D加群の左右の入れ替え

関係式は $\mathcal{E}nd_k(\mathcal{O}_V)$ の中で成り立つ（$\partial_i(af)=a\partial_i(f)+\partial_i(a)f$ と偏微分の交換）ので、準同型 $\phi\colon R_V\to\mathcal{D}_X(V)$ が定まる。$R_V$ の生成元の語に現れる $\partial_ia$ を $a\partial_i+\partial_i(a)$ に置き換えると、$\partial$ の個数は増えず、$\partial$ の右にある $A$ の元の個数が減る。これを繰り返せば語は $a\,\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_r}$ の和になり、$\partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i$ で $a\,\partial^\alpha$ の和に整えられる。よって $R_V$ は $\sum_\alpha a_\alpha\partial^\alpha$（有限和）の全体であり、$\phi$ の像は有限和の全体である。$\phi(\sum a_\alpha\partial^\alpha)=0$ なら、$\partial^\alpha$ が左 $\mathcal{O}$ 基底であることからすべての $a_\alpha=0$ である。最後の主張は、$\mathcal{D}_U$ が $\bigoplus_\alpha\mathcal{O}_U\partial^\alpha$ であって切断が局所的に有限和であることの言い換えである。

右 $\mathcal{D}_X$ 加群からは、$\mathcal{D}_X$ の中で成り立つ $f\cdot\theta=f\theta$（R0：$s\cdot(f\theta)=(s\cdot f)\cdot\theta$）、$\theta f=f\theta+\theta(f)$（R1：$(s\cdot\theta)\cdot f=(s\cdot f)\cdot\theta+\theta(f)s$）、$[\theta,\varphi]=\theta\varphi-\varphi\theta$（R2）により三条件が従う。

逆に三条件を満たす射が与えられたとする。座標をもつ開集合 $U$ と開集合 $V\subset U$ をとり、$R_V$ を lem-side-change-presentation のとおりとする。$\operatorname{End}_k(\mathcal{N}(V))$ の反対環への写像を、$a\in A$ は $s\mapsto as$、$\partial_i$ は $s\mapsto s\partial_i$ で定める。関係式 $\partial_ia-a\partial_i=\partial_i(a)$ は反対環の中では $(s\partial_i)a-(as)\partial_i=\partial_i(a)s$ を要求し、これは R1 である。$\partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i$ は $(s\partial_i)\partial_j=(s\partial_j)\partial_i$ を要求し、これは $[\partial_i,\partial_j]=0$ に R2 を当てたものである。よって $R_V$ の右作用が定まり、lem-side-change-presentation により $\mathcal{D}_X(V)$ の有限和の切断の右作用になる。一般の切断の作用は、有限和になる開集合の上で定めて貼り合わせる（制限と両立するので矛盾しない）。$\theta=\sum_ia_i\partial_i$ の作用は R0 により $s\theta=\sum_i(a_is)\partial_i$ で、$\theta$ を $\mathcal{D}_X$ の元として作用させたものと一致する。$\mathcal{D}_U$ は $\mathcal{O}_U$ と $\Theta_U$ で生成されるので、「$\mathcal{O}$ の作用を延長し、各 $\theta$ が与えられた射のとおりに作用する」右作用はただ 1 つであり、座標をもつ 2 つの開集合の上で作った構造は共通部分で一致する。したがって貼り合わさって $\mathcal{N}$ 全体の右 $\mathcal{D}_X$ 加群構造になる。射の主張も、$\mathcal{D}_X$ が $\mathcal{O}_X$ と $\Theta_X$ で生成されることから従う。

$[\theta,\varphi]=\sum_j\bigl(\theta(b_j)-\varphi(a_j)\bigr)\partial_j$ なので$$\operatorname{div}[\theta,\varphi]=\sum_{i,j}\Bigl(\partial_j(a_i)\partial_i(b_j)+a_i\partial_i\partial_j(b_j)-\partial_j(b_i)\partial_i(a_j)-b_i\partial_i\partial_j(a_j)\Bigr)=\theta(\operatorname{div}\varphi)-\varphi(\operatorname{div}\theta)$$である（第 1 項と第 3 項は $i$ と $j$ を入れ替えると打ち消し合う）。一方、$\mathrm{Lie}_\theta(h\,dx)=(\theta(h)+h\operatorname{div}\theta)dx$ を 2 回使うと$$\mathrm{Lie}_\theta\mathrm{Lie}_\varphi(g\,dx)=\Bigl(\theta\varphi(g)+\theta(g)\operatorname{div}\varphi+g\,\theta(\operatorname{div}\varphi)+\varphi(g)\operatorname{div}\theta+g\operatorname{div}\varphi\operatorname{div}\theta\Bigr)dx$$であり、$\theta$ と $\varphi$ を入れ替えたものを引くと対称な項が消えて$$[\mathrm{Lie}_\theta,\mathrm{Lie}_\varphi](g\,dx)=\Bigl([\theta,\varphi](g)+g\bigl(\theta(\operatorname{div}\varphi)-\varphi(\operatorname{div}\theta)\bigr)\Bigr)dx=\mathrm{Lie}_{[\theta,\varphi]}(g\,dx)$$

