平坦射の開性

まず、$0$ でない $A$ 加群 $N$ について $N\otimes_AB\ne0$ であることを示す。$0$ でない $u\in N$ をとり、$I=\operatorname{Ann}(u)$ とすると $Au\cong A/I$ で、$I\ne A$ なので $I\subset\mathfrak m$ である。$B$ は平坦なので包含 $Au\to N$ のテンソル $Au\otimes_AB\to N\otimes_AB$ は単射であり、$Au\otimes_AB\cong B/IB$ である。局所準同型なので $IB\subset\mathfrak mB\subset\mathfrak n$ で、$B/IB\ne0$ である。よって $N\otimes_AB\ne0$ である。
$\mathfrak p\in\operatorname{Spec}A$ とし、$N=\kappa(\mathfrak p)$ に当てると、$B\otimes_A\kappa(\mathfrak p)=B_{\mathfrak p}/\mathfrak pB_{\mathfrak p}$（$B_{\mathfrak p}$ は $A\setminus\mathfrak p$ の像による局所化）は $0$ でない環なので素イデアルをもつ。その $B$ への引き戻し $\mathfrak q$ は $A\setminus\mathfrak p$ の像と交わらず、$\mathfrak pB$ を含むので、$\mathfrak q$ の $A$ への引き戻しは $\mathfrak p$ である。$\square$

これは 下降定理 の定理「平坦な準同型の下降定理」の主張そのものであり、詳しい証明はそこにある。筋だけ述べると、平坦な局所準同型 $A_{\mathfrak p}\to B_{\mathfrak q}$ に lem-openness-flat-surjective を当てて、$B_{\mathfrak q}$ の素イデアルで $A_{\mathfrak p}$ への引き戻しが $\mathfrak p'A_{\mathfrak p}$ になるものをとり、それを $B$ へ引き戻せばよい。$\square$

$y$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A$ と、$f^{-1}(\operatorname{Spec}A)$ に含まれる $x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}B$ をとり、$x$、$y$ を素イデアル $\mathfrak q\subset B$、$\mathfrak p\subset A$ とみる。$\mathfrak p$ は $\mathfrak q$ の引き戻しで、平坦性から $A_{\mathfrak p}\to B_{\mathfrak q}$ は平坦である。$y'$ は $y$ の開近傍 $\operatorname{Spec}A$ に属し（開集合は一般化で閉じる）、素イデアル $\mathfrak p'$ に対応する。$\overline{\{y'\}}\cap\operatorname{Spec}A=V(\mathfrak p')$ が $\mathfrak p$ を含むので $\mathfrak p'\subset\mathfrak p$ である。prop-openness-flat-going-down により $\mathfrak q'\subset\mathfrak q$ で引き戻しが $\mathfrak p'$ のものがあり、対応する点 $x'\in\operatorname{Spec}B$ は $x\in V(\mathfrak q')=\overline{\{x'\}}\cap\operatorname{Spec}B$ をみたし、$f(x')=y'$ である。$\square$

前半は後半を補集合 $F=Y\setminus E$ に当てればよい。$F$ は構成可能（構成可能集合(位相) の命題「構成可能集合はBoolean代数をなす」）で、特殊化で閉じる。実際、$y\in F$ の特殊化 $z$ が $E$ に属すれば、$y$ は $z$ の一般化なので $E$ に属し、矛盾する。
後半を示す。$F$ を構成可能で特殊化で閉じた集合とし、$W=\overline F$ とする。$Y$ の底空間は Noether 空間なので、$W$ の既約成分 $W_1,\dots,W_r$ は有限個で、どれもほかの成分の和に含まれない。構成可能集合(位相) の命題「閉包の稠密な開集合を含む」により、$F$ は $W$ で稠密な $W$ の開集合 $V$ を含む。各 $j$ について $V\cap W_j\ne\emptyset$ である。そうでなければ $V$ は閉集合 $\bigcup_{l\ne j}W_l$ に含まれ、その閉包 $W$ も含まれて、$W_j\subset\bigcup_{l\ne j}W_l$ となるからである。$W_j$ の生成点 $\xi_j$（生成点 の記事の命題「スキームの点と既約閉集合」）は、$W_j$ の空でない開集合 $V\cap W_j$ に属する（属さなければ $W_j=\overline{\{\xi_j\}}$ が閉集合 $W_j\setminus V$ に含まれる）。よって $\xi_j\in F$ であり、$F$ は特殊化で閉じるので $W_j=\overline{\{\xi_j\}}\subset F$ である。ゆえに $W\subset F$、すなわち $F$ は閉集合である。$\square$

1：$U\subset X$ を開集合とする。$U$ は Noether スキームで、包含 $U\to X$ は（$X$ が Noether なので準コンパクトな）開埋め込みだから有限型であり、$f|_U\colon U\to Y$ は有限型である。Chevalleyの定理 の定理「Chevalleyの定理（Noether版）」により $f(U)$ は構成可能集合である。$y\in f(U)$、$y=f(x)$（$x\in U$）とし、$y'$ を $y$ の一般化とすると、lem-openness-flat-generization により $x$ の一般化 $x'$ で $f(x')=y'$ となるものがあり、$U$ は開なので $x'\in U$ である。よって $f(U)$ は一般化で閉じ、lem-openness-flat-topological により開集合である。
2：底変換 $f'$ は平坦（平坦射 の記事の命題「合成と底変換」）かつ有限型であり、$X\times_YY'$ は Noether スキーム $Y'$ 上有限型なので Noether である。1 を $f'$ に当てればよい。$\square$

$\xi$ を $X$ の既約成分の生成点とし、$y=f(\xi)$ の一般化 $y'$ をとる。lem-openness-flat-generization により $\xi$ の一般化 $x'$ で $f(x')=y'$ となるものがあるが、$\overline{\{x'\}}$ は $\xi$ を含む既約閉集合なので、既約成分の極大性から $\overline{\{x'\}}=\overline{\{\xi\}}$、生成点の一意性から $x'=\xi$ である。よって $y'=y$ であり、$y$ は真の一般化をもたない。$\overline{\{y\}}$ を含む既約閉集合 $Z$ の生成点は $y$ の一般化なので $y$ に等しく、$Z=\overline{\{y\}}$ である。よって $\overline{\{y\}}$ は極大な既約閉集合、すなわち $Y$ の既約成分である。後半は、$Y$ の生成点に写る成分の像が稠密であることから従う。$\square$

thm-openness-flat により $f(X)$ は開で、仮定により閉で、$X\ne\emptyset$ なので空でない。$Y$ は連結なので $f(X)=Y$ である。$\square$