標準因子
概要
標準因子（canonical divisor）とは、コンパクトリーマン面上の恒等的に $0$ でない有理型 $1$ 形式の零点と極を位数つきで記録する因子である。$1$ 形式の選びにより因子自体は変わるが、その線形同値類である標準類は面だけで決まる。種数 $g$ に対し次数は $2g-2$、$\ell(K)=g$ であり、Riemann 球面では $\operatorname{div}(dz)=-2(\infty)$ となる。標準因子は正則 $1$ 形式の空間と因子を結び、Riemann–Rochの定理の対称性を表す。
定義
以下、$X$ をコンパクトで連結な リーマン面 とする。$X$ 上の有理型 $1$ 形式とは、各局所座標 $z$ で $f(z)\,dz$（$f$ は有理型関数）と表され、座標変換 $z=z(w)$ のもとで $f(z)\,dz=f(z(w))\,\dfrac{dz}{dw}\,dw$ の規則で貼り合う対象である。$X$ 上の恒等的に $0$ でない有理型 $1$ 形式 $\omega$ をとる。局所座標 $z$ で
$$\omega=f(z)\,dz$$
と書き、点 $p$ における $\omega$ の位数を
$$\operatorname{ord}_p(\omega):=\operatorname{ord}_p(f)$$
と定める。正の位数は零点の重複度、負の位数は極の重複度の符号を変えたものである。この整数は局所座標の選びによらない（prop-canonical-divisor-coordinate）。
$\omega$ の零点と極の位数を並べた因子
$$\operatorname{div}(\omega):=\sum_{p\in X}\operatorname{ord}_p(\omega)\,p$$
を $\omega$ の因子という。この形の因子を $X$ の標準因子（canonical divisor）という。
標準因子 $K=\operatorname{div}(\omega)$ そのものは $\omega$ の選びによって変わる。しかし、別の恒等的に $0$ でない有理型 $1$ 形式から得られる標準因子は $K$ と線形同値である（prop-canonical-divisor-independence）。そこで因子類群における線形同値類
$$[K]\in\operatorname{Cl}(X)$$
を $X$ の標準類（canonical class）という。標準因子と標準類は区別する。
コンパクトリーマン面には恒等的に $0$ でない有理型 $1$ 形式が存在するので、標準因子は実際に存在する。例えば、非定数有理型関数 $f$ をとれば $df$ は恒等的に $0$ でない有理型 $1$ 形式である。非定数有理型関数の存在は、コンパクトリーマン面の基本的な存在定理である（Mil17 Theorem 1.17、p. 20。この記事では証明しない）。$\operatorname{div}(\omega)$ が有限和であることは、$\omega$ の係数の零点と極が離散的で、$X$ がコンパクトであることによる。
直感
因子が有理型関数の零点と極を記録するのに対し、標準因子は有理型 $1$ 形式の零点と極を記録する。$1$ 形式自体は一意でないが、二つの $1$ 形式の比は有理型関数になる。そのため、得られる因子の差は主因子であり、「どの因子を選ぶか」は本質でなく、「どの線形同値類に属するか」が面に固有の情報になる。この標準類が Riemann–Roch の対称性を支える。
関数と $1$ 形式の違いは、座標変換で係数に微分 $dz/dw$ が掛かることにある。$dz/dw$ は零点も極ももたないので各点の位数は変えないが、面全体で見ると、有理型関数では $0$ である零点と極の個数の差（主因子の次数）が、$1$ 形式では $2g-2$ になる。Riemann 球面で $dz$ が無限遠点に $2$ 位の極をもつことが、この「ずれ」の最も簡単な現れである（prop-canonical-divisor-sphere）。
基本性質
$\omega$ を $X$ 上の恒等的に $0$ でない有理型 $1$ 形式とする。点 $p$ の周りの局所座標 $z,w$ で
$$\omega=f(z)\,dz=g(w)\,dw$$
と書くと、$\operatorname{ord}_p(f)=\operatorname{ord}_p(g)$ である。
座標変換は双正則だから、$p$ の近傍で
$$g(w)=f(z(w))\frac{dz}{dw}$$
である。$dz/dw$ は $p$ で $0$ でない正則関数なので、その位数は $0$ である。位数の積に対する加法性から
$$\operatorname{ord}_p(g)=\operatorname{ord}_p(f)+\operatorname{ord}_p\!\left(\frac{dz}{dw}\right)=\operatorname{ord}_p(f)$$
を得る。したがって $\operatorname{ord}_p(\omega)$ は座標によらない。$\square$
$\omega,\eta$ を $X$ 上の恒等的に $0$ でない有理型 $1$ 形式とする。このとき、ある恒等的に $0$ でない有理型関数 $h$ が存在して
$$\eta=h\omega,\qquad \operatorname{div}(\eta)=\operatorname{div}(h)+\operatorname{div}(\omega)$$