1. $R_\theta(n\otimes s):=n\theta\otimes s-n\otimes\theta s$ が $\mathcal{O}_X$ 上のテンソル積の上で定まることを示す。$n$ と $s$ について $k$ 双線形であり、$R_\theta(fn\otimes s)=(f(n\theta)-\theta(f)n)\otimes s-fn\otimes\theta s$、$R_\theta(n\otimes fs)=n\theta\otimes fs-n\otimes(f\theta s+\theta(f)s)$ は等しい（$\mathcal{N}$ の R1 と $\mathcal{M}$ の L1）。さらにこの計算は $R_\theta(f(n\otimes s))=fR_\theta(n\otimes s)-\theta(f)(n\otimes s)$、すなわち R1 も示している。R0：$R_{f\theta}(n\otimes s)=n(f\theta)\otimes s-n\otimes f\theta s=(fn)\theta\otimes s-fn\otimes\theta s=R_\theta(fn\otimes s)$。R2：$R_\varphi R_\theta(n\otimes s)=(n\theta)\varphi\otimes s-n\theta\otimes\varphi s-n\varphi\otimes\theta s+n\otimes\varphi\theta s$ から $\theta,\varphi$ を入れ替えたものを引くと、中央の 2 項は対称で消え、$\bigl((n\theta)\varphi-(n\varphi)\theta\bigr)\otimes s-n\otimes(\theta\varphi-\varphi\theta)s=n[\theta,\varphi]\otimes s-n\otimes[\theta,\varphi]s=R_{[\theta,\varphi]}(n\otimes s)$ となる。prop-side-change-criterion により右 $\mathcal{D}_X$ 加群である。

2. $\theta\phi$ が $\mathcal{O}_X$ 線形であること：$(\theta\phi)(fn)=\phi(f(n\theta)-\theta(f)n)-(f\phi(n))\theta=f\phi(n\theta)-\theta(f)\phi(n)-f(\phi(n)\theta)+\theta(f)\phi(n)=f(\theta\phi)(n)$。L0：$((f\theta)\phi)(n)=\phi((fn)\theta)-(f\phi(n))\theta=(\theta\phi)(fn)=f(\theta\phi)(n)$。L1：$(\theta(f\phi))(n)=f\phi(n\theta)-\bigl(f(\phi(n)\theta)-\theta(f)\phi(n)\bigr)=f(\theta\phi)(n)+\theta(f)\phi(n)$。L2：$(\theta(\varphi\phi))(n)=\phi((n\theta)\varphi)-\phi(n\theta)\varphi-\phi(n\varphi)\theta+(\phi(n)\varphi)\theta$ から $\theta,\varphi$ を入れ替えたものを引くと、$\phi\bigl((n\theta)\varphi-(n\varphi)\theta\bigr)-\bigl((\phi(n)\theta)\varphi-(\phi(n)\varphi)\theta\bigr)=\phi(n[\theta,\varphi])-\phi(n)[\theta,\varphi]=([\theta,\varphi]\phi)(n)$。D加群 の命題「可積分接続と左$\mathcal{D}$加群の同値」の判定により左 $\mathcal{D}_X$ 加群である。

関手性：$v\colon\mathcal{M}\to\mathcal{M}'$ が左 $\mathcal{D}_X$ 加群の射なら $\mathrm{id}\otimes v$ は $R_\theta$ と可換であり、prop-side-change-criterion の射の判定により右 $\mathcal{D}_X$ 加群の射である。$\mathcal{H}om$ についても同様に、右 $\mathcal{D}_X$ 加群の射 $w\colon\mathcal{N}'\to\mathcal{N}''$ との合成は $\theta$ の作用と可換である。

1. 反対環 $\mathcal{D}_U^{\mathrm{op}}$ への準同型を lem-side-change-presentation の生成元で与える。$a\mapsto a$、$\partial_i\mapsto-\partial_i$ について、$R_V$ の関係式 $\partial_ia-a\partial_i=\partial_i(a)$ の像は、反対環の積を $\mathcal{D}_U$ の積に直すと $a(-\partial_i)-(-\partial_i)a=\partial_ia-a\partial_i=\partial_i(a)$ であり成り立つ。$\partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i$ の像も成り立つ。よって各 $V$ で反準同型 $R_V\to\mathcal{D}_X(V)$ が定まり、lem-side-change-presentation と局所性により $\mathcal{D}_U$ の反自己準同型 $t$ を得る。生成元が決まれば反準同型は決まるので一意である。$t\circ t$ は生成元を動かさない準同型なので恒等写像であり、$t$ は反自己同型である。$(a\partial^\alpha)^{t}=(\partial^\alpha)^{t}a^{t}=(-\partial)^\alpha a$ から式が従う。

2. $dx\cdot\partial_i=-\mathrm{Lie}_{\partial_i}(dx)=-\operatorname{div}(\partial_i)\,dx=0$ なので、$(dx\otimes s)\cdot\partial_i=dx\cdot\partial_i\otimes s-dx\otimes\partial_is=dx\otimes\partial_i^{t}s$ であり、$(dx\otimes s)\cdot f=dx\otimes fs=dx\otimes f^{t}s$ である。$P\mapsto(dx\otimes s\mapsto dx\otimes P^{t}s)$ も $P\mapsto(\text{右から }P\text{ を作用させる写像})$ も $\mathcal{D}_U$ から $\operatorname{End}_k$ への反準同型で、生成元で一致するので等しい。