主束の分類定理

1：$U$ を $P$ と $P'$ の両方の自明化開集合とし（2 つの自明化開集合の共通部分をとればよい）、$\sigma(x):=\mathrm{pr}_2\,\varphi'_U\Psi\varphi_U^{-1}(x,e)$ とおく。$\sigma\colon U\to G$ は連続で、同変性から $\varphi'_U\Psi\varphi_U^{-1}(x,h)=(x,\sigma(x)h)$ である。逆元をとる写像は連続なので、$(x,k)\mapsto(x,\sigma(x)^{-1}k)$ は連続な逆写像である。よって $\Psi$ は各 $p^{-1}(U)$ から $p'^{-1}(U)$ への同相写像であり、これらの開集合は $P,P'$ を覆うので、$\Psi$ は同相写像である。

2：$(x,h)\mapsto s(x)h$ は $X\times G$ から $P$ への射なので、1 により同型である。$\square$

$B$ の空でない有限部分集合 $S$ に対し $$\psi_S(x):=\max\Bigl\{0,\ \min_{\beta\in S}\varphi_\beta(x)-\sup_{\gamma\notin S}\varphi_\gamma(x)\Bigr\}$$ とおく（$\sup$ は $0$ 以上の値の上限で、空なら $0$）。点の近傍 $N$ で、$N$ 上恒等的に $0$ でない $\varphi_\beta$ の添字が有限集合 $B_N$ に限るものをとる。$N$ 上で $\sup_{\gamma\notin S}\varphi_\gamma$ は $0$ と有限個の $\varphi_\gamma$（$\gamma\in B_N\setminus S$）の最大値なので、$\psi_S$ は連続である。また $S\not\subset B_N$ なら $\psi_S$ は $N$ 上で $0$ である。

$V_S:=\{\psi_S>0\}$ の点では、$\beta\in S$ について $\varphi_\beta>0$ なので $V_S\subset\{\varphi_\beta>0\}$ である。$S\ne T$、$|S|=|T|$ なら $\beta\in S\setminus T$、$\gamma\in T\setminus S$ がとれて、$V_S$ では $\varphi_\beta>\varphi_\gamma$、$V_T$ では $\varphi_\gamma>\varphi_\beta$ なので $V_S\cap V_T=\emptyset$ である。各点 $x$ で $S(x):=\{\beta\mid\varphi_\beta(x)>0\}$ は空でない有限集合で、$\psi_{S(x)}(x)=\min_{\beta\in S(x)}\varphi_\beta(x)>0$ である。

$w_n:=\sum_{|S|=n+1}\psi_S$ は $N$ 上では有限和（$S\subset B_N$ のものだけ）なので連続で、$n+1>|B_N|$ なら $N$ 上で $0$ である。$\sum_mw_m$ は局所的に有限和で、各点で正である。$u_n:=w_n/\sum_mw_m$ とおくと $(u_n)_{n\ge0}$ は 1 の分割で、$\{u_n>0\}=\bigcup_{|S|=n+1}V_S$ は互いに交わらない開集合の和である。

後半：$P$ を自明化する 1 の分割 $(\varphi_\beta)$ に前半を当てる。各 $V_S$ の上の自明化を並べると、互いに交わらない開集合の和 $\{u_n>0\}$ の上の自明化になる。$\square$

$M:=\max_\lambda u_\lambda$ は局所的に有限個の連続関数の最大値なので連続で、和が $1$ だから各点で $M>0$ である。$a_\lambda:=\max\{0,u_\lambda-M/2\}$ とおく。各点で最大値をとる $\lambda$ について $a_\lambda=M/2>0$ なので、局所的に有限和である $\sum_\mu a_\mu$ は連続で正であり、$\rho_\lambda:=a_\lambda/\sum_\mu a_\mu$ は 1 の分割である。$\{\rho_\lambda>0\}=\{u_\lambda>M/2\}$ は閉集合 $\{u_\lambda\ge M/2\}$ に含まれるので、$\operatorname{supp}\rho_\lambda\subset\{u_\lambda\ge M/2\}\subset\{u_\lambda>0\}$ である（$M>0$ による）。$\square$

