局所可縮空間

$x$ の近傍 $U$ に対し、可縮な開集合 $V$ で $x\in V\subset U$ となるものをとる。$V$ の収縮 $H\colon V\times[0,1]\to V$（$H(v,0)=v$、$H(v,1)=v_0$）を、包含 $V\subset U$ と合成して $U$ に値をとる写像とみなせば、定義の $F$ が得られる。$\square$

1：$O$ を $C$ の開集合、$x\in O$ とし、$U$ を $x$ の近傍とする。$O\cap U$ は $x$ の近傍なので、$r>0$ を十分小さくとれば $B:=\{y\in C\mid\|y-x\|< r\}$ は $O\cap U$ に含まれる（$C$ の相対位相の定義）。$B$ は $C$ の開集合であり、開球と凸集合 $C$ の共通部分なので凸である。$H(y,t):=(1-t)y+tx$ とおくと、$y\in B$ と $t\in[0,1]$ について、凸性により $H(y,t)\in B$ である。$H$ はノルム空間の演算の連続性により連続で、$H(y,0)=y$、$H(y,1)=x$ なので、$B$ は可縮である。
2：$M$ を $n$ 次元の位相多様体（境界があってもよい）とし、$x\in M$、$U$ を $x$ の開近傍とする。$x$ の開近傍 $W$ と、$W$ から $C:=\mathbb{R}^n$ または閉半空間 $C:=\mathbb{H}^n=\{y\in\mathbb{R}^n\mid y_n\ge0\}$ の開集合 $\varphi(W)$ への同相写像 $\varphi$ がある（座標近傍）。どちらの $C$ も凸集合である。$\varphi(W\cap U)$ は凸集合 $C$ の開集合なので、1 により、$\varphi(x)$ の可縮な開近傍 $B\subset\varphi(W\cap U)$ がある。$V:=\varphi^{-1}(B)$ は $W$ の開集合、したがって $M$ の開集合で、$B$ と同相なので可縮であり、$x\in V\subset U$ である。$\square$

1（開集合であること）：$|K|\setminus\operatorname{St}(x)=\bigcup\{\tau\in K\mid x\notin\tau\}$ を示す。点 $z\in|K|$ の台を $\rho$（$z\in\operatorname{int}\rho$ となる唯一の単体）とする。開単体どうしは交わらないので、$z\in\operatorname{St}(x)$ であることは $x\in\rho$ と同値である。$z\notin\operatorname{St}(x)$ なら $x\notin\rho$ であり、$z\in\rho$ なので $z$ は右辺に属する。逆に $z\in\tau$、$x\notin\tau$ なら、$z$ の台 $\rho$ は $\tau$ の面（$\tau$ の中での $z$ の重心座標が正である頂点の張る面）なので $x\notin\rho$ となり、$z\notin\operatorname{St}(x)$ である。右辺は、局所有限な閉集合の族（各単体はコンパクトなので $|K|$ の閉集合である）の部分族の合併なので閉集合である（開被覆の記事の命題「局所有限な族の閉包」）。よって $\operatorname{St}(x)$ は開集合である。
1（線分）：$y\in\operatorname{int}\sigma$、$x\in\sigma$ とする。$0\le s< 1$ について $(1-s)y+sx$ の $\sigma$ での重心座標は、$y$ の重心座標（すべて正）の $1-s>0$ 倍と $x$ の重心座標（すべて $0$ 以上）の $s$ 倍の和なので、すべて正であり、この点は $\operatorname{int}\sigma\subset\operatorname{St}(x)$ に属する。$s=1$ の点 $x$ は、$x$ の台が $x$ を含むので $\operatorname{St}(x)$ に属する。
2：$U$ を $x$ の $|K|$ における近傍とし、$r>0$ を $\{z\in|K|\mid\|z-x\|< r\}\subset U$ となるようにとる。$V:=\{z\in\operatorname{St}(x)\mid\|z-x\|< r\}$ は 1 により $|K|$ の開集合で、$x\in V\subset U$ である。$y\in V$ なら線分 $[y,x]$ は $\operatorname{St}(x)$ に含まれ、開球は凸なので開球にも含まれるから、$[y,x]\subset V$ である。よって $H(y,t):=(1-t)y+tx$ は $V\times[0,1]$ から $V$ への連続写像で、$H(y,0)=y$、$H(y,1)=x$ を満たし、$V$ は可縮である。$\square$

1：$O$ を $X$ の開集合、$x\in O$、$U$ を $O$ における $x$ の近傍とする。$O$ が開集合なので $U$ は $X$ における $x$ の近傍でもある。$X$ の局所可縮性から得られる $x$ の近傍 $V\subset U$ とホモトピー $F\colon V\times[0,1]\to U$ は、$V\subset O$ なので $O$ における近傍とそのホモトピーでもある。強い意味の場合も、$X$ の可縮な開集合 $V\subset U$ は $O$ の可縮な開集合である。
2：まず $N$ は 1 により局所可縮である。$a\in A$ とし、$U$ を $A$ における $a$ の開近傍とする。$r$ は連続なので $r^{-1}(U)$ は $N$ の開集合で、$r(a)=a\in U$ より $a$ を含む。$N$ の局所可縮性により、$N$ における $a$ の近傍 $V'\subset r^{-1}(U)$ と、$F\colon V'\times[0,1]\to r^{-1}(U)$ で $F(v,0)=v$、$F(v,1)=c$（定点）となるものがある。$V:=V'\cap A$ は $A$ における $a$ の近傍であり、$v\in V$ なら $v=r(v)\in U$ なので $V\subset U$ である。
$$ G(v,t):=r\bigl(F(v,t)\bigr)\qquad(v\in V,\ t\in[0,1]) $$
とおくと、$G$ は $U$ に値をとる連続写像で、$G(v,0)=r(v)=v$、$G(v,1)=r(c)$ は $v$ によらない。よって $A$ は $a$ で局所可縮である。レトラクトは $N=X$ の場合である。$\square$