となる。とくに二つの標準因子は線形同値であり、標準類 $[K]$ は $\omega$ の選びによらない。
$\omega$ が恒等的に $0$ でないので、各局所座標上で $\eta/\omega$ を係数の比として定められる。座標変換で両方の係数に同じ非零の Jacobian 因子が掛かるため比は一致し、大域的な有理型関数 $h:=\eta/\omega$ を与える。局所的に $\omega=f(z)\,dz$ と書けば $\eta=hf(z)\,dz$ なので
$$\operatorname{ord}_p(\eta)=\operatorname{ord}_p(h)+\operatorname{ord}_p(\omega)$$
である。すべての点で係数を集めると主張した因子の等式が得られる。$\operatorname{div}(h)$ は主因子なので、$\operatorname{div}(\eta)\sim\operatorname{div}(\omega)$ である。逆に、$K$ と線形同値な任意の因子 $K+\operatorname{div}(h)$ は $h\omega$ の因子なので、標準類に属する因子はすべて標準因子である。$\square$
$K=\operatorname{div}(\omega)$ を標準因子とする。因子 $D$ に対し
$$\mathcal O_X(D)(U):=\{f\in\mathcal M_X(U)\mid \operatorname{div}(f)|_U+D|_U\ge0\}$$
とおく約束を用いると、写像
$$\mathcal O_X(K)\longrightarrow \Omega_X^1,\qquad f\longmapsto f\omega$$
は $\mathcal O_X$-加群の層の同型である。ここで $\Omega_X^1$ は正則 $1$ 形式の層、すなわち標準束の切断の層である。
開集合 $U$ 上の有理型関数 $f$ に対し、$f\omega$ が正則であることは、すべての $p\in U$ で
$$\operatorname{ord}_p(f\omega)=\operatorname{ord}_p(f)+\operatorname{ord}_p(\omega)\ge0$$
が成り立つことと同値である。これはまさに $\operatorname{div}(f)|_U+K|_U\ge0$、すなわち $f\in\mathcal O_X(K)(U)$ という条件である。局所的に任意の正則 $1$ 形式は $f\omega$ と一意に書け、制限写像とも可換なので層の同型になる。$\square$
大域切断をとると、$L(K)=\{f\mid f=0\text{ または }\operatorname{div}(f)+K\ge0\}$ は $X$ 上の正則 $1$ 形式の空間と $f\mapsto f\omega$ で同型である（Mil17 p. 22）。
$X$ の種数を $g$ とする。任意の標準因子 $K$ に対し
$$\deg K=2g-2,\qquad \ell(K)=g$$
が成り立つ。ここで $\ell(D):=\dim_{\mathbb C}L(D)$ である。
これは Riemann–Rochの定理 の帰結であり、証明は Riemann–Rochの定理 の記事の系「Riemann–Rochの定理の帰結」にある（Mil17 Corollary 1.21、p. 21）。要点は、Riemann–Roch の式 $\ell(D)-\ell(K-D)=\deg D+1-g$ に $D=0$ と $D=K$ を代入することである。
次数が面ごとに $2g-2$ と決まるので、標準類は次数の点でも面の不変量である。
Riemann 球面の標準因子
$X=\mathbb P^1=\mathbb C\cup\{\infty\}$ とし、アフィン座標を $z$、無限遠点の局所座標を $w=1/z$ とする。
$\mathbb P^1$ 上で
$$\operatorname{div}(dz)=-2(\infty)$$
である。したがって、恒等的に $0$ でない有理型関数 $h$ に対し $\operatorname{div}(h\,dz)=\operatorname{div}(h)-2(\infty)$ であり、$\mathbb P^1$ の標準因子の次数は $-2=2\cdot0-2$ である。さらに、$\mathbb P^1$ 上の次数 $-2$ の因子はすべて標準因子である。
$\mathbb C$ の各点で $dz$ の係数は定数 $1$ なので、位数は $0$ である。無限遠点では $z=1/w$ より
$$dz=-w^{-2}\,dw$$
であり、係数 $-w^{-2}$ は $w=0$ で $2$ 位の極をもつ。よって $\operatorname{div}(dz)=-2(\infty)$ である。$\operatorname{div}(h\,dz)=\operatorname{div}(h)+\operatorname{div}(dz)$ は prop-canonical-divisor-independence の等式である。主因子の次数は $0$ なので（因子の記事の定理「コンパクトなリーマン面上の主因子の次数」）、標準因子の次数は $-2$ である。
最後に、$D$ を次数 $-2$ の因子とする。$D+2(\infty)$ は次数 $0$ なので主因子であり（因子の記事の命題「Riemann球面の因子類群」）、$D+2(\infty)=\operatorname{div}(h)$ となる $h$ がある。すると $D=\operatorname{div}(h)-2(\infty)=\operatorname{div}(h\,dz)$ であり、$D$ は標準因子である。$\square$
