Grothendieck双対性

同義語：グロタンディーク双対性Grothendieck双対定理Grothendieck duality

概要

前提知識: 導来圏, 導来関手, 層コホモロジー, 固有射, Serre双対性

Grothendieck 双対性（Grothendieck duality）は、スキームの射 $f\colon X\to Y$ に沿った連接層のコホモロジーの双対性を、導来圏の言葉で述べる理論である。体 $k$ 上の $d$ 次元の滑らかな射影多様体 $X$ の Serre 双対性 $H^i(X,\mathcal F)^\vee\cong\operatorname{Ext}^{d-i}(\mathcal F,\Omega^d_X)$ は、$X$ から 1 点 $\operatorname{Spec}k$ への射についての双対性である。Grothendieck はこれを、押し出し $Rf_*$ が右随伴 $f^\times$ をもち、固有射ではこの随伴が層の同型としても成り立つ、という形に一般化した。点への射では $f^\times k$ が双対化複体であり、双対化層はそのコホモロジー層として現れる。
この記事では、押し出しの右随伴とトレース写像、upper shriek 関手 $f^!$ を定義し、固有射の Grothendieck 双対定理を述べる（定理そのものはこの記事では証明しない）。完全に証明するのは、環の準同型 $A\to B$ に対応する射の場合の双対性 $\operatorname{Hom}_{D(B)}(M,f^\times N)\cong\operatorname{Hom}_{D(A)}(M,N)$ と、モニック多項式 $g$ による拡大 $B=A[x]/(g)$ で $f^\times A$ が $B$ と同型になり、トレースが具体的な線形形式で与えられることである。後者から根の上の和についての Euler の公式が出て、トレースが留数の和であることが分かる。

押し出しの右随伴

スキーム $X$ について、$\mathcal O_X$ 加群の複体でコホモロジー層が準連接であるものがなす導来圏の充満部分圏を $D_{\mathrm{qc}}(X)$ と書き、下に有界なものを $D^+_{\mathrm{qc}}(X)$、コホモロジー層が連接で上に有界なものを $D^-_{\mathrm{coh}}(X)$ と書く。準コンパクトかつ準分離的なスキームの射 $f\colon X\to Y$ の押し出しの導来関手 $Rf_*$ は $D_{\mathrm{qc}}(X)$ を $D_{\mathrm{qc}}(Y)$ に写す。

押し出しの右随伴とトレース

準コンパクトかつ準分離的なスキームの射 $f\colon X\to Y$ について、$Rf_*\colon D_{\mathrm{qc}}(X)\to D_{\mathrm{qc}}(Y)$ の右随伴関手を $f^\times\colon D_{\mathrm{qc}}(Y)\to D_{\mathrm{qc}}(X)$ と書く。すなわち $L\in D_{\mathrm{qc}}(X)$、$K\in D_{\mathrm{qc}}(Y)$ について自然な同型
$$ \operatorname{Hom}_{D(X)}(L,f^\times K)\cong\operatorname{Hom}_{D(Y)}(Rf_*L,K) $$
がある。随伴の余単位 $\operatorname{Tr}_f\colon Rf_*f^\times K\to K$ をトレース写像という。

この右随伴が存在することは、$D_{\mathrm{qc}}(X)$ がコンパクトな対象で生成され、$Rf_*$ が直和と可換であることから、三角圏の Brown の表現定理によって示される（Stacks Tag 0A9E、p. 5。この記事では証明しない）。$f^\times$ は随伴関手として同型を除いて一意である。$Y=\operatorname{Spec}A$、$X=\operatorname{Spec}B$ がアフィンなら、$D_{\mathrm{qc}}(Y)$、$D_{\mathrm{qc}}(X)$ はそれぞれ加群の導来圏 $D(A)$、$D(B)$ と同値であり、$Rf_*$ は $B$ 加群の複体を $A$ 加群の複体とみる制限に、$f^\times$ は $K\mapsto R\operatorname{Hom}_A(B,K)$ に対応する（Stacks Tag 0A9F、p. 6）。この形は下の thm-gd-finite で $D^+$ について確かめる。