自明化 $\tau_1\colon Q|_{A\times[a,c]}\to A\times[a,c]\times G$、$\tau_2\colon Q|_{A\times[c,b]}\to A\times[c,b]\times G$ をとる。$A\times\{c\}$ の上で $\tau_1\tau_2^{-1}$ は射なので、$\theta(y):=\mathrm{pr}_3\,\tau_1\tau_2^{-1}(y,c,e)$ とおくと $\theta\colon A\to G$ は連続で、同変性から $\tau_1\tau_2^{-1}(y,c,h)=(y,c,\theta(y)h)$ である。$\tau_2(z)=(y,t,h)$ のとき $\tau_2'(z):=(y,t,\theta(y)h)$ とおくと、左からの積は右作用と可換なので $\tau_2'$ も $G$ 同変な同相写像（逆写像は $\theta(y)^{-1}$ を掛ける）であり、$A\times\{c\}$ の上で $\tau_1$ と一致する。$Q|_{A\times[a,c]}$ と $Q|_{A\times[c,b]}$ は $Q|_{A\times[a,b]}$ を覆う 2 つの閉集合なので、$\tau_1$ と $\tau_2'$ を貼り合わせた写像は連続であり、逆写像も閉集合 $A\times[a,c]\times G$、$A\times[c,b]\times G$ の上の連続写像の貼り合わせなので連続である。$\square$

$(v_j)_{j\in J}$ を $Y\times I$ 上の 1 の分割で、$Q$ が各 $\{v_j>0\}$ の上で自明なものとする。$r\ge1$ と $q=1,\dots,r$ について $I^r_q:=[(q-1)/r,\,q/r]$ とおき、長さ $|k|:=r$ の添字の列 $k=(k_1,\dots,k_r)\in J^r$ に対して $$v_k(y):=\prod_{q=1}^r\min_{t\in I^r_q}v_{k_q}(y,t)$$ とおく。

段 1（連続性と長さごとの局所有限性）：連続関数 $v\colon Y\times I\to\mathbb{R}$ と閉区間 $I'\subset I$ について $y\mapsto\min_{t\in I'}v(y,t)$ は連続である。実際、$y_0$ と $\varepsilon>0$ に対し、各 $t\in I'$ の近傍 $N_t\times O_t$ で $|v-v(y_0,t)|<\varepsilon/2$ となるものをとり、有限個の $O_{t_1},\dots,O_{t_m}$ で $I'$ を覆って $N:=\bigcap_iN_{t_i}$ とおくと、$y\in N$、$t\in I'$ について $|v(y,t)-v(y_0,t)|<\varepsilon$ となるからである。よって $v_k$ は $[0,1]$ に値をとる連続関数である。次に $y_0\in Y$ を固定する。$\{y_0\}\times I$ はコンパクトなので、同じように有限個の近傍の積をとって、$y_0$ の開近傍 $N$ と有限集合 $J_0\subset J$ で、$j\notin J_0$ なら $v_j$ が $N\times I$ 上で恒等的に $0$ となるものがとれる。$k$ の成分のどれかが $J_0$ にないと $v_k$ は $N$ 上で $0$ なので、各 $r$ について $N$ 上で恒等的に $0$ でない $v_k$（$|k|=r$）は有限個である。

段 2（各点で正になる列がある）：開集合 $\{t\in I\mid v_j(y_0,t)>0\}$（$j\in J$）は $I$ を覆うので、Lebesgue 数（細分 の定理「Lebesgue 数の存在」）により $r$ を大きくとると、各 $I^r_q$ はそのどれか $\{t\mid v_{k_q}(y_0,t)>0\}$ に含まれる。$I^r_q$ はコンパクトなので $\min_{t\in I^r_q}v_{k_q}(y_0,t)>0$ であり、$v_k(y_0)>0$ である。