$\omega=\dfrac{dz}{z(z-1)}$ とする。$h=\dfrac1{z(z-1)}$ は $0$ と $1$ に $1$ 位の極、$\infty$ に $2$ 位の零点をもつので $\operatorname{div}(h)=-(0)-(1)+2(\infty)$ である。prop-canonical-divisor-sphere により
$$\operatorname{div}(\omega)=-(0)-(1)$$
であり、無限遠点では零点も極もない。これも次数 $-2$ の標準因子で、$-2(\infty)$ とは主因子 $\operatorname{div}(h)$ だけ異なる。
$\mathbb P^1$ では次数だけで標準類が決まる。これは $\operatorname{Cl}(\mathbb P^1)\cong\mathbb Z$ という $\mathbb P^1$ に特有の事情による。種数 $1$ 以上では、次数が $2g-2$ でも標準因子とは限らない（rem-canonical-divisor-counterexample）。
複素トーラスの標準因子
$X=\mathbb C/\Lambda$ を複素トーラスとする。$\mathbb C$ 上の $dz$ は平行移動で不変なので $X$ 上の正則 $1$ 形式 $\omega$ へ降り、どの点でも $0$ にならない。よって
$$\operatorname{div}(\omega)=0$$
であり、標準類は零である。これは $g=1$ のとき $2g-2=0$ となることと整合する。
標準類が零でも、個々の標準因子が $0$ とは限らない。Weierstrassの楕円関数 $\wp$ を使うと、零でない標準因子を具体的に書ける。$\Lambda=\mathbb Z\omega_1+\mathbb Z\omega_2$ とし、$X$ の点 $h_1=\omega_1/2$、$h_2=\omega_2/2$、$h_3=(\omega_1+\omega_2)/2$ を半周期という。
$X=\mathbb C/\Lambda$ 上の有理型 $1$ 形式 $d\wp=\wp'(z)\,dz$ について
$$\operatorname{div}(d\wp)=(h_1)+(h_2)+(h_3)-3(0)$$
である。これは $0$ でない標準因子で、$0$ と線形同値である。
$\omega=dz$ の因子は $0$ なので、prop-canonical-divisor-independence により $\operatorname{div}(d\wp)=\operatorname{div}(\wp')$ である。$\wp$ は偶関数で $\Lambda$ 周期的であり（Weierstrassの楕円関数の記事の命題「収束・偶関数性・周期性」）、原点で $\wp(z)=z^{-2}+O(z^2)$ と展開される（同記事の命題「原点でのLaurent展開」）。したがって $\wp'$ は奇関数で $\Lambda$ 周期的であり、$X$ 上では原点にだけ極をもち、その位数は $\wp'(z)=-2z^{-3}+O(z)$ から $3$ である。
半周期 $h$ は $2h\in\Lambda$、$h\notin\Lambda$ を満たすので、$\wp'$ は $h$ で正則であり
$$\wp'(h)=\wp'(h-2h)=\wp'(-h)=-\wp'(h)$$
から $\wp'(h)=0$ である。$h_1,h_2,h_3$ は $X$ の相異なる $3$ 点である。主因子の次数は $0$ なので（因子の記事の定理「コンパクトなリーマン面上の主因子の次数」）、$\wp'$ の零点の位数の和は極の位数 $3$ に等しい。$3$ 点ですでに位数の和が $3$ 以上なので、零点はこの $3$ 点だけで、どれも $1$ 位である。よって主張の等式を得る。$d\wp=\wp'\,dz$ なので、この因子は主因子 $\operatorname{div}(\wp')$ に等しく、$0$ と線形同値である。$\square$
種数が 2 以上の場合と正則 1 形式
$X$ の種数が $g\ge2$ なら、$\ell(K)=g\ge1$ により $X$ 上に恒等的に $0$ でない正則 $1$ 形式 $\omega$ が存在する。$\omega$ は極をもたないので $\operatorname{div}(\omega)$ は有効な標準因子であり、thm-canonical-divisor-degree から零点の位数の総和は $2g-2$ である。つまり、正則 $1$ 形式は必ず重複度込みで $2g-2$ 個の零点をもつ。
正則 $1$ 形式の零点は避けられないが、どの点でも「そこで消えない正則 $1$ 形式」は存在する。これを標準因子の言葉で述べたものが次の命題である。
$g\ge1$ とする。任意の点 $p\in X$ に対し、$p$ で $0$ にならない正則 $1$ 形式が存在する。言い換えると、$\ell(K-p)=g-1$ であり、$p$ を含まない有効な標準因子がある。
Riemann–Roch の式（Riemann–Rochの定理の記事の定理「Riemann–Rochの定理」）を $D=p$ に当てると
$$\ell(p)-\ell(K-p)=1+1-g$$