upper shriek 関手と双対化複体

$S$ を Noether スキームとし、$S$ 上分離的かつ有限型のスキームの間の $S$ 上の射 $f\colon X\to Y$ を考える。永田雅宜（Masayoshi Nagata）による永田のコンパクト化の定理により $f$ は開埋め込み $j\colon X\to\overline X$ と固有射 $\bar f\colon\overline X\to Y$ の合成に分解する。$K\in D^+_{\mathrm{qc}}(Y)$ に対し
$$ f^!K:=j^*\,\bar f^\times K $$
と定め、$f^!$ を upper shriek 関手という。$Y=\operatorname{Spec}k$（$k$ は体）のとき、$\omega_X^\bullet:=f^!k$ を $X$ の $k$ 上の双対化複体という。

$f^!K$ はコンパクト化の選び方によらず同型を除いて定まり、合成について $(g\circ f)^!\cong f^!\circ g^!$ をみたす（Stacks Tag 0F42・0AA0・0ATX（Situation 16.1、Lemma 16.2・16.3）、pp. 39–41。この記事では証明しない）。$f$ が固有なら $j=\mathrm{id}$ ととれるので $f^!=f^\times$ である。$f$ が固有でないとき $f^!$ は一般に $Rf_*$ の右随伴ではない（下の反例の表の 1 行目）。$X$ が体 $k$ 上固有なら、$\omega_X^\bullet$ を各アフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ に制限したものは双対化複体の意味で $A$ の双対化複体である（Stacks Tag 0FVV（Lemma 27.1）、p. 69。この記事では証明しない）。

固有射の双対定理

Grothendieck の双対定理

$f\colon X\to Y$ を Noether スキームの間の固有射とする。$L\in D^-_{\mathrm{coh}}(X)$、$K\in D^+_{\mathrm{qc}}(Y)$ について、随伴とトレース写像から作られる自然な射
$$ Rf_*R\mathcal{H}om_{\mathcal O_X}(L,f^\times K)\longrightarrow R\mathcal{H}om_{\mathcal O_Y}(Rf_*L,K) $$
は $D(\mathcal O_Y)$ の同型である。

双対定理の出典

この定理はこの記事では証明しない（Stacks Tag 0A9Q（Lemma 3.6、p. 7）と Tag 0GEW（Example 3.9、p. 8））。両辺の大域切断の次数 $0$ をとった同型 $\operatorname{Hom}_{D(X)}(L,f^\times K)\cong\operatorname{Hom}_{D(Y)}(Rf_*L,K)$ は $f^\times$ の定義そのものであり、定理の内容は、同じ同型が $Y$ の各開集合の上で、つまり層として成り立つことにある。

Serre 双対性との関係．$X$ を体 $k$ 上の固有スキーム、$f\colon X\to\operatorname{Spec}k$ を構造射とし、$\omega_X^\bullet=f^\times k$ とおく。$D(k)$ の対象はコホモロジーの次数付き $k$ 線形空間で決まるので、随伴から、$K\in D_{\mathrm{qc}}(X)$ について
$$ \operatorname{Ext}^i_X(K,\omega_X^\bullet)\cong\operatorname{Hom}_k(H^{-i}(X,K),k) $$
が得られる（Stacks Tag 0FVV（Lemma 27.1 (5)、p. 69））。$X$ が Cohen–Macaulay で次元 $d$ の等次元なら、ある連接層 $\omega_X$ について $\omega_X^\bullet\cong\omega_X[d]$ であり、連接層 $\mathcal F$ について $\operatorname{Ext}^{d-i}(\mathcal F,\omega_X)\cong H^i(X,\mathcal F)^\vee$ となる（同 Tag 0FVZ（Lemma 27.5、p. 71））。$X$ が $k$ 上滑らかなら $\omega_X\cong\Omega^d_{X/k}$ であり（同 Lemma 27.1 (7)）、これが Serre双対性の代数的な形である。$i=d$ の場合が双対化層の定義の性質である。

有限射の双対性

環の準同型 $A\to B$ に対応する射 $f\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ では、右随伴を加群の言葉で具体的に作れる。

