Weylスピノル

$q(v)\ne0$ のとき、$\check H(v)=q(v)H(v)^{-1}$ である。$q(\Lambda v)=q(v)$ なので
$$ \check H(\Lambda v)=q(v)\bigl(AH(v)A^*\bigr)^{-1}=(A^*)^{-1}\,q(v)H(v)^{-1}A^{-1}=(A^*)^{-1}\check H(v)A^{-1} $$
である。両辺は $v$ について連続で、$q(v)\ne0$ となる $v$ の全体は $\mathbb{R}^4$ で稠密なので、すべての $v$ で等式が成り立つ。$\square$

1．$u\ne0$ なら、$u$ を第 1 列とし行列式が $1$ の行列 $A$ がある（$u$ と 1 次独立な $w$ をとり、$\det(u\ w)$ で割った $w$ を第 2 列にする）。$Ae_1=u$ なので $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ は $\mathbb{C}^2\setminus\{0\}$ に推移的に作用し、不変な 1 次元部分空間はない。よって $D_R$ は既約である。$A\mapsto(A^*)^{-1}$ は $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ の全単射なので、$D_L$ の像も $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 全体であり、$D_L$ も既約である。
2．${}^tu\,\varepsilon\,w=u_1w_2-u_2w_1=\det(u\ w)$ なので、${}^t(Au)\varepsilon(Aw)=\det(A(u\ w))=\det A\det(u\ w)=\det(u\ w)$ である。$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ について直接計算すると $\varepsilon A\varepsilon^{-1}=\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}={}^tA^{-1}$（$ad-bc=1$ を使う）であり、$\varepsilon$ が $D_R$ と双対表現の間の同値を与える。
3．2 の式の複素共役をとると $\bar\varepsilon\bar A\bar\varepsilon^{-1}={}^t\bar A^{-1}=(A^*)^{-1}$ で、$\bar\varepsilon=\varepsilon$ である。
4．同値なら、ある可逆な $S$ ですべての $A$ について $SAS^{-1}=(A^*)^{-1}$ となり、跡をとると $\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}(A^*)^{-1}=\overline{\operatorname{tr}A^{-1}}$ である。$2\times2$ 行列で $\det A=1$ なら $\operatorname{tr}A^{-1}=\operatorname{tr}A$ なので、$\operatorname{tr}A$ はつねに実数になる。しかし $A=\operatorname{diag}(2i,-\frac i2)$ では $\operatorname{tr}A=\frac{3i}2$ であり、矛盾する。$\square$

1．$uu^*$ は Hermite 行列なので $H$ の逆像 $\Phi(u)=(t,x,y,z)$ がある。$\operatorname{tr}H(v)=2t$、$\operatorname{tr}(\sigma_jH(v))=2x_j$（$\operatorname{tr}\sigma_j=0$、$\operatorname{tr}(\sigma_j\sigma_k)=2\delta_{jk}$ による）と、$\operatorname{tr}(Muu^*)=u^*Mu$ から 1 の式を得る。$uu^*$ は階数 $1$ なので $q(\Phi(u))=\det(uu^*)=0$、また $t=\frac12|u|^2>0$ である。
2．$v\in\mathcal{N}^+$ とすると $H(v)$ は Hermite 行列で、固有値の積は $\det H(v)=0$、和は $\operatorname{tr}H(v)=2t>0$ なので、固有値は $0$ と $2t$ である。$2t$ に属する単位固有ベクトルを $w$ とすると $H(v)=2t\,ww^*$ なので（スペクトル分解）、$u:=\sqrt{2t}\,w$ について $\Phi(u)=v$ である。次に $uu^*=u'u'^*$ とする。両辺を $u$ に掛けると $|u|^2u=(u'^*u)u'$ なので $u'$ は $u$ の $0$ でない複素数倍 $cu$ であり、$uu^*=|c|^2uu^*$ から $|c|=1$ である。逆に $u'=e^{i\theta}u$ なら $u'u'^*=uu^*$ である。
3．$H(\Phi(Au))=Auu^*A^*=AH(\Phi(u))A^*=H(\rho(A)\Phi(u))$ で、$H$ は単射である。$\square$

