Quillen–Suslinの定理

$d=0$ なら成分の 1 つが $1$ で、それを第 1 成分へ入れ替え、ほかの成分からその倍を引けば $e_1$ になる。

$d\ge1$ とする。入れ替えて $f_1$ を次数 $d$ のモニックとし、$j\ge2$ について $f_j$ を $f_1$ で割った余りに置き換える（行基本変形）。以下 $\deg f_j< d$（$j\ge2$）としてよい。$g_1f_1+\cdots+g_nf_n=1$ をとる。$f_2,\dots,f_n$ の係数がすべて $\mathfrak m$ に入るなら、剰余体 $\kappa=\mathfrak o/\mathfrak m$ 上で $\bar g_1\bar f_1=1$ となるが、$\bar f_1$ は次数 $d\ge1$ のモニックなので $\kappa[x]$ の単元でなく、矛盾する。よって、入れ替えて $f_2=b_sx^s+\cdots+b_0$（$s\le d-1$）の係数のどれかが単元であるとしてよい。

$f_1\mathfrak o[x]+f_2\mathfrak o[x]$ の元 $h$ で $\deg h\le d-1$ のものについて、$x^{d-1}$ の係数全体を $\mathfrak a$ とする。そのような $h$ の和と $\mathfrak o$ 倍はまた同じ形なので、$\mathfrak a$ は $\mathfrak o$ のイデアルである。$b_s,b_{s-1},\dots,b_0\in\mathfrak a$ を、この順に示す。$0\le j\le s$ について、$p_j:=x^{d-1-s+j}f_2$ の $x^{d-1+t}$（$t\ge0$）の係数は $b_{s-j+t}$（添字が $s$ を超えれば $0$）である。$p_j$ をモニックな $f_1$ で割って $p_j=q_jf_1+h_j$（$\deg h_j\le d-1$）とすると、割り算の各段は「そのときの最高次の係数」の倍の $f_1$ を引くだけなので、$q_j$ の係数は $p_j$ の次数 $d$ 以上の係数 $b_{s-j+1},\dots,b_s$ が生成するイデアルに入る。よって $h_j=p_j-q_jf_1\in f_1\mathfrak o[x]+f_2\mathfrak o[x]$ の $x^{d-1}$ の係数は $b_{s-j}$ と $(b_{s-j+1},\dots,b_s)$ を法として合同であり、すでに示した $b_{s-j+1},\dots,b_s\in\mathfrak a$ から $b_{s-j}\in\mathfrak a$ を得る。

$b_i$ のどれかは単元なので $\mathfrak a=\mathfrak o$、とくに $1\in\mathfrak a$ で、$h=u_1f_1+u_2f_2$、$\deg h\le d-1$、$x^{d-1}$ の係数が $1$ となる $u_1,u_2$ がある。$n\ge3$ なので第 3 成分があり、その $x^{d-1}$ の係数を $c$ とする。行基本変形 $f_3\mapsto f_3+(1-c)u_1f_1+(1-c)u_2f_2$ を施すと、新しい $f_3$ は次数 $d-1$ 以下で $x^{d-1}$ の係数が $c+(1-c)=1$、すなわち次数 $d-1$ のモニックになる。単模性は保たれるので、帰納法の仮定から $f\sim e_1$ である。$\square$

$G(x,0)=I$ なので、$G$ の各成分から $y=0$ での値を引いたものは $y$ で割り切れ、$G(x,y)=I+yH(x,y)$（$H$ は $S^{-1}R[x,y]$ 成分の行列）と書ける。$H=\sum_jH_j(x)y^j$ の係数は有限個なので、$s\in S$ を $sH_j$ がすべて $R[x]$ 成分になるようにとれる。すると $$ G(x,sy)=I+sy\sum_js^jH_j(x)y^j=I+y\sum_js^j\bigl(sH_j(x)\bigr)y^j $$ は $R[x,y]$ 成分である。$S^{-1}R$ は整域なので $S^{-1}R[x]$ の単元は定数であり、$\det M(x)=u$ は $x$ によらない。よって $\det M(x+y)=u$、$\det G(x,y)=1$、$\det G(x,sy)=1$ で、余因子行列により $G(x,sy)\in\mathrm{GL}_n(R[x,y])$ である（$R\to S^{-1}R$ は単射なので、$R[x,y]$ の中で計算してよい）。$G(x,y)f(x+y)=f(x)$ の $y$ に $sy$ を代入して $G(x,sy)f(x+sy)=f(x)$ を得る。$\square$

1：$M'$、$M''$ の有限自由分解 $F'\to M'$、$F''\to M''$ を、ある次数から先が $0$ の射影分解とみる。馬蹄補題により、各次数で $P_n=F'_n\oplus F''_n$ となる $M$ の射影分解 $P\to M$ がある。$P_n$ は有限階数の自由加群で、$n$ が両方の長さより大きければ $0$ なので、これは $M$ の有限自由分解である。