加群の随伴

$A\to B$ を可換環の準同型とし、$A$ 加群 $N$ に対し $\operatorname{Hom}_A(B,N)$ を $(b\varphi)(c):=\varphi(cb)$ で $B$ 加群とみる。$B$ 加群 $M$ について
$$ \Phi\colon\operatorname{Hom}_B(M,\operatorname{Hom}_A(B,N))\to\operatorname{Hom}_A(M,N),\qquad u\mapsto\bigl(m\mapsto u(m)(1)\bigr) $$
は $M$ と $N$ について自然な全単射である。

$v\in\operatorname{Hom}_A(M,N)$ に対し $\Psi(v)(m):=\bigl(c\mapsto v(cm)\bigr)$ とおく。$\Psi(v)(m)$ は $A$ 線形であり、$\Psi(v)(bm)(c)=v(cbm)=\Psi(v)(m)(cb)=\bigl(b\,\Psi(v)(m)\bigr)(c)$ なので $\Psi(v)$ は $B$ 線形である。$\Phi\Psi(v)(m)=v(m)$ であり、$B$ 線形な $u$ について $\Psi\Phi(u)(m)(c)=u(cm)(1)=\bigl(c\,u(m)\bigr)(1)=u(m)(c)$ である。自然性は定義から明らかである。$\square$

有限射の双対性

$A\to B$ を可換環の準同型とし、$N\in D^+(A)$ を下に有界な入射 $A$ 加群の複体 $I$ で表す。項ごとに prop-gd-module-adjunction の $B$ 加群の構造を入れた複体を $f^\times N:=\operatorname{Hom}_A(B,I)$ とおく。

すべての $B$ 加群の複体 $M$ について、自然な同型 $\operatorname{Hom}_{D(B)}(M,f^\times N)\cong\operatorname{Hom}_{D(A)}(M,N)$ がある。
$N$ が $A$ 加群なら $H^i(f^\times N)\cong\operatorname{Ext}^i_A(B,N)$ である。
$A$ が Noether 環で $B$ が有限生成 $A$ 加群なら、$N$ のコホモロジーがすべて有限生成のとき、$f^\times N$ のコホモロジーもすべて有限生成 $B$ 加群である。

項ごとの随伴と入射性

段 1（入射性の保存）．$I^p$ が入射 $A$ 加群なら、prop-gd-module-adjunction により $B$ 加群の圏の上の関手として $\operatorname{Hom}_B(-,\operatorname{Hom}_A(B,I^p))\cong\operatorname{Hom}_A(-,I^p)$ であり、右辺は完全なので $\operatorname{Hom}_A(B,I^p)$ は入射 $B$ 加群である（入射加群）。よって $J:=f^\times N$ は下に有界な入射 $B$ 加群の複体である。
段 2（ホモトピー圏での随伴）．$B$ 加群の複体 $M$ から $J$ への次数 $p$ の写像の族 $(u^q\colon M^q\to J^{q+p})_q$ に $\Phi$ を項ごとに当てると、$M$ から $I$ への $A$ 線形な次数 $p$ の写像の族が得られ、$\Phi$ の自然性により微分との交換が保たれる。したがって Hom 複体の同型 $\operatorname{Hom}^\bullet_B(M,J)\cong\operatorname{Hom}^\bullet_A(M,I)$ があり、次数 $0$ のコホモロジーをとると、鎖写像のホモトピー類の全単射 $\operatorname{Hom}_{K(B)}(M,J)\cong\operatorname{Hom}_{K(A)}(M,I)$ を得る。
段 3（導来圏へ）．下に有界な入射対象の複体 $Y$ と任意の複体 $X$ について $\operatorname{Hom}_K(X,Y)\to\operatorname{Hom}_D(X,Y)$ は全単射である（Wei94 Corollary 10.4.7、p. 388）。これを $J$ と $I$ に使うと
$$ \operatorname{Hom}_{D(B)}(M,J)=\operatorname{Hom}_{K(B)}(M,J)\cong\operatorname{Hom}_{K(A)}(M,I)=\operatorname{Hom}_{D(A)}(M,I)\cong\operatorname{Hom}_{D(A)}(M,N) $$
であり、1 が示された。
段 4（コホモロジー）．$N$ が加群で $I$ がその入射分解なら、$H^i(\operatorname{Hom}_A(B,I))$ は定義により $\operatorname{Ext}^i_A(B,N)$ である（Ext関手）。これが 2 である。3 の仮定のもとで、有限生成 $A$ 加群 $N$ について $\operatorname{Ext}^i_A(B,N)$ は有限生成 $A$ 加群であり（$B$ を有限生成自由加群による分解で置き換えて計算する）、$A$ 上有限生成な $B$ 加群は $B$ 上でも有限生成である。$N$ が複体のときは、$H^i(f^\times N)$ が切り詰め $\tau_{\le i+1}N$ だけで決まること（$\tau_{>i+1}N$ の入射分解は次数 $i+1$ 以下に項をもたないようにとれる）と、切り詰めの完全三角形の長完全列とにより、有限個のコホモロジーをもつ場合の帰納法で加群の場合に帰着する。$\square$