$\mathbb{R}^4$ の標準基底を $f_0,\dots,f_3$、その双対基底を $dx^0,\dots,dx^3$（$x^0:=t$）とする。各点での微分 $\ell:=d\psi_v\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{C}^2$（実線形写像）に対し $\mathcal{S}_R(\ell):=\ell(f_0)+\sum_j\sigma_j\ell(f_j)$ とおくと $(R\psi)(v)=\mathcal{S}_R(d\psi_v)$ である。
まず $\ell=u\otimes\xi$、すなわち $\ell(w)=\xi(w)u$（$u\in\mathbb{C}^2$、$\xi$ は実線形形式）の場合を考える。$\eta$ は非退化なので $\xi=\eta(k,\cdot)$ となる $k\in\mathbb{R}^4$ がただ 1 つあり、$\xi(f_0)=k^0$、$\xi(f_j)=-k^j$ だから
$$ \mathcal{S}_R(u\otimes\xi)=\bigl(k^0I-\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{\sigma}\bigr)u=\check H(k)u $$
である。$\xi\circ\Lambda^{-1}=\eta(k,\Lambda^{-1}\cdot)=\eta(\Lambda k,\cdot)$ なので、lem-ws-check-h から
$$ \mathcal{S}_R\bigl(A\,\ell\,\Lambda^{-1}\bigr)=\mathcal{S}_R\bigl((Au)\otimes(\xi\circ\Lambda^{-1})\bigr)=\check H(\Lambda k)Au=(A^*)^{-1}\check H(k)A^{-1}Au=(A^*)^{-1}\mathcal{S}_R(\ell) $$
である。一般の $\ell$ は $\ell=\sum_\mu\ell(f_\mu)\otimes dx^\mu$ と書け、両辺は $\ell$ について線形なので、すべての $\ell$ で $\mathcal{S}_R(A\ell\Lambda^{-1})=(A^*)^{-1}\mathcal{S}_R(\ell)$ が成り立つ。$\psi':=A\cdot_R\psi$ の微分は連鎖律により $d\psi'_v=A\circ d\psi_{\Lambda^{-1}v}\circ\Lambda^{-1}$ なので、第 1 式を得る。
左巻きでは $\mathcal{S}_L(\ell):=\ell(f_0)-\sum_j\sigma_j\ell(f_j)$ とおくと、同様に $\mathcal{S}_L(u\otimes\xi)=H(k)u$ であり、$H(\Lambda k)=AH(k)A^*$ から $\mathcal{S}_L\bigl((A^*)^{-1}\ell\Lambda^{-1}\bigr)=AH(k)A^*(A^*)^{-1}u=A\,\mathcal{S}_L(\ell)$ となって第 2 式を得る。$\square$

1．$\psi$ の微分は $d\psi_v=-i\,e^{-i\eta(k,v)}\,u\otimes\eta(k,\cdot)$ なので、prf-ws-covariance の計算から $(R\psi)(v)=-i\,e^{-i\eta(k,v)}\check H(k)u$、$(L\psi)(v)=-i\,e^{-i\eta(k,v)}H(k)u$ である。
2．$\check H(k)=H(k^0,-\boldsymbol{k})$ なので $\det\check H(k)=q(k)=\det H(k)$ である。$0$ でない解があることは行列式が $0$ であることと同値である。$q(k)=0$ のとき、$k\ne0$ から $H(k)\ne0$、$\check H(k)\ne0$ で、行列式が $0$ なので階数は $1$、核は 1 次元である。
3．$\check H(k)u=k^0\bigl(u-(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})u\bigr)$ なので、右巻きの条件は $(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})u=u$ である。固有値 $1$ の固有空間への直交射影は $\frac12(I+\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})$（$\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}$ の固有値が $\pm1$ だから）で、その像は 1 次元なので
$$ uu^*=|u|^2\cdot\frac12\bigl(I+\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}\bigr)=\frac{|u|^2}{2k^0}H(k) $$
であり、$\Phi(u)=\frac{|u|^2}{2k^0}k$ である。左巻きでは $H(k)u=k^0\bigl(u+(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})u\bigr)$ なので条件は $(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})u=-u$ である。$\square$

$\sigma_j$ は定数行列なので微分と交換し、偏微分の順序交換と $\sigma_j\sigma_k+\sigma_k\sigma_j=2\delta_{jk}I$ から
$$ \Bigl(\sum_j\sigma_j\partial_j\Bigr)^2\psi=\sum_{j,k}\sigma_j\sigma_k\partial_j\partial_k\psi=\frac12\sum_{j,k}(\sigma_j\sigma_k+\sigma_k\sigma_j)\partial_j\partial_k\psi=\sum_j\partial_j^2\psi $$
である。よって $LR\psi=RL\psi=\partial_t^2\psi-\sum_j\partial_j^2\psi$ であり、$R\psi=0$ なら $LR\psi=0$、$L\psi=0$ なら $RL\psi=0$ である。$\square$