である。$g\ge1$ なら $L(p)$ は定数関数だけからなり $\ell(p)=1$ である（Riemann–Rochの定理の記事の定理「射影直線の特徴づけ」）。よって $\ell(K-p)=g-1$ である。
$K=\operatorname{div}(\omega_0)$ とすると、prop-canonical-divisor-sheaf の対応 $f\mapsto f\omega_0$ により、$L(K)$ は正則 $1$ 形式全体と、$L(K-p)$ は $p$ で $0$ になる正則 $1$ 形式全体と同型である。実際、$\operatorname{div}(f)+K-p\ge0$ は、$f\omega_0$ がすべての点で位数 $\ge0$、かつ $p$ で位数 $\ge1$ であることと同じである。$\ell(K-p)=g-1< g=\ell(K)$ なので、$p$ で $0$ にならない正則 $1$ 形式 $\omega$ がある。その因子 $\operatorname{div}(\omega)$ は $p$ を含まない有効な標準因子である。$\square$
$g\ge2$ の場合は Har77 IV Lemma 5.1（p. 341）にある（$g=1$ では $K=0$ なので主張は明らか）。この命題から、正則 $1$ 形式の基底 $\omega_1,\ldots,\omega_g$ を使って $p\mapsto(\omega_1(p):\cdots:\omega_g(p))$ という射影空間への写像（標準写像）が各点で定まる。
種数 $1$ の複素トーラス $X$ 上で異なる点 $p,q$ をとる。$D=p-q$ は $\deg D=0=2g-2$ を満たす。一方、ex-canonical-divisor-torus より標準類は $0$ なので、$D$ が標準因子なら $D\sim0$、すなわち $p\sim q$ でなければならない。しかし種数 $1$ 以上の面では相異なる $2$ 点は線形同値でない（Riemann–Rochの定理の記事の定理「射影直線の特徴づけ」）。したがって $D$ は標準因子でない。これは
$$\deg D=2g-2\ \not\Longrightarrow\ D\text{ が標準因子}$$
を示す。次数は標準因子の必要条件だが、一般に十分条件ではない。prop-canonical-divisor-sphere が示すとおり、$g=0$ では十分条件になる。
Riemann–Rochの定理における役割
因子 $D$ に対し
$$L(D):=\{f\in\mathcal M(X)\mid f=0\text{ または }\operatorname{div}(f)+D\ge0\}$$
とおく。Riemann–Roch の定理は、標準因子 $K$ を用いて
$$\ell(D)-\ell(K-D)=\deg D+1-g$$
と書かれる。ここで $\ell(D)=\dim_{\mathbb C}L(D)$ である。$K$ を同じ標準類の別の因子に取り替えても、主因子を加えることは有理型関数の掛け算による $L(K-D)$ の同型を与えるので、式の内容は選び方によらない。$\ell(K-D)$ は「$D$ の分だけ消える正則 $1$ 形式」の個数であり、標準因子は関数の空間と $1$ 形式の空間を結ぶ役割を担う。
非特異射影多様体 $X$（次元 $n$）では、最高次の微分形式の層 $\omega_X$ に対応する因子類を標準類、その代表を標準因子という。曲線では上と同じもので、$\deg K=2g-2$ である（Har77 IV §1、p. 295 と Example 1.3.3、p. 296）。射影空間では $\omega_{\mathbb P^n}\cong\mathcal O(-n-1)$、すなわち超平面 $H$ に対し $K\sim-(n+1)H$ である（Har77 II Example 8.20.1、p. 182）。$n=1$ ではこれは prop-canonical-divisor-sphere の $-2(\infty)$ に当たる。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 標準類に属すること（次数だけ） | 複素トーラス上の $p-q$（rem-canonical-divisor-counterexample） | 次数 $2g-2$ の因子は標準因子 |
| 種数 $g\ge1$ | $\mathbb P^1$（$\ell(K)=0$） | 正則 $1$ 形式が存在し、標準類が有効 |
| 標準類でなく個々の因子を見る | 複素トーラスの $dz$ と $d\wp$（prop-canonical-divisor-wp） | 標準因子が面だけで決まる |
| $X$ がコンパクト | $\mathbb C$ 上の $\sin z\,dz$ | 因子が有限和になり次数が定まる |
最後の行について、$\sin z\,dz$ は $z=k\pi$（$k\in\mathbb Z$）の無限個の点で $1$ 位の零点をもつので、零点と極を並べた和は有限和にならず、次数が定まらない。
関連項目
- 前提: リーマン面, 因子, 零点の位数
- 比較: 因子類群, 可逆層
- 直後に読む: Riemann–Rochの定理, Riemann–Hurwitzの公式, Serre双対性
- 発展: Jacobi多様体, 代数曲線, 種数, Weierstrassの楕円関数
参考文献
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