1 は、$D^+(A)$ の上で $f^\times$ が $R\operatorname{Hom}_A(B,-)$ で与えられることを示している（Stacks Tag 0BV0（Lemma 11.2、p. 28）は同じことを非有界な複体について述べている）。閉埋め込み $i\colon Z\to X$ では $i^\times=R\mathcal{H}om(\mathcal O_Z,-)$ である（同 Tag 0A9X、p. 25）。
射影スキームの双対化層．$X$ を $P:=\mathbb P^N_k$ の閉部分スキーム、$i\colon X\to P$、$p\colon P\to\operatorname{Spec}k$ とする。$R(p\circ i)_*=Rp_*\circ Ri_*$ なので右随伴も合成になり、$p^\times k\cong\Omega^N_{P/k}[N]=\mathcal O_P(-N-1)[N]$（Stacks Tag 0BRT（Lemma 15.7、p. 39））から
$$ \omega_X^\bullet=i^\times p^\times k\cong R\mathcal{H}om_{\mathcal O_P}(\mathcal O_X,\mathcal O_P(-N-1))[N] $$
を得る。$n:=\dim X$ とすると、そのコホモロジー層は $\mathcal H^{-n}(\omega_X^\bullet)=\mathcal{E}xt^{N-n}_P(\mathcal O_X,\omega_P)$ を含み、これは双対化層の定理「射影スキームの双対化層」の $\omega^\circ_X$ である。$X$ が Cohen–Macaulay でなければ、ほかの次数のコホモロジー層も残りうる。

単項拡大のトレースと留数

単項拡大の双対

$A$ を可換環、$g=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\in A[x]$（$n\ge1$）をモニック多項式とし、$B:=A[x]/(g)$ とおく。$B$ は $1,x,\dots,x^{n-1}$ を基底とする自由 $A$ 加群である。$\tau\colon B\to A$ を $\tau(x^i)=0$（$0\le i\le n-2$）、$\tau(x^{n-1})=1$ で定まる $A$ 線形写像とすると、
$$ B\to\operatorname{Hom}_A(B,A),\qquad b\mapsto b\tau=\tau(\,\cdot\,b) $$
は $B$ 加群の同型である。したがって $f\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ について $f^\times A\cong B$ であり、この同一視のもとでトレース写像 $\operatorname{Tr}_f$ は $\tau\colon B\to A$ である。