段 3（縦の自明性）：$U_k:=\{v_k>0\}$ の点 $y$ と $t\in I^r_q$ について $v_{k_q}(y,t)>0$ なので $U_k\times I^r_q\subset\{v_{k_q}>0\}$ であり、$Q$ は各 $U_k\times I^r_q$ の上で自明である。lem-cpb-slabs を $q$ について繰り返し使うと、$Q$ は $U_k\times I$ の上で自明である。

段 4（長い列を消す）：$w_r:=\sum_{|k|< r}v_k$（段 1 により局所的に有限和なので連続）とおき、$|k|=r$ について $\tilde u_k:=\max\{0,\,v_k-r\,w_r\}$ とおく。$\{\tilde u_k>0\}\subset U_k$ である。各点 $y$ で、$v_k(y)>0$ となる $k$ の長さの最小値を $r$ とすると $w_r(y)=0$ なので、その $k$ について $\tilde u_k(y)=v_k(y)>0$ である。局所有限性：$y_0$ と $v_{k_0}(y_0)>0$ となる $k_0$ をとり、$m>|k_0|$ を $v_{k_0}(y_0)>1/m$ となるようにとる。$w_m(y_0)\ge v_{k_0}(y_0)>1/m$ なので、$y_0$ の開近傍 $N'$ で $w_m>1/m$ となるものがある。$N'$ 上で、$|l|=s\ge m$ なら $s\,w_s\ge m\,w_m>1\ge v_l$ なので $\tilde u_l=0$ である。長さが $m$ 未満の列は段 1 により $y_0$ の近くで有限個を除いて $0$ である。よって $(\tilde u_k)_k$ は局所有限で、和は連続かつ正である。$\tilde u_k/\sum_l\tilde u_l$ は 1 の分割で、$Q$ は各 $\{\tilde u_k>0\}\times I$ の上で自明である。

段 5（可算個にして台を閉じる）：段 4 の 1 の分割に lem-cpb-countable の前半を当てると、1 の分割 $(u_n)_{n\ge0}$ で、各 $\{u_n>0\}$ が互いに交わらない開集合の和で、そのおのおのがある $\{\tilde u_k>0\}$ に含まれるものが得られる。各開集合の上の縦の自明化を並べると、$Q$ は $\{u_n>0\}\times I$ の上で自明である。lem-cpb-closed-support で台を閉じた 1 の分割を $\rho_{n+1}$、$V_{n+1}:=\{u_n>0\}$ とおけばよい。$\square$

$\alpha$ の連続性は座標による判定から従う（$t_{2i}\circ\alpha=t_i$、$t_{2i+1}\circ\alpha=0$、$g_{2i}\circ\alpha=g_i$）。同変性は明らかで、$\beta$ も同様である。

分類空間 の補題「位置ずらしのホモトピー」の写像 $\sigma_m$（第 $m$ 位置に $0$ を挿入し、第 $m$ 座標以降を 1 つ右へずらす）を使う。同補題により、$G$ 同変な連続写像 $H_m\colon EG\times I\to EG$ で $H_m(x,0)=\sigma_m(x)$、$H_m(x,1)=x$ を満たし、第 $m$ 位置より前の座標を動かさないものがある。

$\alpha_0:=\mathrm{id}$、$\alpha_k:=\sigma_{2k-1}\circ\alpha_{k-1}$（$k\ge1$）とおく。$k$ についての帰納法により、$\alpha_k(x)$ は第 $j$ 座標（$j\le k$）を第 $2j$ 位置に、第 $k+l$ 座標（$l\ge1$）を第 $2k+l$ 位置にもつので、第 $2k$ 位置までは $\alpha(x)$ と一致する。$(x,\tau)\mapsto H_{2k-1}(\alpha_{k-1}(x),1-\tau)$ は、第 $2k-2$ 位置までを動かさずに $\alpha_{k-1}$ から $\alpha_k$ へ結ぶ $G$ 同変なホモトピーである。これを $\tau\in[1-2^{-(k-1)},1-2^{-k}]$ に置いてつなぎ（継ぎ目では値が一致する）、$A(x,1):=\alpha(x)$ とする。

