:=[c_{m-1},I+E_{m,m+1}]=I+E_{1,m+1}$（$3\le m\le n-1$）とおく。$c_2\in\gamma_2$ であり、$c_{m-1}\in\gamma_{m-1}$ なら $c_m\in[\gamma_{m-1},U_n(K)]=\gamma_m$ である。よって $I+E_{1n}=c_{n-1}\in\gamma_{n-1}(U_n(K))$ は単位行列でない（$n=2$ のときは $\gamma_1=U_2(K)\ni I+E_{12}$ と読む）。冪零類 $c$ が $n-2$ 以下なら thm-nilpotent-equivalence により $\gamma_{n-1}\subset\gamma_{c+1}=\{e\}$ となるので、冪零類は $n-1$ である。$n=1$ なら $U_1(K)$ は自明群で冪零類 $0$ である。$\square$

1・2：lem-nilpotent-series-basic の 3 により、部分群 $H$ について $\gamma_{c+1}(H)\subset\gamma_{c+1}(G)=\{e\}$、全射 $\varphi\colon G\to K$ について $\gamma_{c+1}(K)=\varphi(\gamma_{c+1}(G))=\{e\}$ である。thm-nilpotent-equivalence から結論が従う。
3：射影 $p_j\colon G_1\times G_2\to G_j$ は全射準同型なので、$p_j(\gamma_i(G_1\times G_2))=\gamma_i(G_j)$ であり、$\gamma_i(G_1\times G_2)\subset\gamma_i(G_1)\times\gamma_i(G_2)$ である。逆に $G_1\times\{e\}$ は $G_1$ と同型な部分群なので $\gamma_i(G_1)\times\{e\}=\gamma_i(G_1\times\{e\})\subset\gamma_i(G_1\times G_2)$ であり、$\{e\}\times\gamma_i(G_2)$ も同様である。この二つの部分群の積が $\gamma_i(G_1)\times\gamma_i(G_2)$ なので、等号が成り立つ。冪零類の主張は thm-nilpotent-equivalence による。
4：$\pi\colon L\to L/Z(L)$ を標準的な全射とすると、$\pi(\gamma_{c+1}(L))=\gamma_{c+1}(L/Z(L))=\{e\}$ なので $\gamma_{c+1}(L)\subset Z(L)$ であり、$\gamma_{c+2}(L)=[\gamma_{c+1}(L),L]\subset[Z(L),L]=\{e\}$ である。$\square$

$Z_c(G)=G$ とする。$N\cap Z_c(G)=N\neq\{e\}$ なので、$N\cap Z_i(G)\neq\{e\}$ となる最小の $i$ がとれ、$N\cap Z_0(G)=\{e\}$ より $i\ge1$ である。$x\in N\cap Z_i(G)$、$x\neq e$ をとる。$g\in G$ について、$[x,g]=x\cdot(gx^{-1}g^{-1})$ は $N$ に属し（$N$ は正規）、lem-nilpotent-series-basic の 1 により $Z_{i-1}(G)$ にも属する。$i$ の最小性から $N\cap Z_{i-1}(G)=\{e\}$ なので $[x,g]=e$ であり、$x\in Z(G)$ である。後半は $N=G$ とすればよい。$\square$

$Z_c(G)=G$ とする。$Z_0(G)=\{e\}\subset H$ で、$Z_c(G)=G\not\subset H$ なので、$Z_i(G)\subset H$ となる最大の $i$ をとると $i< c$ であり、$x\in Z_{i+1}(G)\setminus H$ がとれる。$h\in H$ について
$$ xhx^{-1}=[x,h]\,h,\qquad [x,h]\in Z_i(G)\subset H $$
なので（lem-nilpotent-series-basic の 1）、$xHx^{-1}\subset H$ である。$x^{-1}\in Z_{i+1}(G)$ にも同じ議論を使うと $x^{-1}Hx\subset H$ なので、$xHx^{-1}=H$、すなわち $x\in N_G(H)\setminus H$ である。
$M$ が極大部分群なら $M\subsetneq N_G(M)$ であり、極大性から $N_G(M)=G$、すなわち $M$ は正規部分群である。$\square$