Hankel 行列の反対角線

$g$ はモニックなので $A[x]$ で $g$ による割り算ができ、$B$ は $1,x,\dots,x^{n-1}$ を基底とする自由 $A$ 加群である。写像 $b\mapsto b\tau$ が $B$ 線形なことは $\bigl(b'(b\tau)\bigr)(c)=(b\tau)(cb')=\tau(cb'b)=\bigl((b'b)\tau\bigr)(c)$ による。
$e_0,\dots,e_{n-1}$ を $\operatorname{Hom}_A(B,A)$ の双対基底（$e_j(x^l)=\delta_{jl}$）とすると、
$$ x^i\tau=\sum_{j=0}^{n-1}c_{ij}e_j,\qquad c_{ij}:=(x^i\tau)(x^j)=\tau(x^{i+j}) $$
である。$i+j\le n-2$ なら $c_{ij}=0$、$i+j=n-1$ なら $c_{ij}=1$ である。列の順序を $j\mapsto n-1-j$ と入れ替えた行列 $(c_{i,n-1-j})$ は、$j>i$ で $0$、$j=i$ で $1$ なので対角成分が $1$ の下三角行列であり、行列式は $1$ である。よって $(c_{ij})$ は $A$ 上可逆で、$x^0\tau,\dots,x^{n-1}\tau$ は $\operatorname{Hom}_A(B,A)$ の基底である。基底 $x^i$ を基底 $x^i\tau$ に写すので、$b\mapsto b\tau$ は全単射である。
$B$ は自由 $A$ 加群なので $i>0$ で $\operatorname{Ext}^i_A(B,A)=0$ であり、thm-gd-finite の 2 により $f^\times A\cong\operatorname{Hom}_A(B,A)\cong B$ である。トレース写像は随伴の余単位で、prop-gd-module-adjunction の $\Phi$ を恒等写像に当てたもの、すなわち $1$ での値 $\varphi\mapsto\varphi(1)$ である。$b\tau$ の $1$ での値は $\tau(b)$ なので、$\operatorname{Tr}_f=\tau$ である。$\square$

Euler の公式

$k$ を体、$g\in k[x]$ を重根をもたない次数 $n\ge1$ のモニック多項式とし、代数閉包での根を $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ とする。$h\in k[x]$ について
$$ \tau(h\bmod g)=\sum_{i=1}^n\frac{h(\alpha_i)}{g'(\alpha_i)} $$
が成り立つ。とくに $\sum_i\alpha_i^m/g'(\alpha_i)$ は $0\le m\le n-2$ なら $0$、$m=n-1$ なら $1$ である。

Lagrange 補間

$h=qg+r$、$\deg r\le n-1$ と割ると、$h(\alpha_i)=r(\alpha_i)$、$\tau(h\bmod g)=\tau(r\bmod g)$ は $r$ の $x^{n-1}$ の係数である。$g_i(x):=g(x)/(x-\alpha_i)=\prod_{j\ne i}(x-\alpha_j)$ とおくと $g_i(\alpha_j)=0$（$j\ne i$）、$g_i(\alpha_i)=g'(\alpha_i)\ne0$ である（重根がないので）。$\sum_ir(\alpha_i)g_i(x)/g'(\alpha_i)$ と $r$ はどちらも次数 $n-1$ 以下で、$n$ 個の相異なる点 $\alpha_i$ で値が一致するので等しい（Lagrange補間）。$g_i$ はモニックで次数 $n-1$ なので、$x^{n-1}$ の係数を比べて $\tau(r\bmod g)=\sum_ir(\alpha_i)/g'(\alpha_i)$ を得る。$\square$

トレースは留数の和

$k=\mathbb C$ とし、$\mathbb P^1$ 上の有理微分形式 $\omega:=h\,dx/g$ を考える。$\omega$ は根 $\alpha_i$ で高々 1 位の極をもち、留数は $h(\alpha_i)/g'(\alpha_i)$ である。したがって cor-gd-euler は、$f\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}\mathbb C$ のトレース写像が $\operatorname{Spec}B$ の点での留数の和 $\sum_i\operatorname{Res}_{\alpha_i}\omega$ であることを述べている。留数の留数定理により、これは $-\operatorname{Res}_\infty\omega$ にも等しい（$\deg h\le n-1$ なら $x=1/t$ で $\omega=-(c+O(t))\,dt/t$、$c$ は $h$ の $x^{n-1}$ の係数）。体上の射影曲線 $X$ の双対性の同型 $H^1(X,\Omega_X)\cong k$ が留数の和で与えられること（留数）は、この現象の大域版である。高い次元での局所的な対応物は Grothendieck 留数で、留数と Cousin複体の記事が扱っている。