連続性：位置 $i$ を固定し、$2k-2\ge i$ となる $k$ をとる。第 $k$ 段以降のホモトピーは位置 $i$ を動かさず、そこでの値は $\alpha_{k-1}(x)$ の、したがって $\alpha(x)$ の値である。よって $EG\times[1-2^{-(k-1)},1]$ の上で $t_i\circ A=t_i\circ\alpha$ であり、$g_i\circ A=g_i\circ\alpha$ も $\{t_i\circ A>0\}$ との共通部分の上で成り立つ。$EG\times[0,1-2^{-(k-1)}]$ は有限個の閉集合（各段）で覆われ、各上で $t_i\circ A$、$g_i\circ A$ は連続である。有限個の閉集合の上で連続な関数は全体で連続なので、座標による判定により $A$ は連続である。

$\beta$ については $\beta_0:=\mathrm{id}$、$\beta_k:=\sigma_{2k-2}\circ\beta_{k-1}$ とおく。$\beta_k(x)$ は第 $j$ 座標（$j\le k-1$）を第 $2j+1$ 位置に、第 $k-1+l$ 座標（$l\ge1$）を第 $2k-1+l$ 位置にもち、第 $2k-1$ 位置までは $\beta(x)$ と一致する。第 $k$ 段のホモトピー $H_{2k-2}(\beta_{k-1}(x),1-\tau)$ は第 $2k-3$ 位置までを動かさないので、同じ議論で $B$ が得られる。$\square$

主束であること：長さ $1$ 以下の開区間 $J\subset\mathbb{R}$ について、$q|_J$ は開集合 $q(J)$ への同相写像であり、$q^{-1}(q(J))=\bigsqcup_n(J+n)\to q(J)\times\mathbb{Z}$、$z\mapsto(q(z),n)$（$z\in J+n$）は同変な同相写像である。$S^1$ 上の $u_1(q(z)):=\cos^2(\pi z)$、$u_2(q(z)):=\sin^2(\pi z)$ は 1 の分割で、$\{u_1>0\}=q((-1/2,1/2))$、$\{u_2>0\}=q((0,1))$ は自明化開集合なので、$q$ は可算被覆的である。

全射性：$p\colon P\to X$ を可算被覆的な主 $\mathbb{Z}$ 束とし（作用を $z+n$ と書く）、lem-cpb-closed-support により 1 の分割 $(\rho_i)$ と自明化開集合 $U_i\supset\operatorname{supp}\rho_i$ をとる。$U_i$ 上の自明化の $\mathbb{Z}$ 成分 $k_i\colon p^{-1}(U_i)\to\mathbb{Z}$ は連続で、$k_i(z+n)=k_i(z)+n$ である。$r_i(z):=\rho_i(p(z))\,k_i(z)$（$p(z)\in U_i$）、$r_i(z):=0$（$p(z)\notin\operatorname{supp}\rho_i$）は 2 つの開集合の重なりで一致するので $P$ 上の連続関数であり、$\varphi:=\sum_ir_i\colon P\to\mathbb{R}$ は局所的に有限和なので連続で、$\varphi(z+n)=\varphi(z)+n\sum_i\rho_i(p(z))=\varphi(z)+n$ を満たす。thm-cpb-main の全射性の証明と同じく、$f(p(z)):=q(\varphi(z))$ は連続写像 $f\colon X\to S^1$ を定め、$z\mapsto(p(z),\varphi(z))$ は同型 $P\to f^*\mathbb{R}$ である。

単射性：$f_0^*\mathbb{R}\cong f_1^*\mathbb{R}$ なら、thm-cpb-main の単射性の証明と同じく、$\mathbb{Z}$ 同変な連続写像 $\varphi_0,\varphi_1\colon P\to\mathbb{R}$ で $q\circ\varphi_j=f_j\circ p$ となるものがとれる。$(1-s)\varphi_0+s\varphi_1$ も $\mathbb{Z}$ 同変なので、$q\circ((1-s)\varphi_0+s\varphi_1)$ は $p\times\mathrm{id}_I$ を通って $f_0$ と $f_1$ を結ぶホモトピーを誘導する。写像が矛盾なく定まることは thm-cpb-homotopy による。$\square$