$X$ を ANR とする。絶対近傍レトラクトの記事の定理「凸集合への閉埋め込み」により、ノルム空間の凸集合 $K$ と、$X$ から $K$ の閉集合 $h(X)$ への同相写像 $h$ がある。$K$ は距離化可能なので、ANR の定義により $h(X)$ は $K$ の近傍レトラクトである。$K$ は thm-lcs-convex-manifold の 1 により局所可縮なので、thm-lcs-open-retract の 2 により $h(X)$ は局所可縮であり、これと同相な $X$ も局所可縮である。$\square$

射影を $p_\lambda\colon X\to X_\lambda$ と書く。
1・2 $\Rightarrow$ 局所可縮：$x=(x_\lambda)\in X$ と $x$ の近傍 $U$ をとる。$U$ は基本開集合 $\prod_{\lambda\in S}U_\lambda\times\prod_{\lambda\notin S}X_\lambda$（$S$ は有限集合、$U_\lambda$ は $X_\lambda$ の開集合）を含む。$T:=S\cup\{\lambda\mid X_\lambda\text{ は可縮でない}\}$ は 2 により有限集合であり、$\lambda\in T\setminus S$ については $U_\lambda:=X_\lambda$ とおく。$\lambda\in T$ については、1 により $x_\lambda$ の近傍 $V_\lambda\subset U_\lambda$ と $F_\lambda\colon V_\lambda\times[0,1]\to U_\lambda$（$F_\lambda(\cdot,0)$ が包含、$F_\lambda(\cdot,1)$ が定値 $c_\lambda$）をとる。$V_\lambda$ は開集合にとってよい。$\lambda\notin T$ については $X_\lambda$ の収縮 $F_\lambda\colon X_\lambda\times[0,1]\to X_\lambda$（$F_\lambda(\cdot,1)$ が定値 $c_\lambda$）をとり、$V_\lambda:=X_\lambda$ とおく（各 $\lambda$ について一つずつ選ぶので選択公理を用いる）。$V:=\prod_\lambda V_\lambda$ は $T$ が有限なので $x$ の開近傍であり、
$$ F(v,t):=\bigl(F_\lambda(v_\lambda,t)\bigr)_{\lambda\in\Lambda} $$
とおくと、各成分 $(v,t)\mapsto F_\lambda(p_\lambda(v),t)$ が連続なので $F\colon V\times[0,1]\to X$ は連続であり（直積位相の普遍性）、値は $\prod_{\lambda\in T}U_\lambda\times\prod_{\lambda\notin T}X_\lambda\subset U$ に入る。$F(v,0)=v$、$F(v,1)=(c_\lambda)_\lambda$ なので、$X$ は $x$ で局所可縮である。
局所可縮 $\Rightarrow$ 1：$\mu\in\Lambda$ を固定し、各 $\lambda\neq\mu$ について点 $q_\lambda\in X_\lambda$ を選ぶ。$s\colon X_\mu\to X$ を、第 $\mu$ 成分が $y$、それ以外の第 $\lambda$ 成分が $q_\lambda$ の点 $s(y)$ で定めると、$s$ は連続で $p_\mu\circ s=\operatorname{id}$ である。よって $s(X_\mu)$ は $X$ のレトラクト（レトラクション $s\circ p_\mu$）であり、thm-lcs-open-retract の 2 により局所可縮である。$s$ は $X_\mu$ から $s(X_\mu)$ への同相写像（逆写像は $p_\mu$ の制限）なので、$X_\mu$ も局所可縮である。
局所可縮 $\Rightarrow$ 2：点 $x\in X$ をとり、局所可縮性を近傍 $U:=X$ に使って、$x$ の近傍 $V$ と $F\colon V\times[0,1]\to X$（$F(v,0)=v$、$F(v,1)=c$）をとる。$V$ は基本開集合 $\prod_{\lambda\in S}V_\lambda\times\prod_{\lambda\notin S}X_\lambda$（$S$ は有限）を含む。$\mu\notin S$ とし、$j\colon X_\mu\to X$ を、第 $\mu$ 成分が $y$、それ以外の成分が $x$ と同じ点 $j(y)$ で定める。$j$ は連続で、$j(X_\mu)$ は上の基本開集合、したがって $V$ に含まれる。$G(y,t):=p_\mu\bigl(F(j(y),t)\bigr)$ は連続で、$G(y,0)=y$、$G(y,1)=p_\mu(c)$ なので $X_\mu$ は可縮である。よって $X_\lambda$ が可縮でない $\lambda$ は有限集合 $S$ に含まれる。$\square$

上の一つ目により $X$ は局所弧状連結であり、連結かつ局所弧状連結な空間は弧状連結である（弧状連結空間の記事の定理「連結性からの回復」）。上の二つ目により $X$ は半局所単連結である。弧状連結・局所弧状連結・半局所単連結な空間は普遍被覆をもつ（半局所単連結空間の記事の定理「普遍被覆の存在（引用）」、Hat02 §1.3, pp. 63–65）。後半は thm-lcs-convex-manifold、rem-lcs-cw、cor-lcs-anr による。$\square$