例

有限分離拡大と体のトレース

$k$ を体、$L=k(\alpha)$ を有限次分離拡大、$g$ を $\alpha$ の最小多項式とすると $L=k[x]/(g)$ である。thm-gd-monogenic により $\operatorname{Hom}_k(L,k)$ は 1 次元 $L$ 線形空間で $\tau$ が基底である。一方体のトレース $\operatorname{Tr}_{L/k}$ は $\alpha$ の共役 $\alpha_i$ を使って $\operatorname{Tr}_{L/k}(h(\alpha))=\sum_ih(\alpha_i)$ と書けるので、cor-gd-euler は
$$ \tau(z)=\operatorname{Tr}_{L/k}\bigl(z/g'(\alpha)\bigr)\qquad(z\in L) $$
を意味する。とくに $\operatorname{Tr}_{L/k}=g'(\alpha)\tau$ も $\operatorname{Hom}_k(L,k)$ の基底であり、トレース形式 $(y,z)\mapsto\operatorname{Tr}_{L/k}(yz)$ は非退化である。

二重数

$A=k$、$g=x^2$ とすると $B=k[\varepsilon]$（$\varepsilon^2=0$）で、$\tau(a+b\varepsilon)=b$ である。$\tau$ と $\varepsilon\tau$（$a+b\varepsilon\mapsto a$）が $\operatorname{Hom}_k(B,k)$ の基底をなし、thm-gd-monogenic の同型が確かめられる。$B$ は被約でなく、cor-gd-euler の右辺は意味をもたないが、トレースの記述は成り立っている。

反例：仮定を外すと崩れること

外す条件	反例	成り立たなくなること
thm-gd-main の「固有」（$f^\times$ を $f^!$ に替える）	$f\colon\mathbb A^1_k\to\operatorname{Spec}k$。$\mathbb A^1\subset\mathbb P^1$ をコンパクト化にとると $f^!k=\Omega^1_{\mathbb A^1}[1]$	$\operatorname{Hom}_{D(\mathbb A^1)}(\mathcal O,f^!k[-1])=\Gamma(\mathbb A^1,\Omega^1)=k[x]\,dx\ne0$ だが、$\operatorname{Hom}_{D(k)}(Rf_\mathcal O,k[-1])=H^1(\mathbb A^1,\mathcal O)^\vee=0$ で、$f^!$ は $Rf_$ の右随伴でない
thm-gd-finite の 3 の「$B$ は有限生成 $A$ 加群」	$A=k$、$B=k[x]$	$f^\times k=\operatorname{Hom}_k(k[x],k)$ は有限生成 $k[x]$ 加群でない（Stacks Tag 0A9G、p. 6）
thm-gd-monogenic の「$g$ はモニック」	$A=\mathbb Z$、$g=2x$	$B=\mathbb Z\oplus\bigoplus_{i\ge1}\mathbb F_2x^i$ で $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(B,\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ に $x$ は $0$ で作用し、$x\ne0$ の $B$ とは同型でない
cor-gd-euler の「重根をもたない」	$k$ 上の $g=x^2$	根は $0$ だけで $g'(0)=0$。右辺が定義されないが、$\tau(x)=1$

表の確かめ

1 行目：$\bar f\colon\mathbb P^1\to\operatorname{Spec}k$ は滑らかな固有射なので $\bar f^\times k\cong\Omega^1_{\mathbb P^1}[1]$（Stacks Tag 0FVV の (7)）、その $\mathbb A^1$ への制限が $f^!k$ である。$\operatorname{Hom}(\mathcal O,\Omega^1[1][-1])=\Gamma(\Omega^1)$。一方 $D(k)$ では $\operatorname{Hom}(V,k[-1])=\operatorname{Hom}_k(H^1(V),k)$ であり、$\mathbb A^1$ はアフィンなので $H^1(\mathbb A^1,\mathcal O)=0$ である。

3 行目：$i\ge1$ で $2x^i=x^{i-1}\cdot2x=0$ なので $B=\mathbb Z\oplus\bigoplus_{i\ge1}\mathbb F_2x^i$（加法群として）。$\mathbb Z$ への準同型は捩れ部分を $0$ に写すので $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(B,\mathbb Z)\cong\mathbb Z$（定数項の係数で決まる）。$(x\varphi)(c)=\varphi(cx)$ で $cx$ は捩れなので $x\varphi=0$。$B$ では $x\cdot1=x\ne0$ なので、$x$ が $0$ で作用する加群とは同型でない。