モデル圏のホモトピー圏

1：入射 $s_\varepsilon\colon X\to X\amalg X$（$\varepsilon=0,1$）は、$\emptyset\to X$ を $\emptyset\to X$ に沿って押し出したものである。$X$ はコファイブラントなので $s_\varepsilon$ はコファイブレーションであり、$i_\varepsilon=is_\varepsilon$ もコファイブレーションである。$ri_\varepsilon=\mathrm{id}_X$ と $r\in\mathcal W$ から、2 out of 3 で $i_\varepsilon\in\mathcal W$ である。

2：射影 $\pi_\varepsilon\colon Y\times Y\to Y$ は $Y\to*$ の引き戻しなのでファイブレーションであり、$p_\varepsilon=\pi_\varepsilon p$ もファイブレーションである。$p_\varepsilon q=\mathrm{id}_Y$ と $q\in\mathcal W$ から $p_\varepsilon\in\mathcal W$ である。$\square$

1⇒2、3⇒4。上の分解によりシリンダー対象と道対象は存在する。

2⇒3。$K$ と $H$ を 2 の左ホモトピー、$(P,q,p)$ を任意の道対象とする。自明コファイブレーション $i_0$ とファイブレーション $p$ の正方形（上辺 $qf\colon X\to P$、下辺 $(fr,H)\colon K\to Y\times Y$）は、$pqf=(f,f)=(fri_0,Hi_0)$ なので可換である。持ち上げ $T\colon K\to P$ は $Ti_0=qf$、$pT=(fr,H)$ をみたし、$k=Ti_1$ とおくと $pk=(fri_1,Hi_1)=(f,g)$ である。

4⇒1。$(P,q,p)$ と $k$ を 4 の右ホモトピー、$(K,i,r)$ を任意のシリンダー対象とする。コファイブレーション $i$ と自明ファイブレーション $p_0$ の正方形（上辺 $(qf,k)\colon X\amalg X\to P$、下辺 $fr\colon K\to Y$）は、$p_0qf=f=p_0k$ と $fri=(f,f)$ により可換である。持ち上げ $T\colon K\to P$ は $Ti=(qf,k)$、$p_0T=fr$ をみたし、$H=p_1T$ とおくと $Hi_0=p_1qf=f$、$Hi_1=p_1k=g$ である。$\square$

反射律と対称律。任意の道対象 $(P,q,p)$ について $pqf=(f,f)$ なので $f\simeq f$ である。$k$ が $P$ による $f$ から $g$ への右ホモトピーなら、二つの成分を入れ替える同型 $\tau\colon Y\times Y\to Y\times Y$ について $(P,q,\tau p)$ も道対象であり（$\tau p$ はファイブレーションと同型射の合成）、$\tau pk=(g,f)$ なので $g\simeq f$ である。

推移律。$f\simeq g$、$g\simeq h$ とし、道対象 $(P,q,p)$ を一つとる。prop-mhc-four の 3 により、$p_0k=f$、$p_1k=g$、$p_0l=g$、$p_1l=h$ となる $k,l\colon X\to P$ がある。$E=P\times_{p_1,Y,p_0}P$ とし、射影を $a,b\colon E\to P$（$p_1a=p_0b$）、$e=(p_0a,p_1b)\colon E\to Y\times Y$ とおく。$F=(a,p_1b)\colon E\to P\times Y$ は $p$ の $(p_1\circ\mathrm{pr}_P,\mathrm{pr}_Y)\colon P\times Y\to Y\times Y$ に沿った引き戻しなのでファイブレーションであり、$G=p_0\times\mathrm{id}_Y\colon P\times Y\to Y\times Y$ は自明ファイブレーション $p_0$（lem-mhc-ends の 2）の第 1 射影に沿った引き戻しなので自明ファイブレーションである。よって $e=GF$ はファイブレーションである。また $a$ は $p_0$ の $p_1$ に沿った引き戻しなので自明ファイブレーションである。$p_1q=p_0q=\mathrm{id}_Y$ から $q_2=(q,q)\colon Y\to E$ が定まり、$aq_2=q$ と 2 out of 3 から $q_2\in\mathcal W$、$eq_2$ は対角射である。よって $(E,q_2,e)$ は道対象で、$m=(k,l)\colon X\to E$ は $em=(f,h)$ をみたすので $f\simeq h$ である。

2。$k$ が道対象 $P$ による右ホモトピーなら $ka$ は $fa$ から $ga$ への右ホモトピーであり、$H$ がシリンダー対象 $K$ による左ホモトピーなら $bH$ は $bf$ から $bg$ への左ホモトピーである。

3。$f\simeq f'$、$g\simeq g'$ なら 2 と推移律から $gf\simeq gf'\simeq g'f'$ なので、合成は代表によらない。結合律と単位律は $\mathcal M$ のものから従う。$\square$

写像がホモトピー類の上で定まることは prop-mhc-relation の 2 による。

1 の全射。$h\colon A\to Z$ をとる。$j$ を左辺、ファイブレーション $Z\to *$ を右辺、上辺を $h$ とする正方形は可換なので、持ち上げ公理から $gj=h$ となる $g\colon A'\to Z$ がある。