$Z_i:=Z_i(G)$ は正規部分群なので $HZ_i=Z_iH$ は部分群である。$HZ_i\trianglelefteq HZ_{i+1}$ を示す。$HZ_{i+1}$ の元は $hz$（$h\in H$、$z\in Z_{i+1}$）と書けるので、$h$ と $z$ による共役で $HZ_i$ が保たれることを示せばよい。$h(HZ_i)h^{-1}=H\cdot hZ_ih^{-1}=HZ_i$ である。$y\in HZ_i$ について $zyz^{-1}=[z,y]\,y$ で、$[z,y]\in Z_i$ なので（lem-nilpotent-series-basic の 1）、$zyz^{-1}\in Z_i\cdot HZ_i=HZ_i$ である。$z^{-1}\in Z_{i+1}$ についても同じなので $z(HZ_i)z^{-1}=HZ_i$ である。$\square$

(1)⇒(2) は thm-nilpotent-normalizer である。(2)⇒(3) は thm-nilpotent-normalizer の証明の最後の段落と同じである。
(3)⇒(4)：$P$ を Sylow $p$ 部分群とし、$N_G(P)\neq G$ と仮定する。$N_G(P)$ を含む真部分群のうち位数が最大のもの $M$ は極大部分群なので、仮定により正規部分群である。$g\in G$ とすると $gPg^{-1}\subset gMg^{-1}=M$ である。$|P|$ は $|G|$ を割る最大の $p$ の冪で、$P\subset M$ だから $|P|$ は $|M|$ を割る最大の $p$ の冪でもあり、$P$ と $gPg^{-1}$ はともに $M$ の Sylow $p$ 部分群である。Sylowの定理 の記事の定理「Sylowの定理の主張」の 3（共役性）を $M$ に適用すると、$gPg^{-1}=mPm^{-1}$ となる $m\in M$ がある。すると $m^{-1}g\in N_G(P)\subset M$ なので $g\in M$ である。$g$ は任意なので $G=M$ となり、$M$ が真部分群であることに反する。よって $N_G(P)=G$ である（この論法は Frattini の論法と呼ばれる。DF04 §6.1 Proposition 6, p. 193）。
(4)⇒(5)：$i\neq j$、$x\in P_i$、$y\in P_j$ とする。$P_i,P_j$ は正規なので $[x,y]=(xyx^{-1})\,y^{-1}\in P_j$、$[x,y]=x\,(yx^{-1}y^{-1})\in P_i$ である。$P_i\cap P_j$ の位数は互いに素な $|P_i|$ と $|P_j|$ をともに割るので $P_i\cap P_j=\{e\}$ であり、$[x,y]=e$、すなわち $xy=yx$ である。異なる Sylow 部分群の元どうしが可換なので、$\mu$ は準同型である。$Q_k:=\mu(P_1\times\cdots\times P_k\times\{e\}\times\cdots\times\{e\})=P_1\cdots P_k$ は位数が $|P_1|\cdots|P_k|$ を割る部分群である。$x_1\cdots x_s=e$ なら $x_s=(x_1\cdots x_{s-1})^{-1}\in P_s\cap Q_{s-1}$ であり、位数が互いに素なので $x_s=e$ である。同じ議論をくり返すとすべての $x_i=e$ となり、$\mu$ は単射である。両辺の位数はともに $|P_1|\cdots|P_s|=|G|$ なので、$\mu$ は全単射である。
(5)⇒(1)：各 $P_i$ は有限 $p_i$ 群なので冪零群であり（p群 の記事の定理「有限 $p$ 群は冪零」）、prop-nilpotent-closure の 3 によりその直積も冪零群である。$\square$

thm-nilpotent-finite の 5 により $G=P_1\times\cdots\times P_s$ とみて、$x=(x_1,\dots,x_s)$、$y=(y_1,\dots,y_s)$ と書く。$x_i$ の位数は $x$ の位数を割る（第 $i$ 成分への射影は準同型）$p_i$ の冪であり、$y_i$ についても同様である。$x$ と $y$ の位数は互いに素なので、各 $i$ で $x_i=e$ か $y_i=e$ のどちらかが成り立ち、$x_iy_i=y_ix_i$ である。成分ごとに可換なので $xy=yx$ である。$\square$

$d=p_1^{b_1}\cdots p_s^{b_s}$（$0\le b_i\le a_i$）と書く。p群 の記事の定理「中心的な正規部分群の鎖」により、$P_i$ は位数 $p_i^{b_i}$ の正規部分群 $N_i$ をもつ。$N_1\times\cdots\times N_s$ は $P_1\times\cdots\times P_s$ の位数 $d$ の正規部分群であり、thm-nilpotent-finite の同型 $\mu$ で移せばよい。$\square$