2：$M'$、$M$ の有限自由分解 $F'\to M'$、$G\to M$ をとり、増大射を $\varepsilon'$、$\varepsilon$ と書く。まず鎖写像 $u\colon F'\to G$ で $\varepsilon u_0=\alpha\varepsilon'$ となるものを作る。$F'_0$ の基底の各元 $b$ について、$\varepsilon$ が全射なので $\varepsilon(c)=\alpha\varepsilon'(b)$ となる $c$ を選び $u_0(b)=c$ とする。$u_0,\dots,u_{i-1}$ ができたとき、$F'_i$ の基底の元 $b$ について $z=u_{i-1}(db)\in G_{i-1}$ は、$i=1$ なら $\varepsilon(z)=\alpha\varepsilon'(db)=0$、$i\ge2$ なら $dz=u_{i-2}(ddb)=0$ を満たす。$G$ は完全なので $z=dw$ となる $w\in G_i$ があり、$u_i(b)=w$ とする。

$u$ の写像錐 $C=\operatorname{Cone}(u)$、$C_n=F'_{n-1}\oplus G_n$ は有限階数の自由加群からなる有限の長さの複体である。増大射を除いた複体のホモロジーは $H_0(F')=M'$、$H_0(G)=M$、$H_n(F')=H_n(G)=0$（$n\ge1$）で、$H_0(u)$ は $\alpha$ にあたる。錐の長完全列から、$n\ge2$ では $H_n(C)=0$ である。$n=1$ では $0=H_1(G)\to H_1(C)\to H_0(F')\xrightarrow{\alpha}H_0(G)$ で $\alpha$ が単射なので $H_1(C)=0$ である。$n=0$ では $M'\xrightarrow{\alpha}M\to H_0(C)\to0$ が完全なので $H_0(C)\cong M/\alpha(M')\cong M''$ である。よって $C$ に $C_0=G_0\to H_0(C)\cong M''$ を付けたものは $M''$ の有限自由分解である。$\square$

有限自由分解をもたない $R[x]/P$（$P$ は素イデアル）があると仮定する。そのような $P$ についての $P\cap R$ の全体は空でない素イデアルの族で、$R$ が Noether 環なので極大元がある。それを与える $P$ をとり、$\mathfrak p:=P\cap R$、$R_0:=R/\mathfrak p$（整域）、$P_0:=P/\mathfrak pR[x]\subset R_0[x]$ とおく。この選び方から、素イデアル $Q\subset R[x]$ で $Q\cap R\supsetneq\mathfrak p$ なら、$R[x]/Q$ は有限自由分解をもつ。

(a) $R_0[x]$ は $R[x]$ 加群として有限自由分解をもつ。仮定から $\mathfrak p$ は有限自由分解 $0\to E_m\to\cdots\to E_0\to\mathfrak p\to0$ をもつ。$R[x]$ は自由 $R$ 加群なので平坦で、$-\otimes_RR[x]$ を施した列は完全であり、$\mathfrak p\otimes_RR[x]\cong\mathfrak pR[x]$ の有限自由 $R[x]$ 分解になる。$0\to\mathfrak pR[x]\to R[x]\to R_0[x]\to0$ に lem-qs-ffr-ext の 2 を使えばよい。

(b) $P_0=0$、すなわち $P=\mathfrak pR[x]$ なら、$R[x]/P=R_0[x]$ は (a) により有限自由分解をもち、矛盾する。よって $P_0\ne0$ である。$P_0$ の $0$ でない元のうち次数が最小のもの $f$ をとり、$P_0$ の生成元 $f_1,\dots,f_r$ をとる。$R_0$ の商体 $K_0$ 上で $f_i=q_if+r_i$（$\deg r_i< \deg f$）と割り、係数の共通の分母 $d_0\in R_0\setminus\{0\}$ を掛けると $d_0f_i=q'_if+r'_i$（$q'_i,r'_i\in R_0[x]$、$\deg r'_i< \deg f$）となる。$r'_i=d_0f_i-q'_if\in P_0$ なので、$f$ の次数の最小性から $r'_i=0$ である。よって $N:=P_0/(f)$ は $d_0$ で消える。

(c) $N$ は有限自由分解をもつ。$d_0$ の $R$ への持ち上げ $d$ をとると $d\notin\mathfrak p$ である。$N$ は有限生成 $R[x]$ 加群で、$\mathfrak pR[x]$ と $d$ で消える。$N$ の有限素因子列の各商 $R[x]/Q$ について $Q\supset\operatorname{Ann}(N)\ni d$ かつ $Q\supset\mathfrak pR[x]$ なので $Q\cap R\supsetneq\mathfrak p$ で、$R[x]/Q$ は有限自由分解をもつ。lem-qs-ffr-ext の 1 から $N$ も有限自由分解をもつ。

(d) $R_0[x]$ は整域なので、$R[x]$ 加群として $(f)=fR_0[x]\cong R_0[x]$ であり、(a) から有限自由分解をもつ。$0\to(f)\to P_0\to N\to0$ と $0\to\mathfrak pR[x]\to P\to P_0\to0$ に lem-qs-ffr-ext の 1 を使うと、$P_0$、次いで $P$ が有限自由分解をもつ。最後に $0\to P\to R[x]\to R[x]/P\to0$ に同じ補題の 2 を使うと、$R[x]/P$ が有限自由分解をもち、仮定に矛盾する。$\square$