1 の単射。$g,g'\colon A'\to Z$ が $gj\simeq g'j$ をみたすとする。道対象 $(P,q,p)$ を一つとると、prop-mhc-four の 3 により $pK=(gj,g'j)$ となる $K\colon A\to P$ がある。自明コファイブレーション $j$ とファイブレーション $p$ の正方形（上辺 $K$、下辺 $(g,g')\colon A'\to Z\times Z$）は $pK=(g,g')j$ により可換なので、$K'j=K$、$pK'=(g,g')$ となる $K'\colon A'\to P$ がある。$K'$ は $g$ から $g'$ への右ホモトピーで、$A'$ はコファイブラント、$Z$ はファイブラントなので $g\simeq g'$ である。

2。全射：$h\colon A\to B$ について、コファイブレーション $\emptyset\to A$ と自明ファイブレーション $p$ の正方形（上辺 $\emptyset\to E$、下辺 $h$）の持ち上げ $g$ は $pg=h$ をみたす。単射：$g,g'\colon A\to E$ が $pg\simeq pg'$ をみたすとする。シリンダー対象 $(K,i,r)$ を一つとると、prop-mhc-four の 1 により $Hi=(pg,pg')$ となる $H\colon K\to B$ がある。コファイブレーション $i$ と自明ファイブレーション $p$ の正方形（上辺 $(g,g')\colon A\amalg A\to E$、下辺 $H$）は可換なので、持ち上げ $H'\colon K\to E$ は $H'i=(g,g')$ をみたし、$g$ から $g'$ への左ホモトピーである。よって $g\simeq g'$ である。$\square$

弱同値 ⇒ ホモトピー同値。分解公理で $f=pi$（$i\colon X\to Z$ は自明コファイブレーション、$p\colon Z\to Y$ はファイブレーション）と分解する。2 out of 3 により $p$ は自明ファイブレーションである。$Z$ は $X$ がコファイブラントで $i$ がコファイブレーションなのでコファイブラント、$Y$ がファイブラントで $p$ がファイブレーションなのでファイブラントである。$i$ を左辺、ファイブレーション $X\to *$ を右辺、上辺を $\mathrm{id}_X$ とする正方形の持ち上げとして $\rho i=\mathrm{id}_X$ となる $\rho\colon Z\to X$ をとる。$(i\rho)i=i=\mathrm{id}_Zi$ なので、lem-mhc-trivial の 1（$A=X$、$A'=Z$、ファイブラントな対象 $Z$）の単射性から $i\rho\simeq\mathrm{id}_Z$ である。よって $i$ はホモトピー同値である。同様に、コファイブレーション $\emptyset\to Y$ と自明ファイブレーション $p$ の正方形（下辺 $\mathrm{id}_Y$）の持ち上げとして $p\sigma=\mathrm{id}_Y$ となる $\sigma\colon Y\to Z$ をとると、$p(\sigma p)=p=p\,\mathrm{id}_Z$ なので、同じ補題の 2 の単射性から $\sigma p\simeq\mathrm{id}_Z$ である。よって $[f]=[p][i]$ は $h\mathcal M$ の同型射の合成であり、$f$ はホモトピー同値である。

ホモトピー同値 ⇒ 弱同値。$g$ を $f$ のホモトピー逆とし、上と同じく $f=pi$ と分解する。$Z$ はファイブラントかつコファイブラントで、前半により $i$ はホモトピー逆 $i'$ をもつ。$fg\simeq\mathrm{id}_Y$ なので、$Y$ のシリンダー対象 $(K,(i_0,i_1),r)$ と、$Hi_0=fg$、$Hi_1=\mathrm{id}_Y$ となる $H\colon K\to Y$ がある。lem-mhc-ends の 1 により $i_0$ は自明コファイブレーションである。$i_0$ と $p$ の正方形（上辺 $ig$、下辺 $H$）は $pig=fg=Hi_0$ により可換なので、$H'i_0=ig$、$pH'=H$ となる $H'\colon K\to Z$ がある。$s:=H'i_1$ とおくと $ps=Hi_1=\mathrm{id}_Y$ であり、$H'$ は $ig$ から $s$ への左ホモトピーなので $s\simeq ig$ である。$p=p\,\mathrm{id}_Z\simeq pii'=fi'$ と prop-mhc-relation の 2 から $sp\simeq igp\simeq igfi'\simeq ii'\simeq\mathrm{id}_Z$ である。$\simeq$ は対称なので、シリンダー対象 $(K',(j_0,j_1),r')$ と $\mathrm{id}_Z$ から $sp$ への左ホモトピー $L\colon K'\to Z$（$Lj_0=\mathrm{id}_Z$、$Lj_1=sp$）がある。$r'j_0=\mathrm{id}_Z$ と $r'\in\mathcal W$ から 2 out of 3 で $j_0,j_1\in\mathcal W$、さらに $Lj_0=\mathrm{id}_Z$ から $L\in\mathcal W$、したがって $sp=Lj_1\in\mathcal W$ である。最後に、射の圏で $p$ は $sp$ のレトラクトである：上段 $Z\xrightarrow{\mathrm{id}}Z\xrightarrow{\mathrm{id}}Z$、下段 $Y\xrightarrow{s}Z\xrightarrow{p}Y$、縦の射を左から $p$、$sp$、$p$ とすると、$sp\circ\mathrm{id}=s\circ p$、$p\circ sp=p\circ\mathrm{id}$（$ps=\mathrm{id}_Y$）で二つの正方形は可換であり、下段の合成は $ps=\mathrm{id}_Y$、上段の合成は $\mathrm{id}_Z$ である。$\mathcal W$ はレトラクトで閉じているので $p\in\mathcal W$、よって $f=pi\in\mathcal W$ である。$\square$